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1、 沙 市 第 四 中 学 数 学 九 年 级 下 讲 学 稿 细 节 决 定 成 败，勤 奋 成 就 学 业，态 度 决 定 一 切，努 力 终 会 成 功！27.1.1图形的相似（一）一、学习目标:1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比二、学习重、难点：重点：相似图形的概念与成比例线段的概念 难点：成比例线段概念三、学习过程（一）探究新知：1.观察右边几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?相似图形定义：这种形状相同的图形叫 2.对上题中的3组相似图形，其中一个图形可以看做由另一个图形 或 得到。练一练：1在下面的图形中，
2、形状相似的一组是( )2下列图形一定是相似图形的是( )A任意两个菱形B任意两个正三角形C 两个等腰三角形 D两个矩形DCBA（二）探究新知： 问题：如图在矩形ABCD中，边AB=2cm，BC=3 cm，这两条线段的比= .归纳：1.两条线段的比，就是两条线段 的比例1 一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m， 那么长与宽的比：= （1）如果 a=125cm，b=75cm， 那么长与宽的比：= （2）如果a=1250mm，b=750mm， 那么长与宽的比：= 小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值是 的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位 ，但求比时两条线段的
3、长度单位必须 （2）线段的比是一个没有单位的正数；2.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，即：（或），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段或者说四条线段a，b，c，d成比例，【注意】 比例线段是四条线段之间的特殊关系；3.比例的基本性质：若四条线段满足：（或），则有 ，即比例内项之积等于比例外项之积。练一练：1.已知，则，；2.若，则；若，则= 。（三）学以致用 例2 已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？（四）练习：1_是相似图形2对于四条线段a，b，
4、c，d，如果_ 与_ (即)，那么称这四条线段是成比例线段，简称_3比例的基本性质：如果不等于零的四个数成比例，那么 ；反之亦真；即_(a，b，c，d不为零)4已知2a3b0，b0，则ab_5若则x_ 6若则_7在一张比例尺为120000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地实际距离为_m8 AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？27.1.2图形的相似（二）一、学习目标:1知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等2会根据相似多边形及相似三角形的特征，会运用其性质进行相关的计算二、学习重难点：重点：
5、相似多边形的主要特征与识别 难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算三、学习过程（一）探究新知1.观察图片，体会相似图形性质(教材P38页)(1) 下图中的A1B1C1是由正ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？(2)对于图 (2)中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？图27.1-42.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等(二) 归纳总结：（1）相似多边形的性质：相似多边形的对应角_，对应边的比_反之，如果两个多边形的对应角_，对应边的比
6、_，那么这两个多边形_几何语言： ABC和A1B1C1相似 反之亦然。（2）相似比：相似多边形_的比称为相似比（3）相似比为1时，相似的两个图形_，因此_形是一种特殊的相似形（4）相似三角形在ABC与ABC中，如果A=A, B=B, C=C, 且 我们就说ABC与ABC相似，记作ABCABC，k就是它们的相似比反之如果ABCABC，则有A=_, B=_, C=_, 且 问题：如果k=1，这两个三角形 当ABC与ABC的相似比为k时，ABC与ABC的相似比为 （三）学以致用 例1 下列说法正确的是（ ） A所有的平行四边形都相似 B所有的矩形都相似 C所有的菱形都相似 D所有的正方形都相似例2
7、如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的长度EDCBA例3 如图， 已知ABCADE，求证：DEBC；若AD:DB=1:2，BC=6，求DE的长？例4 已知ABCDEF，且ABC的周长为45；如果，求DEF的周长；如果DEEFDF=234，求ABC的.各边长（四）练习1，2 （书P40 2，3）3如图，ABEFCD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长27.1.3平行线分线段成比例定理（1）一、学习目标:1. 经历探索平行线分线段成比例定理的过程；2.理解掌握平行线分线段成比例定理及推论；3.能利用平行线分线段成比例定理解决有关问题。二、学习重难点：E
8、DCBA重点：理解掌握平行线分线段成比例定理及应用 难点：掌握平行线分线段成比例定理应用三、学习过程（一）回顾复习：1.如图， 已知ABCADE， AD:DB=2:3，DE=6，则BC= 2.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比 ，即： （或 ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段或者说四条线段a，b，c，d成比例，（二）探究新知：探究1：在练习本上画一条与练习本上“横线”垂直的直线，请同学们观察所画直线被这些“横线”分成的线段有什么关系？如果所画直线与“横线”相交（不垂直的情况）呢？FEDCBAcba图1探索2：从练习本上众多 “横线” 中随
9、别选三条“横线”，再任意画两条与“横线”相交的直线，如图所示，被“横线”所截的四条线段AB，BC，DE，EF是成比例的线段吗？你还发现哪些线段是成比例的线段？注：像线段AB与DE位置上类似的两线段叫做对应线段。那么线段BC与 是对应线段，线段AC呢？问题：练习本上的众多“横线”相互的位置关系是什么？（三）归纳总结： 平行线分线段成比例定理 ： 三条_截两条直线，所得的_线段的比_（即所得 线段成比例）。几何语言：abc, , , , . 填一填：如图1，已知abc， 如果AB:BC=2:3，DE=6，则DF= . 如果AB:AC=2:3，DE=4，则EF= .探究3：如果把所画的两条相交直线的
10、交点A刚好落到“横线”上，如图，所示，所得的对应线段成比例吗？依据是什么？DCBAE图4EDCBA图3探究4：把图，中多余的线擦掉，得到图（3），即：ABC中，DEBC,交AB、AC(或延长线)于D、E.哪些对应线段成比例呢？依据是什么？ 平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_线段的比_.（三）学以致用例1：如图，在ABC中，DEBC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.CBEDAEDCBA2如图，DEBC，（1）如果AD=2，DB=3，求AE:AC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，求AE和EC的长27.1.3平行线分线
11、段成比例定理（2）一、学习目标:1.进一步理解掌握平行线分线段成比例定理及推论；2.能利用平行线分线段成比例定理解决有关问题。3.掌握作“平行线”利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题二、学习重难点：重、 难点：掌握作“平行线”利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题FEDCBA三、学习过程（一）回顾复习： 平行线分线段成比例定理 ： 三条_截两条直线，所得的_线段的比_（即所得 线段成比例）。 几何语言：abc, , , , . 平行线分线段成比例定理推论：DCBAE图4EDCBA图3平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_线段的比_. 几何语言： , , , .
12、（三）学以致用例1 如图，在ABC中，DEBC ，EFAB，AB=4 ，BC=6，DE=2.求EF.CBEDAF2.如图，在RtABC中，C=90，AC=3 ，AB=5，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且四边形CDEF是正方形。求正方形CDEF的边长？DFECBA例2如图，在ABC中， AD，BE是ABC的中线，AD，BE交于F。求BF:FE的值；EDCBAF3如图，在ABC中，DEBC， 求证：EDCBA27.2.1相似三角形的判定-预备定理一、学习目标:1.探究平行相似； 2.会证明定理并灵活应用。二、学习重难点：重点：平行相似 难点：证明定理并灵活应用。三、学习过程（一）回顾复习
13、： 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角_，对应边的比_，那么这两个三角形相似 平行线分线段成比例定理：三条_截两条直线，所得的_线段的比_ 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_线段的比_（二）探究新知：探究：如图，在ABC中，DEBC，DE分别交AB，AC于点D，E。EDCBA所截的ADE与ABC相似吗？为什么？归纳总结：三角形相似的判定定理（预备定理）-平行相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形 。图1 符号语言：DEBC ABCADE选一选：1下列各组三角形一定相似的是（ ）A两个直角三角形 B两个钝角三角形 图2C两个等腰三角形
14、 D两个等边三角形 2如图1，DEBC，EFAB，则图中相似三角形一共有（ ）A1对 B2对 C3对 D4对3如图2，ABC中，DEBC，写出对应边的比例式（三）学以致用 例1如图3，ABC中，DEBC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长图3例2 （2004江苏淮安）已知：如图3，在ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，请你写出图中所有相似三角形？(只使用图中已有字母，不再添加辅助线) 为什么？1 .如图4，在ABC中，DEBC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm
15、，求DE的长图4 2.已知平行四边形ABCD中，AFFC=12，若DC=6，求BE 27.2.1相似三角形的判定（一）一、学习目标:1.类比全等探究三边等比相似。 2.会证明定理并灵活应用。二、学习重难点：重点：三边等比相似 难点：证明定理并灵活应用。三、学习过程（一）回顾复习： 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角_，对应边的比_，那么这两个三角形相似三角形相似的判定定理（预备定理）- 平行相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形 。（二）探究新知：问题：类似判定三角形全等的“SSS”. 你能得到判定三角形相似方法吗？猜测：如果两个三角形的三组对应边的比 ，
16、 那么这两个三角形相似证明：（写已知、求证、证明）已知： 求证: FEDCBA证明：归纳: 三角形相似的判定定理1：如果两个三角形的三组对应边的比 ， 那么这两个三角形相似 简称为： ， 。 符号语言： ， ABCDEF选一选：如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形 的是（ ）. . 和 . 和 . 和 . 和（三）学以致用 例1 如图，ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：ABCEFD例2 如图，矩形ABCD是由三个相同正方形拼成的，求证：AGCHGA求证：1+2=45EDCBA211如图，已知，求证：1=22（2008江西）7下列四个三角形，与右图中的三角形相似
17、的是（ ）（第7题）ABCD3在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。请你在如图所示的44的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形(要求：所画三角形为钝角三角形，标明字母，并说明理由)27.2.1相似三角形的判定（二）一、学习目标:1.掌握两组对应边的比相等，且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。2.利用定理判定两三角形相似并解决相关问题。二、学习重难点：重点：相似判定证明定理 难点：定理灵活应用。三、学习过程（一）回顾复习： 三角形相似的判定定理（预备定理）-平行相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形 。 三角形相似的
18、判定定理1：如果两个三角形的三边对应 ， 那么这两个三角形相似 （二）探究新知：问题：类似判定三角形全等的“SAS”. 你能得到判定三角形相似方法吗？猜测：如果两个三角形的两组对应边的比 ，且 ， 那么这两个三角形相似证明：（写已知、求证、证明）已知： FEDCBA求证: 证明：归纳: 三角形相似的判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比 ，且 ， 那么这两个三角形相似简称为： ， 。 符号语言： ， ABCDEF练一练：根据下列条件，判断 ABC与A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）A120，AB=7cm，AC=14cm， A1120，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。（2）B12
19、0，AB=2cm，AC=6cm， B1120，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。（三）学以致用 例1 已知：如图，在正方形ABCD中，F是BC上的点，且BF3FC，Q是CD的中点求证： ADQQCF； AQQF.例2 如图，ABC中，点D在AB上，如果AC2=ADAB，那么ACD与ABC相似吗？说说你的理由1. 如图，在中，点分别在边上，且，若cm，求2.已知：如图，在中，、分别是、上的两点，并且；求证：27.2.1相似三角形的判定（三）一、学习目标:1掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法2能够运用三角形相似的条件解决简单的问题二、学习重难点：重点：三角形相似的判定方法3：“两
20、角对应相等，两个三角形相似”； 难点：三角形相似的判定方法3的运用三、学习过程（一）回顾复习： 三角形相似的判定方法有哪些？（二）探究新知：问题：类似判定三角形全等的“ASA”, “AAS”. 你能得到判定三角形相似方法吗？猜测：如果两个三角形的 ， 那么这两个三角形相似证明：（写已知、求证、证明）已知： FEDCBA求证: 证明：归纳: 三角形相似的判定定理3：如果两个三角形的 ， 那么这两个三角形相似简称为： ， 。 符号语言： ， ABCDEF选一选：下列四组图形中不一定相似的是（ ）有一个角等于40的两个等腰三角形；有一个角为50的两个直角三角形直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角
21、形；有一个角是60的两个等腰三角形（三）学以致用 例1 在ABC中，AC=AB，A=36，BD是ABC的平分线，求证：（1）ABCBCD；（2）BC2=CDCA 1.已知：如图，ABC 的高AD、BE交于点F求证：2如图，梯形ABCD中，求. 3如图，中，M为BC的中点，交CA的延长线于D；交AB于E. 求证：. 27.2.1相似三角形的判定（四）一、学习目标:1掌握“斜边直角边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法2能够运用三角形相似的条件解决简单的问题二、学习重难点：重点：直角三角形相似的判定方法：“斜边直角边对应成比例，两个三角形相似”； 难点：直角三角形相似的判定方法的运用三、学习过程
22、（一）回顾复习： 一般三角形相似的判定方法有哪些？（二）探究新知：问题：类似判定直角三角形全等的“HL”, 你能得到判定直角三角形相似方法吗？猜测：如果两个直角三角形的 ， 那么这两个直角三角形相似FEDCBA证明：（写已知、求证、证明）已知： 求证: 证明：归纳: 直角三角形相似的判定定理：如果直角两个三角形的 ， 那么这两个直角三角形相似简称为： ， 。 符号语言： ， ABCDEF选一选：下列四组图形中不一定相似的是（ ）两条直角边对应成比例的两个直角三角形；有一个角相等的两个直角三角形；有一个锐角相等的两个直角三角形； 斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形。（三）学以致用 例1 如图
23、，ABC与ADB中，ABC=ADB=90，AC=5cm，AB=4cm，当AD等于多少cm时，若图中的两个直角三角形相似？例2：已知：如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D。 (1) 求证：AC2ADAB； 若AD2，DB8，求CD； 若AC6，DB9，求AD。1如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A 1条 B2条 C3条 D4条2.如图，ABBC，DCBC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使ABP与DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明
24、理由。相似三角形基础训练题CBEDA1.如图所示，已知ABC中，DEBC，AD=AB，若BC=12，求DE的长？2. 如图所示，已知ABC中，C=90，AC=3，BC=4，四边形CDEF是矩形，且EF=2，求矩形CDEF的面积？DFECBA3. 如图所示，已知ABC中， D、E分别是AB,AC上的两点，且ADAB=AEAC，CBEDA1求证：1+C=180CBEDA1324. 如图所示，已知1=2=3, 求证：ADAB=AEAC，5.已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，F是BC上的点，且FC=求证： AQQF.6.已知：如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D。若AC6，AD
25、4，求BD。CBDA7. 如图所示，已知ABC中，AB=12，AC=18，D是AB的点，AD=8，在AC上找一点E，使ADE与ABC相似。求AE的长？8.已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，DFAE与F，且BC=3，AD=4求证： AFDEBA；设AE=x，DF=y，求y与x的函数关系？FEDCBA相似三角形的判定习题课一、填空题1_三角形一边的_和其他两边_，所构成的三角形与原三角形相似2如果两个三角形的_对应边的_，那么这两个三角形相似3如果两个三角形的_对应边的比相等，并且_相等，那么这两个三角形相 似4如果一个三角形的_角与另一个三角形的_，那么这两个三角形相似5在ABC和A
26、BC中，如果A56，B28，A56，C28，那么这两个三角形能否相似的结论是_理由是_6在ABC和ABC中，如果A48，C102，A48，B30，那么这两个三角形能否相似的结论是_理由是_7在ABC和ABC中，如果A34，AC5cm，AB4cm，A34，AC2cm，AB1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是_，理由是_8在ABC和DEF中，如果AB4，BC3，AC6；DE2.4，EF1.2，FD1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是_，理由是_9如图1所示，ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有_对10如图2所示，ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与
27、DC交于点F，此图中的相似三角形共有_对图2图1图1图3二、选择题11如图3所示，不能判定ABCDAC的条件是( )ABDAC BBACADC CAC2DCBC DAD2BDBC12如图4，在平行四边形ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是( )A5 B8.2 C6.4 D1.813如图5所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是( )图4图5CA三、解答题14.如图，在中，BD平分，求证：AB2= ACADABDC15如图所示，已知ABCD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且EAFC求证：(1)EAFB；
28、(2)AF2FEFB16已知：如图，在ABC中，C90，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PEAB交AC于E，点E不与点C重合，若AB10，AC8，设APx，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式思考题：一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？相似三角形提高训练题FEDCBA1. 如图，已知菱形ADEF内接于ABC，D、E、F分别在AB、BC、AC上，如果AB21 cm，CA15 cm，求菱形ADEF的
29、周长。FEDCBA2. 如图所示，已知ABBC，CDBC，EFBC，且BF4，FC2，EF2.5，CD1.5，求AB的长？FDECBAM3. 如图所示，ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，DFBC交AE与M，如果BD1，MF3，EC3.5，求AB的长？4. 如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上一点，EFAD，EMBC，求的值？MFEDCBAEFDCBA5.如图所示，CD是RtABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EFAB于F。求证：；。6.如图所示，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AEAD，从AB的中点F作HFEC于H求证：FHFA；求EHHC的值？HFEDCB
30、A27.2.2相似三角形的周长与面积一、学习目标:1理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。2探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。二、学习重难点：重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。三、学习过程（一）回顾复习：1.如果两个三角形的三组对应边 ， 那么这两个三角形相似相似三角形的判定方法有 2相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。（二）探究新知：探究一： 相似三角形的周长问题：如果两个三角形相似，它们的周
31、长之间什么关系？两个相似多边形呢？设ABCA1B1C1的相似比为k ，则有 结论：相似三角形周长的比等于 延伸：相似多边形周长的比等于 ；相似三角对应中线的比等于 ；相似三角对应角的角平分线的比等于 ； 探索二：相似三角形的面积如图，ABCABC，相似比为k，它们对应高的比是多少？面积的比是多少？CBACBAD 结论：相似三角形对应高的比等于 ，相似三角形的面积等于 延伸：相似多边形的面积比等于 （三）学以致用 BDEFAC例1 如图所示，在ABC和DEF中，AB=2DE，AC=2DF，A=D，ABC的周长是24，面积是48，求 DEF的周长和面积。例2 如图所示，已知ABC中，DEBC，若S
32、ABC=122，求SADE？CBEDA例3 如图所示，已知，在ABCD中，BEEC=12，若SBEF=2，求： SADF；SABCD； CBEDA1如图所示，已知ABC中，DEBC，且DE将ABC的面积平分成相等的两部分，若BC=6，求DE的长？2 如图所示，已知，在梯形ABCD中，ADBC，若SAOD=2，SBOC=8，求： S梯形ABCD； ODCBA相似三角形的性质习题课一、填空题1相似三角形的对应角_，对应边的比等于_2相似三角形对应边上的中线之比等于_，对应边上的高之比等于_，对应角的角平分线之比等于_ 3相似三角形的周长比等于_4相似三角形的面积比等于_5相似多边形的周长比等于_，
33、相似多边形的面积比等于_6若两个相似多边形的面积比是1625，则它们的周长比等于_7若两个相似多边形的对应边之比为52，则它们的周长比是_，面积比是_8在比例尺11000的地图上，1cm2所表示的实际面积是_9如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DEBC，BD2AD，那么CADECABC10如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DEBC，BD2AD，那么CADECABC9题11题12题10题11.（08河南） 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积为 12.（09年孝感）如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49则ABC的面积是 二、选择题13已知相似三角形