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1、6.5 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度一、自由度确定一物体在空间位置所需之独立坐标个数用符号确定一物体在空间位置所需之独立坐标个数用符号 i 表示。表示。火车：被限制在一直线火车：被限制在一直线上运动，自由度为上运动，自由度为i=1 1；轮船：被限制在一平面上轮船：被限制在一平面上 运动，自由度为运动，自由度为i=2 2（经度、纬度）（经度、纬度）飞机：自由度为飞机：自由度为i=3 3( (经度、经度、纬度、高度纬度、高度) )确定一质点在空间的位置需要三个坐标：确定一质点在空间的位置需要三个坐标：M ( x,y,z )确定一刚性杆子在空间位置需要六个坐标：确定一刚性杆子在
2、空间位置需要六个坐标：约束条件：约束条件：6个坐标中只有个坐标中只有5个是独立的个是独立的M2M1l 1、质点及刚性杆子的自由度、质点及刚性杆子的自由度质点的自由度为质点的自由度为3刚性杆子的自由度为刚性杆子的自由度为5),(M1111zyx),(M2222zyx212212212)()()(zzyyxxl 2、刚体的自由度、刚体的自由度i=6 3 3个平动个平动 3 3个转动个转动一个坐标一个坐标q q 决定刚体转过的角度决定刚体转过的角度两个独立的两个独立的a a， b b 决定转轴空间位置决定转轴空间位置三个独立的坐标三个独立的坐标 x,y,z 决定转轴上一点决定转轴上一点xyza ab
3、 bq qA(x,y,z)刚体的自由度为刚体的自由度为6 6三原子三原子( 多多原子原子) 分子分子单单原子分子原子分子双双原子分子原子分子自由度自由度i转动转动r平动平动t3560233333、 刚性气体分子的自由度刚性气体分子的自由度 i(如：如：H2、O2、N2)(如：如：He)(如：如：H2O)srti 自由度数目自由度数目 平动平动 转动转动 振动振动二、能量按自由度均分原理二、能量按自由度均分原理理想气体分子的理想气体分子的平均平动动能平均平动动能为：为：kT23212v231vvvv222zyxkTzyx21212121222vvv气体分子的平动动能是按三个平动自由度平均分配的，
4、气体分子的平动动能是按三个平动自由度平均分配的，每一个自由度上的平均平动动能均为每一个自由度上的平均平动动能均为kT21推广：推广：在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子的每一个自由度的平衡态下，气体分子的每一个自由度都具有都具有 的平均动能。的平均动能。能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理kT21 对于有对于有t 个平动自由度，个平动自由度，s 个振动自由度和个振动自由度和 r 个转动自由度个转动自由度的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和：的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和：kTikTsrtk2)(21说明：说明：是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。是统
5、计规律，只适用于大量分子组成的系统。气体分子无规则碰撞的结果。气体分子无规则碰撞的结果。统计物理可给出严格证明。统计物理可给出严格证明。平均平均平动动能平动动能为：为：kTtkT2321平均平均转定动能转定动能为：为：rkT21平均平均振动动能振动动能为：为：skT212m1m 微振动简谐振动微振动简谐振动动能动能221v势能势能221k2个平方项个平方项振动自由度为振动自由度为 S 平均振动动能平均振动动能skT21平均振动势能平均振动势能skT21skTkTss22平均振动能量为平均振动能量为 分子运动总平均能量：分子运动总平均能量：,2kTisrti2刚性分子：刚性分子：常温，不计振动自
6、由度常温，不计振动自由度三、理想气体的内能三、理想气体的内能 对于理想气体，分子间的相互作用力忽略不计，对于理想气体，分子间的相互作用力忽略不计，所以理想气体分子没有相互作用的势能。因此，理想所以理想气体分子没有相互作用的势能。因此，理想气体的内能就是所有分子的各种运动动能的总和。气体的内能就是所有分子的各种运动动能的总和。 内能：气体中所有分子的平动，转动，振动动能和势内能：气体中所有分子的平动，转动，振动动能和势能之和。用能之和。用 E 表示。表示。分子的自由度为分子的自由度为i，则一个分子能量为，则一个分子能量为ikT/2， 1摩尔理摩尔理想气体，有个想气体，有个NA分子，内能为分子，内
7、能为RTiNkTiEA22m/M摩尔理想气体，内能为摩尔理想气体，内能为RTiMmE2pVi2l说明：说明：理想气体的内能与温度和分子的自由度有关。理想气体的内能与温度和分子的自由度有关。内能仅是温度的函数，即内能仅是温度的函数，即E=E(T)，与与P，V无关。无关。状态从状态从T1T2,不论经过什么过程，内能变化均为不论经过什么过程，内能变化均为)(21212TTRiMmEEE明确下列各种表示的物理意义：明确下列各种表示的物理意义：1、kT212、kT23在温度在温度 T 时，分子每一个时，分子每一个自由度上的平均动能。自由度上的平均动能。在温度在温度T时，分子的平均时，分子的平均平动动能。
8、平动动能。RTiMmE23、kTi2温度为温度为T 时，自由度为时，自由度为i的分子的分子的平均总动能。的平均总动能。4、RTi2温度为温度为T时，时，1mol 理想气体的内能。理想气体的内能。5、RTMm23Mm温度为温度为T时，时， 摩尔理想气体分子的平均平动动能。摩尔理想气体分子的平均平动动能。温度为温度为T时，时， 摩尔理想气体的内能。摩尔理想气体的内能。6、RTi2四、气体的摩尔热容四、气体的摩尔热容理想气体的理想气体的定体摩尔热容定体摩尔热容为为TETQCVVdddd理想气体的理想气体的定压摩尔热容定压摩尔热容为为RiRCCVp2)2( iiCCVp2比热容比为比热容比为单单原子分
9、子气体原子分子气体 3/ 5,233RCiV双双原子分子气体原子分子气体 5/ 7,255RCiV多多原子分子气体原子分子气体 3/ 4,36RCiVTCTRiEV2 mol 理想气体的内能变化为理想气体的内能变化为TRiEd2d Ri2一容器内某理想气体的温度为一容器内某理想气体的温度为273K，密度为，密度为 = 1.25 g/m3，压强为，压强为 p = 1.010-3 atm(1) 气体的摩尔质量，是何种气体？气体的摩尔质量，是何种气体？(2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？气体分子的平均平动动能和平均转动动能？(3) 单位体积内气体分子的总平动动能？单位体积内气体分子的总平动
10、动能？(4) 设该气体有设该气体有0.3 mol，气体的内能？气体的内能？解解例例求求kg/mol028. 010013. 11027331. 81025. 1533pRTM 由结果可知，这是由结果可知，这是N2 或或CO 气体气体, i=5 (1) 由由 ，有，有 RTMmpV (2) 平均平动动能和平均转动动能为平均平动动能和平均转动动能为 J1056. 52731038. 123232123kTt J1077. 32731038. 12123 kTr (3) 单位体积内气体分子的总平动动能为单位体积内气体分子的总平动动能为 3223221J/m1052. 12731038. 110013
11、. 11056. 5kTpnEttt J1070. 127331. 8253 . 023RTiMmE(4) 由气体的内能公式，有由气体的内能公式，有例、例、在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气（视为刚性双原子分子气体）与氦气的内能之比为多少（视为刚性双原子分子气体）与氦气的内能之比为多少? ?各为单位质量的氢气和氦气的内能之比又为多少各为单位质量的氢气和氦气的内能之比又为多少? ?解解：RTMmpV 1;HeHHeHHeH222VVTTpp 摩尔数相等摩尔数相等 氢气：氢气：i1 = 5，氦气：氦气：i2 = 3 RTiMmE235232521RTR
12、TEEM为摩尔质量，为摩尔质量， m 1= m 2 =m=1kg31023425221RTmRTmEE例、例、在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气（视为刚性双原子分子气体）与氦气的内能之比为多少（视为刚性双原子分子气体）与氦气的内能之比为多少? ?各为单位质量的氢气和氦气的内能之比又为多少各为单位质量的氢气和氦气的内能之比又为多少? ?例、例、一容器为一容器为10cm3的电子管当温度的电子管当温度T=300K时，用真空泵时，用真空泵把管内空气抽成压强为把管内空气抽成压强为510-6 mmHg的高真空（的高真空（760 mmHg = 1.013105
13、Pa，空气可认为是刚性双原子分子）空气可认为是刚性双原子分子） 问：问此时管内有多少个空气分子？问：问此时管内有多少个空气分子？ 这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？ 平均转动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是多少？ 平均动能的总和是多少？平均动能的总和是多少？解：解：设管内总分子数为设管内总分子数为N刚性双原子分子有刚性双原子分子有3个平动个平动自由度，自由度，2个转动自由度则：个转动自由度则： 由由 P = nkT = NkTV所以所以 N = PVkT = 1.611012个个分子的平均转动动能的总和分子的平均转动动能的总和 分子的平均动能的总和分子的平均动能的总和JkTN810667. 022JkTN81067. 125分子的平均平动动能的总和分子的平均平动动能的总和 JkTN81023