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1、第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理3.1 有限元法的解题思想 有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离散化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为结点，再把作用于各单元上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置，即转化成单元的等效结点载荷【结构离散】；在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性【单元特性析】；然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知数的方程组【整体分析】 ，求解这个方程组，得出各结点的未知参数，利用插值函数求出近似解【求解】。第01篇 有限单元
2、法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。（1）节点（Node）：节点是构成有限元系统的基本对象，也就是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理意义的自由度信息。（2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率和精度。（3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度和节
3、点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度，不同单元上的节点具有不同的自由度。3.1.1 有限元法的基本要素第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有限单元法解解题的重要步骤。3.3.1 结构离散化的主要任务是：（1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元；（2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替；（3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；3.3.2 单元类型 单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点自由度数、单元刚度矩阵等，不同的单元
4、有不同的单元特性。3.1.2 结构离散化第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，机械工程问题中设计的单元大致可以分为：（1）自然离散问题单元；自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构（二力杆）的离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情况），以传递负荷。x第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理备注：桁架问题（杆单元问题）需要两个坐标系来描述。固定的整体坐标系XY或XYZ： （1）
5、描述每个节点的位置，使用角度记录每个杆件（单元）的方向；施加约束及载荷；（3）表示问题的解。单元坐标系用来描述杆件的轴向效应。杆单元LINK每个节点只有平动自由度。备注：梁单元BEAM通常要承受横向载荷的作用，这种荷载会引起弯曲。框架是各构件用焊接或螺栓刚接起来的结构，因此每个节点有平动位移和转角。框架单元也需要两个参照坐标系，即整体坐标系和单元坐标系。第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理平面杆系结构空间杆系结构第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理（2）平面问题单元； 在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结点矩形单元、6结点三角形单元、4
6、结点任意四边形单元、8结点曲边四边形单元，如图所示（3）轴对称问题单元； 对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形环单元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。如图所示第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理（4）空间问题单元 在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六面体单元。如4结点四面体单元、8结点六面体单元、20结点六面体单元，如图所示。第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 用单元划分有限元网格应遵循的原则；单元之间互不重叠，也没有间隙。为使整个求解区域
7、计算结果的精度大体一致，当划分单元时其大小尽量不要相差太悬殊；。为此，当划分单元：应充分利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构中取出一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力变化急剧的区域可分细一些，应力变化平缓的区域可以分粗一些；对于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即先用比较均匀的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局部区域再细分单元，进行第二次计算，或者采用子结构法； 第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理3.3.4 施加约束 任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体，它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加约束就是在将结构物
8、理模型转化为有限元模型时对承载基础的表达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向位移置为0或某个值，即所谓的约束边界条件。如下图31所示，对于结点1与2有，u1=v1=u2=v2=0 PP54231图31 施加约束第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理3.3.5 非结点载荷等效移置 在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结
9、点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。 单元非节点载荷等效移置与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。因此这里只需介绍单元载荷移置问题。单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式化，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。但当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化就简化成一种最简单的移置方法，即所谓的直接法，当然这种方法只适
10、用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍 第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理3.1.3 单元特性分析 在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式，从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形式表示为： Fe=Kee 注：角标e表示单元element之意式中：F单元结点载荷列阵；K单元刚
11、度矩阵；单元结点位移列阵 单元刚度矩阵K反映了单元结点力与单元结点位移之间的特性关系。不难看出，建立单元刚度矩阵K是单元分析的核心，也是单元分析的主要任务，事实上也是整个有限元分析中的关键性步骤。第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 选择单元位移模式 在用有限元法进行结构分析中，就研究方法而言一般有三种。第一种是选择结点位移作为基本未知量，在选择适当的位移函数的基础上，进行单元的力学特性分析，进而建立单元的刚度矩阵和总体刚度矩阵，然后解方程组求出结点位移，再由结点位移求得应力，这种方法称为位移法；第二种是选择结点力作为基本未知量，解出结点力后，再计算结点位移和应力，这种方法
12、称为力法；第三种是取一部分结点位移和一部分结点力作为基本位置，称为混合法。由于位移法比较简单，易于实现计算自动化，所以大多采用位移法。 当采用位移法时，物体和结构离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由结点位移来表示。对单元中位移第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理的分布一般采用能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限法中我们将位移表示为坐标变量的简单函数，这种函数称为。它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析时又必须用到，为此可以事先假定一个函数，人为规定位移分量为坐标的某种函数。为保证选择的位移函数
13、使有限元收敛于真实解，位移函数必须满足以下4个条件(a)位移函数必须包含单元的常量应变：弹性体的应变可以分为与坐标无关的常量应变及随坐标变化的当量应变。当单元尺寸逐渐缩小时，单元的应变将趋于常量，因此在位移函数中必须包含有常量应变。 (b)位移函数必须包含单元的刚体位移。所谓刚体位移是指弹性体不发生应变时的位移，这是弹性体可能发生的一种基本的位移。因此，单元的位移函数既要能够描述单元自身的应变，又要能够描述单元的刚体位移。第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。(d)位移函数应使相邻单元间的位移协调，即单元边界的连续性
14、。即在交界面上满足变形协调条件，变形后既不开裂，也不重叠，从而保证了整个结构的位移连续。 上述4个条件是有限元解收敛于真实解的充分条件，即当结构的单元划分得越来越精细时，近似的数值解将收敛于真实解。 以这样的位移函数构成的单元称为协调元。在有限元法中，有些单元的位移函数只满足前3项条件，并不满足单元边界连续性要求，实践证明，它们的有限元解也可能收敛于真实解，因此前3项条件是有限元解收敛于真实解的必要条件。显然假定的它在结点上的值应等于结点位移；第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比
15、较容易，尤其便于微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应。但为了实用，通常只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐标表示为：很显然，3节点三角形单元内任意一点的位移是坐标变量的线性函数。有限项多项式的选取得原则应考虑以下几点：（1）位移函数的项数与单元节点数相同，即广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等。如3结点三角形单元有6个自由度（结点位移），因此位移函数有三项，广义坐标个数应取6个，即两个方向的位移u,v各取三项多项式。yxyxvyxyxu654321),(),(第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一
16、般原理（2）选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中的常数项和一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性。当划分的单元数趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变。（3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单元每边具有两个端结点的应保证一次完全多项式；每边有3个结点的应取二次完全多项式。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。542323454322343223221yxyxyyxyxxyxyyxyxxyxyyxxyxyxyx第01篇 有限单元法基本理论
17、第3章 有限单元法的一般原理 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、结点数目、位置及其含义，找出单元结点力和结点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要用到弹性力学的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的推导是单元力学分析的主要工作。单元刚度矩阵的导出方法可以采用：1） 对于简单的构件（如质量弹簧系统、杆、梁等，可以利用材料力学或结构力学的已知结果，直接求出刚度矩阵的每一个元素，这种方法称为直接刚度法2） 当用位移型有限元法进行结构分析时，一般采用虚功原理法 或最小势能原理注：力型有限元法一般则采用余虚功原理或最小余能原理。对于非结
18、构问题，如流场、温度场、电磁场等，一般均采用变分法来分析单元特性。第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 单元组集即总体分析，只有通过总体分析建立的联立方程组才能求解出各节点未知参数。单元组集的方法是利用结构力的平衡条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程，即整体刚度方程。3.1.4 单元组集KR结构结点位移列阵结构刚度矩阵；结构结点载荷列阵；式中：KR第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 根据方程组的具体特点选择合适的计算方法，解有限元方程(2.1)得出结构结点位移。进而通过各单元结点位移可求出单元内任意一点的位移、应变、应力。 通过
19、上述分析可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。只有通过整体有限元方程才能求解出全部结点位移。3.1.5 解结构有限元方程，求解未知结点位移第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 由于有限元法用于杆系，具有十分清晰的物理意义，所以，为了便于说明有限元解题的基本思路与过程，又能说明刚度矩阵的概念，本例以杆系结构作为分析实例。图32所示的平面桁架结构(1) 结构离散作用在结点上的外力及桁架内各杆的位移都在平面内。当用有限元法分析杆系结构时，需要将复杂的结构离散化，通常采用自然离散的形式，也即把结构的杆作为单元，称为杆单元
20、。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架结构的杆件只承受轴向力），以传递负荷。P4xP4yxyo1234图32平面桁架结构3.2 杆系结构有限元解题过程演示实例第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理(2) 单元的特性进行分析 即建立单元有限元方程从图32中，任取一个杆单元表示为图33，令其结点为i、j,所示。图安置了固定铰支座。如处，在结点水平位移的连杆铰支座生处安置了一个只允许产于在结点时，这相当当表达式为：单元结点力列阵的矩阵阵表示单元结点位移列阵用矩430, 1FjivuvuFFFFvuvujjiiTjyjxiyixeTjjiieFjx ujVjFjyFix u
21、iViFiyij图33 杆单元第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理ijKjx,ixKjy,ixKix,ixKiy,ixui=1xy图34刚度系数的物理概念其它依次类推。形的力为变方向所产生的抵抗时，各结点沿其它方向的位移为同样方法，当和分向。表明所产生力的结点号个下标方向，第在单位位移的结点号和个下标说明存第式中：刚度元素符号的变形的力（刚度）为抵抗两个方向所产生的二结点的这时在iyjyjyiyjxjxiyiyiyiyixixiiixjyjyixjxjxixiyiyixixixiKFKFKFKFvyxvKFKFKFKFuyxji,0, 112,第01篇 有限单元法基本理论第
22、3章 有限单元法的一般原理。表示为一个单元的参数标称为单元刚度矩阵，上式中于是有，替换成并把刚度元素的下标将上式写成矩阵形式，性叠加，即产生的结点力分量的线分量为各个位移分量所，则各结点力存在，在线弹性范围内当各结点位移分量同时eKKFvuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFjyjxiyixVKuKvKuKFVKuKvKuKFVKuKvKuKFVKuKvKuKFeeeejjiijyjxiyixjjyjyjjxjyiiyjyiixjyjyjjyjxijxjxiiyjxiixjxjxjjyiyjjxiyiiyiyiixiyiyjjyixjjxixiiyixiixixix4321,44434
23、241343332312423222114131211,第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理杆单元的刚度矩阵可简单求出。由于桁架结构的杆件只承受轴向力Fa和轴向位移a，22222222cossincossincoscos()cos()cos sin ajjiijxaajijiiijjuvuvFFKK uuvvuCCSCCSvCSSCSSKuCCSCCSvCSSCSS ixiyjxjy用同样的方法可求得节点力与节点位移的关系。列成矩阵的形式：FFFF 2222222KKEAEALCcos ,sinKeSCCSCCSCSSCSSKCCSCCSCSSCSS公式中， 为杆件的轴向刚
24、度系数（相当于弹簧系数），由材料力学知： /L其中： 为弹性模量， 为杆件横截面积， 为杆长， 代表代表第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 由上述分析可见，单元刚度矩阵的物理意义就是单元抵抗变形的能力，与单向弹簧拉伸刚度不同的是当存在一个单位位移时，杆单元所产生的结点力不是1个，而是4个结点力分量。任何1个结点力分量都是由4个结点位移分量变化所产生的综合结果。可以看出，单元刚度矩阵是实方阵（实际上刚度矩阵是对称方阵），阶数单元结点数单个结点的自由度数。如杆单元的单元刚度矩阵阶数224，平面三角形单元的单元刚度矩阵阶数236。(3) 结构有限元方程的建立 将杆单元组成结构，
25、列出整体刚度方程，即按单元建立平面桁架各结点上内力和外力的平衡方程。 把图31所示的桁架结构自然离散成如图34所示各个单元，并将各单元结点力均注在图上。根据变形协调条件，即在相互联接的公共结点处，各单元的结点位移必须相等，如4号公共第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理结点，同时属于、单元，其位移u4= u4= u4= u4， v4= v4=v4=v4F4yF4xF1yF1xF1yF1xF2yF2xF2yF2xF3xF3yF3yF3xF4xF4yF2xF2yF4yF4x图35 桁架结构的离散第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理对于单元的刚度方程，由杆单元通
26、用方程（31），并将i,j替换为1，4，可以直接写出其单元刚度方程类似地可以写出单元、的刚度方程第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理单元、的刚度方程类同，不再列出。按力的平衡条件Fx=0,Fy=0,M=0，就是在相互联接的公共结点处，各单元对结点的作用力与作用在该结点的外载荷必须相等，对于结点4有第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理用同样的方法可以列出其它节点处的平衡关系。将全部节点按顺序写成矩阵表示节点总外载荷、位移之间的关系如下：力。是支座反力，即约束反荷；是作用在结构上的外载其中：yyxyxQQQPP31144,第01篇 有限单元法基本理论第3章
27、有限单元法的一般原理 很显然，实例桁架结构总体刚度方程其解有无穷多个，不可能得出唯一解。从物理意义上解释，由于所研究的桁架未给予约束，可以产生刚体位移，致使结点位移分量值得不出唯一的解。在具体结构上，由于支座限制了刚体位移，即1130，将其代入方程就可求出其余5个位移分量和3个支座反力分量。 第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理则恒等变换为：若设TyxTyyxPPRQQQQ44311000000 ,00000 方程。，得到只有未知位移的方程中的未知反作用力知的边界条件消除系统用已考虑未知的位移，可利作用力和位移，而集中时不同时考虑未知的反求解移和反作用力。为了在不同类型的未
28、知数位系统方程中包含了两种位移列阵结构刚度矩阵载荷矩阵约束反力矩阵即：很显然：KRQ)5(22)4(22)3(44)5(21)4(21)3(43)5(24)5(23)4(24)4(23)3(42)3(41)5(12)4(12)3(34)5(11)4(11)3(33)5(14)5(13)4(14)4(13)3(32)3(31)5(42)5(41)5(44)2(44)5(43)2(43)2(42)2(41)5(32)5(31)5(34)2(34)5(33)2(33)2(32)2(31)4(42)4(41)2(24)2(23)4(44)2(22)1 (44)4(43)2(21)1 (43)1 (42
29、)1 (41)4(32)4(31)2(14)2(13)4(34)2(12)1 (34)4(33)2(11)1 (331 (32)1 (31)3(24)3(23)1 (24)1 (23)3(22)1 (22)3(21)1 (21)3(14)3(13)1 (14)1 (13)3(12)1 (12)3(11)1 (1100000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKkK）第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 RKQKR求解如下：求出位移后，约束反力（见图中红
30、线）行和列法求解时消去约束所在求解结果，因为在降阶这样处理并不影响位移结构位移列阵结构刚度矩阵结构载荷列阵或：即：,)2 . 2(第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 从总体刚度方程可以看出，总体刚度矩阵的物理意义是总体抵抗变形的能力，其阶数总结点数单个结点的自由度数 求出节点位移后，可以求出约束反力，根据单元刚度方程，又可求出各节点的力。第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 设有如图所示平板结构，其力学特性为平面应力问题。为简单起见，现以二维3节点三角形单元进行网格划分，将之它离散成2个单元，单元与单元之间通过有限个节点相连构成结构组合体。从中任取一个
31、单元分析单元特性。3.3 连续结构有限元解题过程实例图36 连续体结构第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理3.3.1 3节点三角形单元刚度方程 eeessxrxrskkjjiimymymmmxmymmjymymjjxmymjiymymiixmymimymxmmmxmxmmjymxmjjxmxmjiymxmiixmxmimyjyjmmxjyjmjyjyjjjxjyjjiyjyjiixjyjimyjxjmmxjxjmjyjxjjjxjxjjiyjxjiixjxjimyiyimmxiyimjyiyijjxiyijiyiyiiixiyiimyiximmxiximjyixijjxix
32、ijiyixiiixixiimymxjyjxiyixKFuxrxmjisrkvuvuvukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkFFFFFF程可表示为：后面介绍，单元刚度方单元刚度矩阵的求解在变形的力。方向所产生抵抗在时，节点其它方向的位移为方向产生单位位移时，点的轮换）意义是当（元素形式：方程应为如下节点三角形单元的刚度：由杆系结构的推导可知10S,3,66,第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理的力。点单位变形所产生抵抗时，节点位移为单位位移时，其它点的点上产生的分块矩阵，意义是当轮换）为（元素刚表示。度矩阵习惯于用分块子为了表示方便，单元
33、刚S0S22,23,rmjisrkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkrsmmmjmijmjjjiimijiimymymmmxmymmjymymjjxmymjiymymiixmymimymxmmmxmxmmjymxmjjxmxmjiymxmiixmxmimyjyjmmxjyjmjyjyjjjxjyjjiyjyjiixjyjimyjxjmmxjxjmjyjxjjjxjxjjiyjxjiixjxjimyiyimmxiyimjyiyijjxiyijiyiyiiixiyiimyiximmxiximjyixijjxixijiyixiiixixii第0
34、1篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 3.3.2 3节点三角形单元离散的连续体结构刚度方程 44332211243,3333,3332,3322,3321 ,3311 ,3313,3333,3332,3322,3321 ,3311 ,3313,2233,2232,2222,2221 ,2211 ,2213,2233,2232,2222,2221 ,2211 ,2213,1133,1132,1122,1121 ,1111 ,1113,1133,1132,1122,1121 ,1111 ,11114433221144332211443322110000000000000000000
35、000000000K3211vuvuvuvukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkFFFFFFFFmjivuvuvuvuPPPPPPPPRyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyxyxyxyxTTyxyxyxyx位为：对应的结构刚度矩阵定从小到大的顺序为号单元，节点按逆时针对于本例中的相加即可。矩阵的对应位置，然后矩阵元素填入结构刚度只要依次将各单元刚度度矩阵后，的，在求出全部单元刚刚度矩阵对应叠加起来结构刚度矩阵是由单元构载荷列阵按节点顺序表示为：结方程
36、形式。平衡条件写出结构刚度程，同样可以通过力的仿照杆系结构的推导过）（第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 0000000000000000000000000000K3422)2()1(44332211244,4444,4443 ,4433 ,4432,4422,4424,4444,4443 ,4433 ,4432,4422,4424,3344,3343 ,3333 ,3332,3322,3324,3344,3343 ,3333 ,3332,3322,3324,2244,2243 ,2233 ,2232,2222,2224,2244,2243 ,2233 ,2232,222
37、2,222)2(44332211KRKKKvuvuvuvukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkFFFFFFFFmjiyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyxyxyxyx结构刚度方程为：位为：对应的结构刚度矩阵定从小到大的顺序为号单元，节点按逆时针对于本例中的第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 00K342:232110000000000000024, 24)2(44)2(43)2(42)2(34)2()1(33)2()1(32)1
38、(31)2(24)2()1(23)2()1(22)1(21)1(13)1(12)1(11)2()1()3(44)2(43)2(42)2(34)2(33)2(32)2(24)2(23)2(22)2()1(33)1(32)1(31)1(23)1(22)1(21)1(13)1(12)1(11)1(KRkkkkkkkkkkkkkkKKmjimjikkkkkkkkkKkkkkkkkkkK结构刚度方程为：号单元号单元：定位，则有：单元矩阵在结构矩阵的若用分块子刚矩阵表示第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理单元刚度矩阵怎样求？单元刚度矩阵与单元特性有关3.4 3节点三角形单元特性分析第0
39、1篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理（34）3.4.1 3节点三角形单元内任意一点的位移位移函数第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理(3-4)(3-5)(3-6)(3-5)第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理(3-7)(3-7)(3-8)第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理263541( )xyxyuxaaayaauyx根据位移函数确保有限元解收敛于真实解所必须满足的 个条件，来考察三角形常应变单元的位移函数：（）常量应变考察：根据平面问题的几何方程，得到即单元内任意一点的应变均为常量应变，与单元中某点的坐标无关。即单
40、元内任意一点的应变均为常量，即单元各点的应变均相同，故称 3节点三角形 单元位移函数对有限元解的收敛性第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理。因此，上式可改写为时的角位移平面的轴线作刚体转动为单元绕垂直于而、方向上的平动位移分量分别为单元在和式中，的两个位移分量为：可得到发生刚体位移时将此代入式。有由式当发生刚体位移时，有为将位移函数广义式改写刚体位移考察。这种单元为常应变单元035004135435153625363545323512/ )(,)(2),(2),()(0)(, 0)(22),(22),()2(xyaauyxaacxaaayxyaaayxubaaaaabxaa
41、yaxaaayxyaaxayaaayxuxyyx第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理单元边界变形协调。因此，位移函数满足单元重叠或裂开的情况所示，不会发生如图各点的位移是连续的，直线上，即该边界上的此界线上的各点必定落在，所以公共结点之间边公共结点可以连一直线个于线性位移函数，过两点处的位移值相等，对由于相邻单元在公共结单元边界位移协调考察。数，故满足连续性要求位移函数是单值连续函单元内位移连续性考察移。单元的刚体位条件下导出的，表示了是在应变分量均为零的和式15)4() 3()()()(),(),(0000dcdxyxyuyxu第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元
42、法的一般原理 综上所述，对于三角形常应变单元而言，其位移函数满足保证收敛性的4个条件，故三角形常应变单元属于协调元。图3-7 单元之间的位移情况第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理3.4.2 3节点三角形单元内任意一点的应变(3-9)(3-9)第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理3.4.3 3节点三角形单元内任意一点的应力(3-10)第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 确定单元刚度矩阵的方法主要有直接刚度法和能量原理法。对于像三角形这样稍复杂的单元是较难采用直接刚度法确定单元刚度矩阵的，这时可采用弹性力学或材料力学中的虚功原理法。
43、的含义是：当结构受载荷（外力）作用处于平衡状态时，在任意给出的结点虚位移下，外力（结点力）F所做的虚功等于内力（应力）所做的虚功，即AF=A3, , ,(1)eTiijjkkxyxyFixiiyijxjjyjkxkkuvuvuvuvx yAu Fv Fu Fv Fu Fv下面就采用虚功原理法确定平面 结点三角形单元的单元刚度矩阵 现给单元结点以任意虚位移则单元内各点将产生相应的虚位移和虚应变由单元应变方程、单元应力方程可知，它们都是坐标的函数。单元结点力的虚功：( ) eTeykFF3.4 .4 3节点三角形单元刚度矩阵的求解及其性质第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理(2
44、) () ( ) ( ) ,exeyxyxxyyxyxyVTeTTeTVVeTeudNvBrAdVdVBD BdV单元内力的虚功单元内任意点虚位移：单元内任意点虚应变：则单元内力（应力）所做的虚功：其中均与坐,( ) ( ) TTeTeeTeVVx yABD BdVBD B dV标无关，可以从积分符号中提出，即第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理式（3-1）为单元刚度矩阵的普遍公式，它适用于各种类型的单元。对于三角形常应变单元，其位移函数为坐标的线性函数，因此公式中的B、D均为常量矩阵，它们可以提到积分号外面，此外dV是单元内微分体的体积，即:dV=tdxdy (t为单元厚
45、度）对每一单元而言，将其厚度t取为常数，故单元体积为：开为便于计算，将上式展可简化为形常应变单元刚度矩阵引入上述结论，则三角DBBtKtdxdytdVVTeVee(3-1)第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理(3-2)第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理),Y183),(21212121)1 (40021210001011002122mjirXcbmjisrbbccbccbbccbccbbEtbccbEbccbtKrrsrsrsrsrsrsrsrsrssssrrrrrs标差，（坐两坐标差，两移而改变。因为不随单元或坐标轴的平和单元的材料性质，它位单元的形
46、状、大小、方诸元素的数值取决于该）可知，单元刚度矩阵由上述公式（(3-3)(3-3)第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理;00s2;1元素恒为正值致的，因此主对角线与单位位移的方向是一在该自由度上施加的力显然，个自由度上施加的力。时，应在第为而其它诸自由度位移均，个自由度产生单位位移即为欲使第线元素个意义上出发，主对角。从这个自由度上应施加的力时，在第均为而其它诸自由度的位移，个自由度发生单位位移表示欲使第可知：由刚度元素的物理意义角线元素恒为正值）单元刚度矩阵的主对（为对称矩阵因此的结果为对称矩阵，的性质，是对称矩阵，根据矩阵由于矩阵）单元刚度矩阵是对称（iiKrKKBD
47、BDiirseT单元刚度矩阵的性质第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 。所以它是一个奇异矩阵在逆矩阵。，即单元刚体矩阵不存式值为阵诸元素所组成的行列讲，单元刚度矩的转动）。而从数学上个方向的移动和一个面于平面问题：两有任意的刚体位移（对施加约束，即允许单元时，没有对单元结点因为计算单元刚度矩阵单元节点位移，也不能确定足平衡的单元节点力另一方面，即使给定满的。，因此它们是线性相关，题对于平面问。必须满足三个平衡方程相互不是独立的，它门衡时，节点力理解释是：单元处于平单元刚度矩阵奇异的物（无逆阵）单元刚度矩阵是奇异阵0,F)0, 0F0F:()3(eeyxM第01篇 有限单元
48、法基本理论第3章 有限单元法的一般原理其它同理可证故有：方向上节点力之和应为和用下处于平衡，因此在因为单元在节点力的作令证明：偶数位元素之和均等于）的奇数位元素之和或单元刚度矩阵某行（列0000, 10)4(,66,332211ixmymiixjyjiixiyiiixmxmiixjxjiixixiimymxjyjxiyixixmymiixmxmiixjyjiixjxixiyixixmymxjyjxiyixkkjjiimymymmmxmymmjymymjjxmymjiymymiixmymimymxmmmxmxmmjymxmjjxmxmjiymxmiixmxmimyjyjmmxjyjmjyjyjj
49、jxjyjjiyjyjiixjyjimyjxjmmxjxjmjyjxjjjxjxjjiyjxjiixjxjimyiyimmxiyimjyiyijjxiyijiyiyiiixiyiimyiximmxiximjyixijjxixijiyixiiixixiimymxjyjxiyixkkkkkkyxFFFFFFkkkkkkFFFFFFvuvuvukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkFFFFFFvuvuvujiiiii以上是所有单元的单元刚度矩阵的共有性质第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因
50、此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。 。因此这里只需介绍单元载荷移置问题。 。 单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式化。很显然，这种方法适用于各种类型的单元。3.4.5 3节点三角形单元非结点载荷等效移置第01篇 有限单元法基本理论第3章 有限单元法的一般原理 下面采用虚功原理推导3节点三角形单元非结点载荷的等效移置公式。（1）