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1、第一章第一章线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、6161612/47本章内容本章内容n1.1 引言引言n1.2 高斯消去法高斯消去法n1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法n1.4 矩阵的三角分解矩阵的三角分解n1.5 解三对角线方程组的追赶法解三对角线方程组的追赶法n1.6 解对称正定矩阵方程组的平方根法解对称正定矩阵方程组的平方根法n1.7 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数n1.8 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法n1.9 病态方程组和迭代改善法病态方程组和迭代改善法计算方法计算方法计算方法090909计计计11
2、1111、6161613/47本章要求本章要求n1. 理解高斯消去法的基本原理，熟练掌握高斯主元理解高斯消去法的基本原理，熟练掌握高斯主元消去法；消去法；n2. 理解矩阵的三角分解；理解矩阵的三角分解；n3. 掌握解三对角线方程组的追赶法，掌握平方根法；掌握解三对角线方程组的追赶法，掌握平方根法；n4. 了解矩阵范数、条件数。了解矩阵范数、条件数。n5. 熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用;n6. 熟悉熟悉Jacobi迭代法及其相应的迭代法及其相应的Seidel迭代法的计算迭代法的计算公式以及它们的收敛条件公式以及它们的收敛条件;n7. 熟悉熟悉SOR方法的计算公
3、式及其收敛条件。方法的计算公式及其收敛条件。计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、6161614/471.1 引言引言n本节内容本节内容一一. 线性方程组解法线性方程组解法二二. 直接法与迭代法比较直接法与迭代法比较计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、6161615/471.1 引言引言n一一. 线性方程组解法线性方程组解法工程中几乎有一半的问题涉及到线性方程组的求解工程中几乎有一半的问题涉及到线性方程组的求解设设 n 阶线性方程组阶线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bAx 或
4、或11)()()( ninjnnijxxbbaA其中其中计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、6161616/471.1 引言引言nA 称为方程组的系数矩阵，当是称为方程组的系数矩阵，当是 n 阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵时，既时，既 A 0，此时方程组有唯一解。，此时方程组有唯一解。 X 阵是解向量，阵是解向量，B 阵是常向量。阵是常向量。 在线性代数中学过用克莱姆法则求解，它是一种在线性代数中学过用克莱姆法则求解，它是一种直接法直接法(属于解析法属于解析法)，但随着，但随着n计算工作量计算工作量 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、6161617/471.
5、1 引言引言确确实实不不可可行行的的。较较大大时时，在在实实际际计计算算中中对对正正确确，但但在在上上是是绝绝次次乘乘法法。可可见见其其在在理理论论，需需如如分分惊惊人人。次次乘乘法法，计计算算量量十十阶阶行行列列式式计计算算需需作作每每个个次次除除法法，而而阶阶行行列列式式并并作作个个这这种种方方法法需需要要计计算算）（为为法法则则，其其解解由由克克莱莱姆姆则则该该方方程程组组有有唯唯一一解解。，行行列列式式不不为为零零，即即如如果果线线性性方方程程组组的的系系数数nnnnnnnnniAAxcramerAii3510*38. 230!*)1(1, 2 , 1)det()det()(0)det
6、( 自学并理解自学并理解计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、6161618/471.1 引言引言n二二. 直接法与迭代法比较直接法与迭代法比较各有优缺点各有优缺点解方程组的数值解法：解方程组的数值解法：直接法与迭代法直接法与迭代法优缺点比较优缺点比较n直接法：直接法：经经有限次计算得准确解有限次计算得准确解(在无舍入误差下在无舍入误差下),实际上舍入误差客观存在实际上舍入误差客观存在, 得到的依然还是近似解。得到的依然还是近似解。由于受到计算机存储容量的限制，一般来说，仅由于受到计算机存储容量的限制，一般来说，仅适适于系数矩阵阶数不太高于系数矩阵阶数不太高的问题，其工作量的
7、问题，其工作量(计算量计算量)较小较小、精度较高，但程序设计复杂。、精度较高，但程序设计复杂。n迭代法迭代法将问题构成一个将问题构成一个无穷序列，逼近准确解无穷序列，逼近准确解。主主要用于某些要用于某些系数矩阵阶数较高系数矩阵阶数较高的问题，一般来说，的问题，一般来说，程序较为简单程序较为简单、易于编程、易于编程，但存在收敛性及收敛速但存在收敛性及收敛速度的问题，只对具有某些性质的系数矩阵的方程组度的问题，只对具有某些性质的系数矩阵的方程组才适用。才适用。工作量有时较大。工作量有时较大。计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、6161619/471.1 引言引言实际计算时，应根
8、据问题的特点和要求来决定实际计算时，应根据问题的特点和要求来决定方法的取舍。方法的取舍。本章介绍的求解线性代数方程组的本章介绍的求解线性代数方程组的直接法直接法有有Gauss(高斯高斯) 消元法和消元法和LU分解等；分解等；迭代法迭代法有有Jacobi(雅可比雅可比)迭代和迭代和Gauss-Seidel(高斯高斯-赛德尔赛德尔)迭代。迭代。计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616110/471.2 高斯消去法高斯消去法n本节内容本节内容一一. 引言引言二二. 例子例子三三. 顺序顺序Gauss消去法消去法四四. Gauss消去法计算量消去法计算量返回章节目录返回章节目
9、录顺序高斯消去法顺序高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616111/47n一一. 引言引言是一个古老的求解线性方程组的方法。是一个古老的求解线性方程组的方法。改进和变形得到高斯选主元素消去法（第改进和变形得到高斯选主元素消去法（第3节）、节）、三角分解法（第三角分解法（第4节）节）n 元线性方程组元线性方程组 的直接解法。的直接解法。1.2 高斯消去法高斯消去法 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111（式（式1） 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616112/47方
10、程组方程组(1)的矩阵形式为的矩阵形式为 Ax=b 其中其中 nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa.b.x.A2121212222111211，1.2 高斯消去法高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616113/47线性代数：方法不好时工作量非常大，线性代数：方法不好时工作量非常大， 工作量小的方法是工作量小的方法是 Gauss 消去法。消去法。 Cramer法则是一种不实用的直接法，本章介绍法则是一种不实用的直接法，本章介绍几种实用的直接法。几种实用的直接法。 Gauss消去法是一种规则化的加减消元法，其消去法是一种规则化的加减消元法，其基本思想是
11、通过逐次消元计算，把一般线性方程组基本思想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为等价的上三角形方程组的求解。的求解转化为等价的上三角形方程组的求解。1.2 高斯消去法高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616114/47n二二. 例子例子为清楚起见，先看一简单为清楚起见，先看一简单 例子。考虑线性方程组例子。考虑线性方程组 32241332242321321321xxxxxxxxx1.消去后两消去后两个方程中的个方程中的x1得：得： 16622522423232321xxxxxxx2.再消去最后一再消去最后一个方程的个方程的x2得：得：21,31,6
12、1123 xxx3.消元结束消元结束,经过回代得解经过回代得解: 575422252242332321xxxxxx1.2 高斯消去法高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616115/47上述求解的消元过程可用矩阵表示为上述求解的消元过程可用矩阵表示为: 这是高斯消去法的计算形式这是高斯消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的新的增广矩阵对应的线性方程组就是上三角形方程组线性方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解可进行回代求解 322413312242),(bA 1660225022421213212rrrr 5754256002250224223rr1.2 高斯
13、消去法高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616116/47n三三. 求解线性方程组求解线性方程组(1)的的顺序顺序Gauss消去法消去法 记记 则则,线性方程组线性方程组(1)的增广矩阵为的增广矩阵为iiijijbbaa )1()1(1)(1),bbA,A )1()1()1(3)1(2)1(1)1(3)1(3)1(33)1(32)1(31)1(2)1(2)1(23)1(22)1(21)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11)1()1(.)b,A(nnnnnnnnnbaaaabaaaabaaaabaaaa1.2 高斯消去法高斯消去法计算方法计算方法计算方
14、法090909计计计111111、61616117/47nibmbbnjiamaabaaabaaabaaabaaaainiaamaiiijiijijnnnnnnnnii,.,3 , 2,.,3 , 2,.0.0.0.)b,A(1),.,3 , 2(,0)1(11)1()2()1(11)1()2()2()2()2(3)2(2)2(3)2(3)2(33)2(32)2(2)2(2)2(23)2(22)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11)2()2()1(11)1(11)1(11 其其中中行行，得得到到矩矩阵阵：行行加加到到第第乘乘矩矩阵阵的的第第，依依次次用用设设第第一一步步：1.2 高斯消
15、去法高斯消去法 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616118/47nibmbbnjiamaabaabaabaaabaaaainiaamaiiijiijijnnnnnnnii,.,4 , 3,.,4 , 3,.00.00.0.)b,A(2),.,4 , 3(,0)2(22)2()3()2(22)2()3()3()3()3(3)3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(22)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11(3)(3)2(22)2(22)2(22 其其中中行行，得得到到矩矩阵阵：行行加加到到第第乘乘矩矩阵阵的的第第，依依次次用用设设第第二二步步
16、：1.2 高斯消去法高斯消去法 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616119/47这这就就完完成成了了消消元元过过程程。步步结结束束后后得得到到矩矩阵阵：如如此此继继续续消消元元下下去去，第第 )()()3(3)3(3)3(33)2(2)2(2)2(23)2(22)1(1)1(1)1(13)1(12)1(11(n)(n).000.00.0.)b,A(nnnnnnnnbabaabaaabaaaa1-n1.2 高斯消去法高斯消去法 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616120/47称称为为约约化化的的主主元元素素。元元素素就就可可求求出出方方
17、程程组组的的解解。对对此此方方程程组组进进行行回回代代，对对应应的的方方程程组组变变成成：)()(1)()()()()()()2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(111 , 2, 1,.kkkiiinijjiijiiinnnnnnnnnnnnnnnnanniaxabxabxbxabxaxabxaxaxa （式（式2） 1.2 高斯消去法高斯消去法 （式（式3） 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616121/47。求求解解线线性性方方程程组组的的方方法法由由消消元元过过程程和和回回代代过过程程高高斯斯消消去去法法的的求求解解过过程程。方方程程
18、组组回回代代过过程程的的过过程程约约化化为为方方程程组组将将方方程程组组消消元元过过程程:)3(:)2()1(:1.2 高斯消去法高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616122/47结论：结论： （1）高斯消去法分消元、回代两过程。）高斯消去法分消元、回代两过程。 （2）从矩阵分解角度看）从矩阵分解角度看： 消去是解一个下三角方程组，消去是解一个下三角方程组， 回代是解一个上三角方程组。回代是解一个上三角方程组。 （3）消去法顺利进行必须满足）消去法顺利进行必须满足 akk (k) 0,(k=1,2,n)， 若出现若出现akk (k) =0，则，则 可交换行
19、列后再进行消元。可交换行列后再进行消元。1.2 高斯消去法高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616123/471.2 高斯消去法高斯消去法n四四. Gauss消去法计算量消去法计算量次乘除法运算次乘除法运算要作要作完成全部消元计算共需完成全部消元计算共需合计合计加减法次数加减法次数乘法次数乘法次数消元消元乘法次数乘法次数除法次数除法次数步步第第、消元计算、消元计算65232)1(6)12)(1(2)1()()()(6/ )12)(1(2/ )1(6/ )12)(1(2/ )1(11111)2(2)2(22)1(1)1(11)()(12311112112222
20、)(nnnnnnnnnnknknknnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbknknknkk (n-k)(n-k)2计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616124/471.2 高斯消去法高斯消去法)(33)6523(2)1(2)1()(2323231nOnnnnnnnnbAxnnknnk 的的计计算算量量为为则则高高斯斯消消去去法法解解次次乘乘除除法法运运算算完完成成回回代代计计算算共共需需要要作作、回回代代计计算算计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616125/471.2 高斯消去法高斯消去法乘除法耗时大大多于加减法耗时，故高斯消乘除法耗时
21、大大多于加减法耗时，故高斯消元法的计算量为元法的计算量为O(n3)。n=20时时,顺序顺序Gauss消去法只需消去法只需3060次乘除法次乘除法运算。运算。顺序顺序Gauss消去法通常也简称为消去法通常也简称为Gauss消去法。消去法。计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616126/47 6200514061111114051406111112251406111|122546323313*)1(*232132321rrrrrrbAxxxxxxxx）（解解过过程程解解：用用增增广广矩矩阵阵表表示示求求例例：用用消消去去法法解解方方程程组组1.2 高斯消去法高斯消去法计算
22、方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616127/471.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法n本节内容本节内容一一. 问题提出问题提出二二. 选主元素消去法选主元素消去法三三. 高斯列主元消去法高斯列主元消去法N-S图图四四. 高斯高斯-约当消去法约当消去法返回章节目录返回章节目录计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616128/47n一一. 问题提出问题提出个例子。个例子。先看下面先看下面元素法。元素法。出了主出了主主元。基于这种想法导主元。基于这种想法导选取绝对值大的元素作选取绝对值大的元素作序，序，可通过交换方程的次，可通过交换方程的
23、次为避免此种情况的发生为避免此种情况的发生。增长和舍入误差的扩散增长和舍入误差的扩散的严重的严重会导致其他元素数量级会导致其他元素数量级很小，用其作除数，也很小，用其作除数，也但但法进行；即使主元素法进行；即使主元素情况，这时消去法将无情况，这时消去法将无的的过程中可能出现过程中可能出现在高斯消去法中，消元在高斯消去法中，消元300)()( kkkkkkaa1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616129/471.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法例例1：单精度解方程组：单精度解方程组 211021219xxxx
24、精确解为精确解为 和和.1000.00. 1101191 x8个个.8999.99. 0212 xx8个个用用Gauss消去法计算：消去法计算：911212110/ aam999212210101010.0 . 011 ma8个个92121012 mb 9991010011100, 112 xx小主元小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计算失败。可能导致计算失败。计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616130/471.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法 例例2： 解线性方程组（用解线性方程组（用4位十进制位十进制浮点计算）浮点
25、计算） 00. 200. 100. 100. 100. 1000100. 02121xxxx用用Cramer法则可得精度较高的解（精确解）法则可得精度较高的解（精确解） x1* = 1.00010，x2* = 0.99990计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616131/47 解解 用顺序用顺序Gauss消去法消去法, 消元得消元得 1000100000. 100. 1000100. 0221xxx回代得解：回代得解：x1=0.00，x2=1.00与精确解相比，该结果相当糟糕与精确解相比，该结果相当糟糕原因是：在求行乘数时用了很小的数原因是：在求行乘数时用了很小的数0
26、.0001作除数作除数 44100001000. 111000. 101000100. 021111000100. 0),(21mbAA主元主元99991.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616132/47用顺序用顺序Gauss消去法消去法, 消元得消元得 00. 100. 100. 200. 100. 1221xxx回代得解：回代得解：x1=1.00，x2=1.00若将方程组改写成（将若将方程组改写成（将1,2行交换）行交换）: 00. 100. 1000100. 000. 200. 100. 12121xxxx 00.
27、 1200. 1011121000100. 011),(0001. 021mbAA这是一个相当不错的结果这是一个相当不错的结果0.99991.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616133/47 321643. 5072. 12623. 4712. 313210),(8bAA例例3：解线性方程组：解线性方程组(用用8位十进制位十进制尾数的浮点数计算尾数的浮点数计算) 321643. 5072. 12623. 4712. 3132103218xxx解：这个方程组和例解：这个方程组和例2一样，若用一样，若用Gauss消去法计算会
28、有消去法计算会有小数作除数的现象，若采用换行的技巧，则可避免小数作除数的现象，若采用换行的技巧，则可避免行行交交换换，因因此此绝绝对对值值最最大大的的列列元元素素为为很很小小312,10138 a1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616134/47 1233210623. 4712. 31643. 5072. 12831rr 101 . 05 . 03103 . 0102 . 001018015. 0103176. 00643. 5072. 1283121105 . 05 . 0mm绝对值最大绝对值最大,不需换行不需换行
29、 54138685. 05 . 031041555186. 0001018015. 0103176. 00643. 5072. 1292722629. 032m),()1()1(bA ),()2()2(bA ),()3()3(bA 1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616135/47Txaxaxabxxaxabxabx)367257384. 0 ,050886075. 0,491058227. 0(*49105820. 005088607. 0103176. 01018015. 05 . 039257367. 01041
30、555186. 054138685. 0)1(113)1(132)1(12)1(113)2(223)2(23)2(22)3()3(3333 解解为为事事实实上上，方方程程组组的的准准确确经经过过回回代代后后可可得得1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616136/471.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法消消去去法法。列列主主元元消消去去法法和和全全主主元元元元的的方方法法。常常采采用用的的是是用用选选择择主主定定性性，在在消消元元过过程程中中采采为为了了提提高高计计算算的的数数值值稳稳列列主主元元消消去去法法。
31、法法称称为为免免小小主主元元作作除除数数，该该方方换换行行避避消消去去法法的的基基础础上上，利利用用所所用用的的方方法法是是在在例例响响。主主元元”对对解解的的精精度度的的影影上上面面三三个个例例子子说说明明“小小步步的的主主元元为为第第其其首首项项系系数数个个方方程程为为主主方方程程，步步消消元元时时保保留留的的第第第第为为叙叙述述方方便便，我我们们称称GaussGausskakkkkk31)(:二二. 选主元素消去法选主元素消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616137/47 nkkiaankkjiaamaamkikkkkkijkkkikkkkkikik,
32、1,max, 1,max)()()()()()( 要取：要取：列主元高斯消去法，只列主元高斯消去法，只或或要取：要取：主元素高斯消去法，只主元素高斯消去法，只过大，过大，时避免时避免1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616138/47 给定线性方程组给定线性方程组Ax=b，记，记A(1)=A，b(1)=b，列主元列主元Gauss消消去法去法的具体过程如下：的具体过程如下： 首先在增广矩阵首先在增广矩阵B(1)=(A(1),b(1)的第一列元素中，取的第一列元素中，取 然后进行第一步消元得增广矩阵然后进行第一步消元得增广矩
33、阵B(2)=(A(2),b(2)。 再在矩阵再在矩阵B(2)=(A(2),b(2)的第二列元素中，取的第二列元素中，取 然后进行第二步消元得增广矩阵然后进行第二步消元得增广矩阵B(3)=(A(3),b(3)。按此方法。按此方法继续进行下去继续进行下去, 经过经过n-1步选主元和消元运算步选主元和消元运算,得到增广矩阵得到增广矩阵B(n)=(A(n),b(n).则方程组则方程组A(n)x=b(n)是与原方程组等价的上三角是与原方程组等价的上三角形方程组形方程组,可进行回代求解可进行回代求解. 易证，易证，只要只要|A| 0,列主元列主元Gauss消去法就可顺利进行消去法就可顺利进行。.max1)
34、1(11)1(1rraakinik 为主元素，为主元素，.max2)2(22)2(2rraakinik 为主元素，为主元素，1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616139/47 方程组具有四位有效数字的精确解为方程组具有四位有效数字的精确解为 x1*=17.46，x2*=-45.76，x3*=5.546例例4 采用采用4位十进制浮点计算位十进制浮点计算,分别用顺序分别用顺序Gauss消去法和消去法和列主元列主元Gauss消去法求解线性方程组消去法求解线性方程组: 9812 . 4120032001 .1291. 5833
35、4. 06781. 0167. 001. 0012. 0321321321xxxxxxxxx1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616140/47 解解 1. 用顺序用顺序Gauss消去法求解，消元过程为消去法求解，消元过程为 553231065171011750041.44010. 8101000. 006781. 01670. 00100. 00120. 01017981044531467041.44010. 8101000. 006781. 01670. 00100. 00120. 00 .981200. 41200
36、320010.12910. 58334. 0000. 16781. 0167. 00100. 00120. 0回代得：回代得： x3=5.546，x2=100.0，x1=-104.01.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616141/47 2. 用列主元用列主元Gauss消去法求解，消元过程为消去法求解，消元过程为 6744. 01670. 01055. 0079.11909. 54584. 000 .981200. 4120032006781. 01670. 00100. 00120. 010.12910. 58334.
37、0000. 10 .981200. 4120032000 .981200. 41200320010.12910. 58334. 0000. 16781. 01670. 00100. 00120. 0231选主元选主元rr1.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616142/47回代得：回代得：x3=5.545，x2=-45.77，x1=17.46 5329. 00961. 00079.11909. 54584. 000 .981200. 4120032005329. 00961. 00079.11909. 54584. 000
38、 .981200. 4120032001.3 选主元素的高斯消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616143/47 列主元列主元Gauss消去法是在每一步消元前，在主消去法是在每一步消元前，在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素。元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素。而全主元而全主元Gauss消去法是在每一步消元前，在所有消去法是在每一步消元前，在所有元素中选取绝对值最大的元素作为主元素。但由元素中选取绝对值最大的元素作为主元素。但由于运算量大增，实际应用中并不经常使用。于运算量大增，实际应用中并不经常使用。1.3 选主元素的高斯
39、消去法选主元素的高斯消去法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616144/47三三. 高高斯斯列列主主元元消消去去法法N-S图图消元次数消元次数 K=1k=n ?选列主元选列主元 amk|amk| |c1|0； |an|dn|0； |ai| |ci|+|di|，cidi 0，i=2,3,n-1。时，追赶法是数值稳定的时，追赶法是数值稳定的追赶法具有：追赶法具有： 计算程序简单，计算程序简单， 存贮量少，存贮量少， 计算量小的优点。计算量小的优点。1.5 解三对角线方程组的追赶法解三对角线方程组的追赶法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、616161
40、79/471.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法n本节内容本节内容一一. 对称正定矩阵对称正定矩阵二二. 平方根法平方根法乔来斯金分解乔来斯金分解三三. LDLT分解分解返回章节目录返回章节目录计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616180/471.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法与与改改进进的的平平方方根根法法。殊殊的的解解法法，如如平平方方根根法法形形式式，从从而而导导出出一一些些特特三三角角分分解解也也有有更更简简单单的的矩矩阵阵的的这这一一特特性性使使它它的的全全部部特特征征值值均均大大于于零零。即
41、即其其各各阶阶顺顺序序主主子子式式及及常常常常具具有有对对称称正正定定性性，方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵工工程程实实际际计计算算中中，线线性性计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616181/471.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法n 。，则则有有量量正正定定阵阵：对对任任意意非非零零向向；，即即对对称称阵阵：满满足足若若矩矩阵阵对对称称正正定定矩矩阵阵一一0)2()1()(. AxxRxaaAAaATnjiijTnnij对称正定阵的几个重要性质对称正定阵的几个重要性质(2)A 的顺序主子阵的顺序主子阵 Ak 亦对称正定亦对称正定(3
42、)A 的特征值的特征值 i 0 (1)A 1 亦对称正定，且亦对称正定，且 aii 0(4)A 的全部顺序主子式的全部顺序主子式 det ( Ak ) 0计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616182/47）（其其中中证证略略）的的对对角角元元素素皆皆为为正正。（且且使使得得，阵阵在在唯唯一一的的非非奇奇异异下下三三角角是是对对称称正正定定矩矩阵阵，则则存存设设分分解解乔乔来来斯斯金金平平方方根根法法二二，nilaallllllllllllaaaaaaaaaLLLALACholeskyiijiijnnnnnnnnnnnnnnT, 2 , 10 )(.222121112
43、1222111212222111211 1.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法n 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616183/4722121222222212121222222222111111111111111111 n),3,4,(j j2L )2 22L 1) )2( n),2,(j j1L )2)( )1 )1(2222lllalaallllLlalallLlalaallLalaljjjjjjjTTjjjjjT 列列第第行行第第列列第第行行第第列列第第行行第第取取正正由由矩矩阵阵乘乘法法1.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定
44、矩阵方程组的平方根法平方根法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616184/47）（，可可得得nkjllalllalkkmjmkmjkkkjmkmkmkkkk, 11:)(11112 1.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616185/47)1 , 1,(), 2 , 1( )2( )1(,111 nnilxlyxnilylbyxyxLybLybAxAiinikkkiiiiiikkikiiT。，求求；，求求个个三三角角形形方方程程组组即即求求解解两两求求解解完完成成平平方方根根分
45、分解解后后当当矩矩阵阵1.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616186/47的的存存储储单单元元。存存储储在在储储单单元元的的存存存存放放在在计计算算中中三三角角部部分分和和右右端端项项的的下下只只要要存存储储所所需需存存储储单单元元也也少少计计算算时时消消去去法法的的一一半半。上上机机约约是是数数量量级级为为平平方方根根法法的的乘乘除除运运算算量量的的对对称称性性由由于于bxyALbAGaussnA,6/,31.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法计算方法计算方法计算方法0
46、90909计计计111111、61616187/47及及其其改改进进分分解解。可可使使用用为为了了避避免免开开方方这这样样增增加加了了计计算算量量。次次开开方方运运算算时时需需作作在在求求缺缺点点：不不必必先先主主元元。平平方方根根法法稳稳定定，受受到到控控制制所所以以说说舍舍入入误误差差的的放放大大的的最最大大元元，的的值值不不会会超超过过这这说说明明在在分分解解过过程程中中故故列列第第行行第第计计算算量量小小优优点点：TkmkknkkmkknkkkkmkmkmkknLlalaallakkLDL,A maxmax:2. 1211212 1.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方
47、根法平方根法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616188/476.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法 113212112312A11231212312231221226141024064171024424321321321所以所以解解解线性方程组解线性方程组例例xxxxxxxxx44/2=222122221102 lal32112213213232 lllal2221233333)1(26 mmlal计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616189/476.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法
48、平方根法 1211521132121520174112312321321321321xxxxxxyyyyyy，得，得再解方程再解方程，得，得解方程解方程 平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角分解法，对称正定矩阵的分解法，对称正定矩阵的 Cholesky 分解的计算量分解的计算量和存贮量均约为一般矩阵的和存贮量均约为一般矩阵的 LU 分解的一半。且分解的一半。且Cholesky 分解具有数值稳定性。分解具有数值稳定性。计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616190/47TuuuuuunnnnnnkkTLDLLDMAuuuuuu
49、uuuULUAAnn 则则有有而而。，且且唯唯一一分分解解为为对对称称正正定定矩矩阵阵，则则有有设设分分解解三三MD111.0LDL.2221111112221122211211为为对对角角阵阵。为为单单位位下下三三角角阵阵，其其中中在在唯唯一一的的三三角角分分解解是是对对称称正正定定矩矩阵阵，则则存存设设定定理理DLLDLAAT 1.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法n 计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616191/47平平方方根根法法，转转换换为为分分解解。称称为为对对称称正正定定矩矩阵阵的的分分解解其其中中则则有有令令所所以以）又
50、又因因为为（yxGbGybAxGGALDG,GG)(LD(LDLDLDADDDTTTTT2211221121212121212121 CholeskyuuuuuuLMLDMDLMLDMnnnnTTTT1.6 解对称正定矩阵方程组的解对称正定矩阵方程组的平方根法平方根法计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616192/471.7 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数n本节内容本节内容一一. 向量范数向量范数二二. 矩阵范数矩阵范数三三. 矩阵矩阵A的谱半径的谱半径返回章节目录返回章节目录计算方法计算方法计算方法090909计计计111111、61616193/47的的范范数数