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1、性质：性质：地球物理反演理论地球物理反演理论是固体地球物理学专业的通开课程，是固体地球物理学专业的通开课程，通过本课程的学习加深学生对地球物理专业理论实质的理通过本课程的学习加深学生对地球物理专业理论实质的理解和认识。促进学生认识和理解本专业和相关专业的结合，解和认识。促进学生认识和理解本专业和相关专业的结合，从而拓宽学生的专业知识面，并对地球物理学专业的发展从而拓宽学生的专业知识面，并对地球物理学专业的发展和现状有新的认识和现状有新的认识 。任务：任务：掌握地球物理反演理论的基本原理与方法（什么是反演问题、掌握地球物理反演理论的基本原理与方法（什么是反演问题、正演问题，线性反演方法原理，广义
2、反演方法，正演问题，线性反演方法原理，广义反演方法，B-GB-G反演反演理论，非线性反演问题）；能够应用地球物理反演理论的理论，非线性反演问题）；能够应用地球物理反演理论的基本原理与方法解决科研中的实际问题。基本原理与方法解决科研中的实际问题。1 1、绪论、绪论2 2、参数化模型的最小长度解、参数化模型的最小长度解3 3、广义反演法、广义反演法4 4、Backus-GilbertBackus-Gilbert反演理论反演理论 5 5、非线性反演方法非线性反演方法地球物理反演是在地球物理学中利用地球表面观测到的物理现象地球物理反演是在地球物理学中利用地球表面观测到的物理现象推测地球内部介质物理状态
3、的空间变化及物性结构的一个分支。推测地球内部介质物理状态的空间变化及物性结构的一个分支。地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球物理学两大方面，地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球物理学两大方面，其理论上有一个共同的其理论上有一个共同的核心问题：如何根据地面上的观测信号推核心问题：如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部位的物理状态，如物理性质、受力状态测地球内部与信号有关部位的物理状态，如物理性质、受力状态或热流密度分布等或热流密度分布等，这些问题就构成了，这些问题就构成了地球物理反演的独特研究地球物理反演的独特研究对象。对象。具体地说，具体地说，地球物理反演研究的是各种地球物理
4、方法中反演问题地球物理反演研究的是各种地球物理方法中反演问题共同的数学物理性质和解估计的构成和评价方法共同的数学物理性质和解估计的构成和评价方法。它是从各个地。它是从各个地球物理分支中抽象出来的边缘学科。球物理分支中抽象出来的边缘学科。地球物理反演又可分为单一地球物理现象的反演和多种地球物理地球物理反演又可分为单一地球物理现象的反演和多种地球物理现象的联合反演。现象的联合反演。地球物理反演的研究内容和方法地球物理反演的研究内容和方法反演失败的原因反演失败的原因地球物理反演的研究内容和方法地球物理反演的研究内容和方法目前，人类对地球内部的物理性质以及矿产资源的分布已经有了不同程目前，人类对地球内
5、部的物理性质以及矿产资源的分布已经有了不同程度的了解。这种知识多数来自于地表地质和地球物理、地球化学资料的度的了解。这种知识多数来自于地表地质和地球物理、地球化学资料的反演反演和解释，而不是来自于钻井。对于地球表层的了解是如此，深层更和解释，而不是来自于钻井。对于地球表层的了解是如此，深层更是如此。是如此。地球物理学是把地球作为研究对象的一门学科。地球物理学中的反演问地球物理学是把地球作为研究对象的一门学科。地球物理学中的反演问题就是研究利用地球物理的观测数据去反推描述地球物理模型特征的理题就是研究利用地球物理的观测数据去反推描述地球物理模型特征的理论与方法。论与方法。反演问题：反演问题：具体
6、来说，就是有结果及某些一般原理（或模型）出发去确具体来说，就是有结果及某些一般原理（或模型）出发去确定表征问题特性的参数（或称模型参数）。定表征问题特性的参数（或称模型参数）。反演问题是相对于正演问题反演问题是相对于正演问题而存在。而存在。正演问题：正演问题：就是按事物的一般原理（或模型）以及相关的条件（初条件、就是按事物的一般原理（或模型）以及相关的条件（初条件、边界条件）来预测、确定事物的结果。边界条件）来预测、确定事物的结果。反演问题和正演问题反演问题和正演问题G模型空间模型空间数据空间数据空间Gmd 反演问题和正演问题反演问题和正演问题反演理论的任务可以归纳为解决反演理论的任务可以归纳
7、为解决5 5大问题大问题1 1、解的存在性：即给定一组观测数据后，是否一定存在一个能解的存在性：即给定一组观测数据后，是否一定存在一个能拟合观测数据的解或模型；拟合观测数据的解或模型；2 2、模型构制：如果存在性是肯定的，如何求得或构制能拟合观、模型构制：如果存在性是肯定的，如何求得或构制能拟合观测数据的模型；测数据的模型；3 3、非唯一性：能拟合观测数据的模型是唯一，还是非唯一的；、非唯一性：能拟合观测数据的模型是唯一，还是非唯一的；4 4、解的稳定性：当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发、解的稳定性：当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化？生大的变化？5 5、结果的评价：如
8、果解是非唯一的，如何才能从构制的模型中、结果的评价：如果解是非唯一的，如何才能从构制的模型中提取关于真实模型的地球物理信息。提取关于真实模型的地球物理信息。地球物理学中的反演理论的目的是根据观测数据求取相应的地地球物理学中的反演理论的目的是根据观测数据求取相应的地球物理模型参数。球物理模型参数。非线性问题线性化的常用的两种方法非线性问题线性化的常用的两种方法 A A、参数代换法：通过参数代换将非线性方程、参数代换法：通过参数代换将非线性方程线性化的方法线性化的方法近震直达波走时表的编制问题近震直达波走时表的编制问题 ()dgm()iijdg m001()jniiiijjjmgdd mmmdGm
9、移项得当观测数据和模型之间当观测数据和模型之间呈线性泛函数时，可以呈线性泛函数时，可以将连续将连续m m（z z）离散化，）离散化，实现观测数据的反演。实现观测数据的反演。右边右边d d（ j j）是第）是第j j个观测个观测数据，数据， m m（z z）是地球物）是地球物理模型，是理模型，是z z的连续函数，的连续函数，G G是核函数。如果将线是核函数。如果将线性函数中的模型性函数中的模型m m（z z）离散化，将它分为离散化，将它分为N N个个区间区间m mi i（z z） ，则线性，则线性函数可变为：函数可变为：通过求解矩阵方程通过求解矩阵方程d=Gmd=Gm而实现反演目的。而实现反演目
10、的。MMMMNNNMGGGGGGGGGGmmmmdddd1122221112112121GmddzzgGzzzzmmMjmGdzzmzgd：iiZzjjiiiiiNiijibajj1),(,: )(), 1()(),()(11离散化近似模型反演问题的概念及公式反演问题的概念及公式反演问题的主要内容有三方面：反演问题的主要内容有三方面：1 1、解的适定问题，包括解的存在性、唯一性和稳定性、解的适定问题，包括解的存在性、唯一性和稳定性2 2、反演问题的求解方法、反演问题的求解方法3 3、反演问题的解的评价、反演问题的解的评价解的适定问题，包括解的存在性、唯一性和稳定性解的适定问题，包括解的存在性、
11、唯一性和稳定性解的存在性、唯一性与反演问题的数学确定性有关；而解的稳定性则与解的存在性、唯一性与反演问题的数学确定性有关；而解的稳定性则与反演问题的物理确定性以及求解方法对观测数据的处理状况有关。反演问题的物理确定性以及求解方法对观测数据的处理状况有关。论证解的存在性有时也是提供解法的过程：对于选定的模型和已知条件，论证解的存在性有时也是提供解法的过程：对于选定的模型和已知条件，若解存在，那么它是否是唯一解？若不是唯一解，为解决其唯一性，通若解存在，那么它是否是唯一解？若不是唯一解，为解决其唯一性，通常应加上附加的约束条件，或增加观测数据，或二者兼而有之。观测数常应加上附加的约束条件，或增加观
12、测数据，或二者兼而有之。观测数据通常是有误差的，且与测量的状况有关。解的稳定性就是研究当反演据通常是有误差的，且与测量的状况有关。解的稳定性就是研究当反演问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化？若数据的微小变化问题中的数据稍有变化时其解是否会发生大的变化？若数据的微小变化所引起的解在定义域中的变化也是微小的，则认为解的值连续依赖于数所引起的解在定义域中的变化也是微小的，则认为解的值连续依赖于数据，问题的解是稳定。若此时解在定义域中的变化很大且不规则，则称据，问题的解是稳定。若此时解在定义域中的变化很大且不规则，则称问题的解是不稳定的，即为病态。问题的解是不稳定的，即为病态。反演问题的求解
13、方法反演问题的求解方法在处理反演问题中，通常我们更关心的是求解方法在处理反演问题中，通常我们更关心的是求解方法。由于。由于实际问题的复杂性，有时尽管作过解的存在性与唯一性的实际问题的复杂性，有时尽管作过解的存在性与唯一性的验证，但并不等于就有了求解的方法。且在实际应用时，验证，但并不等于就有了求解的方法。且在实际应用时，也不强求要先解决适定性才能求解。许多问题都是通过反也不强求要先解决适定性才能求解。许多问题都是通过反复的实践与演变，才能建立起比较完整的理论。复的实践与演变，才能建立起比较完整的理论。反演问题的解的评价反演问题的解的评价研究解的评价的一系列准则及折衷原则是反演问题的一个研究解的
14、评价的一系列准则及折衷原则是反演问题的一个重要内容。重要内容。没有给出解的评价的反演理论是不完全的，且没有给出解的评价的反演理论是不完全的，且它不同于一般正演问题的误差分析，而是在反演理论中提它不同于一般正演问题的误差分析，而是在反演理论中提取真实解信息的重要工具。取真实解信息的重要工具。 模型构制问题模型构制问题超定问题的最小方差解超定问题的最小方差解dGGGmmEGmdGmdGmdENNMMmGdTTTT12)(0)()() 1()() 1(得令设目标函数为)()(NM 多于模型参数的个数观测数据的个数。MNGrGNM尽可能的拟合数据合适的采用最小误差拟合法是的秩并且多于模型参数的个数观测
15、数据的个数)()()(dGGGmmEGmdmmENNMMmGdTTTT1)(0)() 1()() 1(得令设目标函数为。，。，。，MNMGrGNM解的准则是合适的模型能量最小作为找特采用结构原则最简单假定地球模型服从只能挑选一个特解不足以确定模型观测数据量不够对欠定问题有无穷个解也不矛盾个方程互不相关的秩并且小于模型参数的个数观测数据的个数”“)()()(模型构制问题模型构制问题纯欠定问题的最小模型解dGIGGmmEmmGmdGmdENNMMmGdTTTT122)(0)()() 1()() 1(得令设目标函数为。，。，r，NrM。rGmd。NMGrN、M又要使模型能量最小尽可能既要拟合数据混定
16、故称属于欠定属于超定因个线性无关的方程中只有方程有模型参数的个数观测数据的个数”“),min()()()(阻尼最小二乘法脊回归法马奎特法模型构制问题模型构制问题混定问题的马奎特法混定问题的马奎特法dGmNNNNmGd1) 1()() 1()()(NM 等于模型参数的个数观测数据的个数dIGmG，NGr。GGCGG；NGrdGm12minmax11:,3)(,)(2,)(1均可采用马奎特法在病态和奇异的情况下有些特征值为零因逆矩阵不存在解不存在当很大的条件数有一些特征值很小有时但解存在当模型构制问题模型构制问题恰定问题的解模型构制问题模型构制问题 在模型的构制时，如何处理观测数据和模型参数，有三
17、种不在模型的构制时，如何处理观测数据和模型参数，有三种不同的观点和方法：同的观点和方法： 1 1、把观测数据和模型参数（既可是离散模型，也可以是能、把观测数据和模型参数（既可是离散模型，也可以是能用有限个参数表征的连续模型）都看成是随机变量，通过研用有限个参数表征的连续模型）都看成是随机变量，通过研究它们所遵循的概率分布对观测资料进行反演究它们所遵循的概率分布对观测资料进行反演 。2 2、把观测数据作为随机变量，把模型看成是由一些确定参、把观测数据作为随机变量，把模型看成是由一些确定参数所决定的。反演的任务就是估算这些待定的参数和误差。数所决定的。反演的任务就是估算这些待定的参数和误差。 3
18、3、视观测数据为随机变量，模型是连续函数，形成一套连、视观测数据为随机变量，模型是连续函数，形成一套连续介质的反演理论与方法，这就是著名的续介质的反演理论与方法，这就是著名的B-GB-G反演法。反演法。 适定问题：适定问题：反演问题中，对于允许的数据反演问题中，对于允许的数据d d的每一个集合，问题的解的每一个集合，问题的解m m存存在且唯一，且连续依赖于在且唯一，且连续依赖于d, d,这时，线性偏微分方程问题称为适定问题，或这时，线性偏微分方程问题称为适定问题，或说其解是适定的（说其解是适定的（well or properly posed problemwell or properly po
19、sed problem) )。不适定问题：不适定问题：部分不满足或全不满足上述条件的问题便称作不适定问题部分不满足或全不满足上述条件的问题便称作不适定问题（ill or improperly posed problemsill or improperly posed problems) )。条件适定问题：条件适定问题：实际的反演问题中，观测数据存在误差；在实际使用的计实际的反演问题中，观测数据存在误差；在实际使用的计算机中，数的位数也是有限的，其指数传播的误差就可能造成算法的不稳算机中，数的位数也是有限的，其指数传播的误差就可能造成算法的不稳定性；定性；-.-.-.-.-.-.如此诸多原因的每
20、一方面，都造成问题的实际物理内容的确定如此诸多原因的每一方面，都造成问题的实际物理内容的确定存在性与相应数学问题的不适定性之间的明显矛盾。为使问题得以解决，存在性与相应数学问题的不适定性之间的明显矛盾。为使问题得以解决，只有对问题的解加上适当的附加条件，使问题成为适定的。在数学上面临只有对问题的解加上适当的附加条件，使问题成为适定的。在数学上面临的问题是在的问题是在“条件适定条件适定”（conditionally well posedconditionally well posed) )概念下求解不适定问题。概念下求解不适定问题。反演问题的数学适定性讨论反演问题的数学适定性讨论对反演问题求解，
21、不能强求反演问题的精确对反演问题求解，不能强求反演问题的精确解，而应当去寻求那种满足方程但近似满足解，而应当去寻求那种满足方程但近似满足定解条件，或近似满足方程但精确满足定解定解条件，或近似满足方程但精确满足定解条件，或两者都近似满足的解。条件，或两者都近似满足的解。对于反演问题的答案（解），人们往往习惯于希望象解正演问对于反演问题的答案（解），人们往往习惯于希望象解正演问题一样得到解的确切数值。但由于反演问题的不适定性，能按题一样得到解的确切数值。但由于反演问题的不适定性，能按这样的方式得到的反问题的精确解甚少，实际得到的是这样的方式得到的反问题的精确解甚少，实际得到的是“根据根据模型设计所
22、期望得到的解的类型与根据已知资料（数据）实际模型设计所期望得到的解的类型与根据已知资料（数据）实际能得到的信息之间的各种各样的折衷解能得到的信息之间的各种各样的折衷解”。不同的折衷方案给不同的折衷方案给出反问题的不同形式的解。出反问题的不同形式的解。常用的解的形式：常用的解的形式：1 1、模型参数的估算值、模型参数的估算值2 2、模型参数的约束值、模型参数的约束值3 3、模型参数的加权平均值、模型参数的加权平均值反演问题的解及其评价反演问题的解及其评价地球物理学中的反演理论的目的是根据数据求取相应的地球物理模型。所地球物理学中的反演理论的目的是根据数据求取相应的地球物理模型。所以，首先必须确定
23、观测数据和地球模型参数之间的函数关系，使既可以根以，首先必须确定观测数据和地球模型参数之间的函数关系，使既可以根据给定的模型参数计算相应的观测数据（即实现正演计算），也可以根据据给定的模型参数计算相应的观测数据（即实现正演计算），也可以根据观测数据求取地球物理模型的参数，实现反演映射。观测数据求取地球物理模型的参数，实现反演映射。正演是反演的前提和条件，只有解决了正演计算，不管是解析方法还是数正演是反演的前提和条件，只有解决了正演计算，不管是解析方法还是数值方法，才能实现反演映射。值方法，才能实现反演映射。但是，在自然界并不是所有的物理问题都已但是，在自然界并不是所有的物理问题都已弄清它们的机
24、理而能提出明确的数学模型。如地球起源问题、地震成因问弄清它们的机理而能提出明确的数学模型。如地球起源问题、地震成因问题等，对这类问题，目前反演是无能为力的。这就是题等，对这类问题，目前反演是无能为力的。这就是反演理论的局限性。反演理论的局限性。一般来讲，正演问题比较完善，且从认识论方面来看，其因果关系较为明一般来讲，正演问题比较完善，且从认识论方面来看，其因果关系较为明确。而反演问题在实质上是比较困难的，它的多解性一直困扰着人们，致确。而反演问题在实质上是比较困难的，它的多解性一直困扰着人们，致使某些解有时很难解释。使某些解有时很难解释。反演理论正在发展中，反演理论正在发展中，所以用所以用“反演问题反演问题”与与“反演理论反演理论”两术语，意义相同。两术语，意义相同。反演理论的局限性反演理论的局限性