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1、第四章效用效用回忆偏好关系ux y: 表示表示x严格偏好于严格偏好于 y。ux y: 表示表示x 与与 y受到同等偏好。受到同等偏好。ux y: 表示表示x至少和至少和y受同等偏好。受同等偏好。p pf f回忆偏好关系u完备性完备性: 对于任意的两个消费束对于任意的两个消费束x和和y，那么它们之间关系式那么它们之间关系式 x y 或者或者 y x.f ff f回忆偏好关系u反身性反身性: 任何消费束至少与它本身受到任何消费束至少与它本身受到同等偏好同等偏好; 例如例如 x x。f f回忆偏好关系u传递性传递性: 假如假如x 弱偏好于弱偏好于y, 且且y 弱偏好于弱偏好于z, 那么那么x 弱偏好
2、于弱偏好于z; 例如例如: x y 且且 y z x z.f ff ff f效用函数u满足完备性、反身性、传递性和连续性满足完备性、反身性、传递性和连续性的偏好关系的偏好关系可以通过一个连续效用函数可以通过一个连续效用函数来表示。来表示。u连续性表示消费束的微小变动只会引起连续性表示消费束的微小变动只会引起偏好的微小变动。偏好的微小变动。效用函数u效用函数效用函数 U(x) 表示表示 弱偏好关系弱偏好关系 ，当，当且仅当：且仅当： x x” U(x) U(x”) x x” U(x) U(4,1) = U(2,2) = 4u我们称这些值为我们称这些值为效用水平。效用水平。p p效用函数与无差异曲
3、线u无差异曲线包含受到同等偏好的消费束。无差异曲线包含受到同等偏好的消费束。u同等偏好同等偏好 同样的效用水平同样的效用水平u因此所有在无差异曲线上的消费束都有相因此所有在无差异曲线上的消费束都有相同的效用水平。同的效用水平。效用函数与无差异曲线u消费束消费束(4,1) 和和 (2,2) 在无差异曲线上，在无差异曲线上，有相同的效用值有相同的效用值4 4。u但是消费束但是消费束(2,3) 不在无差异曲线上，它不在无差异曲线上，它的效用值为的效用值为6。u在无差异曲线图上在无差异曲线图上, 这种偏好如下图所示这种偏好如下图所示:效用函数与无差异曲线U 6U 4(2,3) (2,2) (4,1)x
4、1x2p p效用函数与无差异曲线u另一种表示这种偏好关系的方式为通过另一种表示这种偏好关系的方式为通过立体图在垂直方向显示效用值。立体图在垂直方向显示效用值。U(2,3) = 6U(2,2) = 4 U(4,1) = 4效用函数与无差异曲线3个消费束的消费与效用函数的三维图个消费束的消费与效用函数的三维图x1x2效用效用效用函数与无差异曲线u通过加入两条无差异曲线可以使得三维通过加入两条无差异曲线可以使得三维图能更好地显示这种偏好关系。图能更好地显示这种偏好关系。效用函数与无差异曲线U 4 4U 6 6更高的无差异曲线更高的无差异曲线包含更受偏好消费束包含更受偏好消费束效用效用x2x1效用函数
5、与无差异曲线u比较更多的消费束会发现更多的无差异比较更多的消费束会发现更多的无差异消费曲线，从而能使我们对消费者的偏消费曲线，从而能使我们对消费者的偏好有更好的理解。好有更好的理解。效用函数与无差异曲线U 6U 4U 2x1x2效用函数与无差异曲线u如前所述，可以通过在三维空间里面的如前所述，可以通过在三维空间里面的垂直方向轴所表示的效用来描述每一条垂直方向轴所表示的效用来描述每一条无差异曲线。无差异曲线。效用函数与无差异曲线U 6U 5U 4U 3U 2U 1x1x2效用效用效用函数与无差异曲线u比较所有可能消费束可以得到消费者的所比较所有可能消费束可以得到消费者的所有无差异曲线，每一条曲线
6、都有它的效用有无差异曲线，每一条曲线都有它的效用值。值。u所有的这些无差异曲线完全代表了消费者所有的这些无差异曲线完全代表了消费者的偏好。的偏好。效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2Utility Functions & Indiff. Curvesx1效用函数与无差异曲线x1效用函数与无差异曲线x1效用函数与无差异曲线x1效用函数与无差异曲线x1效用函数与无差异曲线x1Utility Functions & Indiff. Curvesx1效用函数与无差异曲线x
7、1效用函数与无差异曲线x1效用函数与无差异曲线x1效用函数与无差异曲线u关于给定偏好关系的所有无差异曲线的集关于给定偏好关系的所有无差异曲线的集合构成了合构成了无差异曲线图无差异曲线图。u一个无差异曲线图代表着一个效用函数，一个无差异曲线图代表着一个效用函数，它们之间是相互对应的关系。它们之间是相互对应的关系。效用函数u一个给定的偏好关系的效用函数不止一一个给定的偏好关系的效用函数不止一个。个。u假设假设 U(x1,x2) = x1x2 表示一种偏好关系。表示一种偏好关系。u我们考虑消费束我们考虑消费束 (4,1),(2,3) 和和 (2,2)。效用函数uU(x1,x2) = x1x2, 因此
8、因此U(2,3) = 6 U(4,1) = U(2,2) = 4; 也即也即, (2,3) (4,1) (2,2).p p效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u令令 V = U2.p p效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u令令V = U2.u那么有那么有 V(x1,x2) = x12x22 且且 V(2,3) = 36 V(4,1) = V(2,2) = 16同样，同样，(2,3) (4,1) (2,2).uV 代表着与代表着与U相同的偏好顺序，因此表示相相同的偏好顺序，因此表示相同的偏好。同的偏好。p pp
9、 p效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u假设假设 W = 2U + 10.p p效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u假设假设 W = 2U + 10.u那么那么 W(x1,x2) = 2x1x2+10 s因此因此W(2,3) = 22 W(4,1) = W(2,2) = 18. 同样同样(2,3) (4,1) (2,2).uW 代表了和代表了和U和和V一样的偏好顺序，因此也一样的偏好顺序，因此也表示了相同的偏好关系。表示了相同的偏好关系。p pp p效用函数u假如假如U 是一个表示是一个表示 偏好关系的效用
10、函偏好关系的效用函数数f 是一个严格递增的函数，是一个严格递增的函数，u 那么那么 V = f(U)也同样是一个表示也同样是一个表示 偏好偏好关系的效用函数。关系的效用函数。 f ff f嗜好品、厌恶品和中性商品u嗜好品嗜好品是指那些能够增加效用的商品是指那些能够增加效用的商品 (即即更加受到偏好的消费束更加受到偏好的消费束)。u厌恶品厌恶品是指那些能够降低效用的商品是指那些能够降低效用的商品(即即不受到偏好的消费束不受到偏好的消费束)。u中性商品中性商品是指那些不影响效用的商品是指那些不影响效用的商品 (即即它的存在不会影响消费者偏好关系它的存在不会影响消费者偏好关系)。嗜好品、厌恶品和中性
11、商品效用效用水水x水的消费量水的消费量是嗜好品的是嗜好品的范围范围水的消费量水的消费量是厌恶品的是厌恶品的范围范围在在 x 周围，少量额外的水是不影响消费者的效用周围，少量额外的水是不影响消费者的效用。效用函数效用函数一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线u考虑用考虑用 V(x1,x2) = x1 + x2代替代替 U(x1,x2) = x1x2 那么对于这个表示完全替代关系的无差那么对于这个表示完全替代关系的无差异曲线是怎样的？异曲线是怎样的？完全替代品的无差异曲线55991313x1x2x1 + x2 = 5x1 + x2 = 9x1 + x2 = 13V(x1,x2) = x1 + x2
12、.完全替代品的无差异曲线55991313x1x2x1 + x2 = 5x1 + x2 = 9x1 + x2 = 13所有的无差异曲线都是线性和平行的所有的无差异曲线都是线性和平行的V(x1,x2) = x1 + x2.一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线u考虑用函数考虑用函数W(x1,x2) = minx1,x2替代替代 U(x1,x2) = x1x2 和和 V(x1,x2) = x1 + x2 函数函数那么完全互补品的无差异曲线是怎样的？那么完全互补品的无差异曲线是怎样的？完全互补品的无差异曲线x2x145ominx1,x2 = 83 58358minx1,x2 = 5minx1,x2 =
13、 3W(x1,x2) = minx1,x2完全互补品的无差异曲线x2x145ominx1,x2 = 83 58358minx1,x2 = 5minx1,x2 = 3无差异曲线是相互垂直的直线，最高点是一条无差异曲线是相互垂直的直线，最高点是一条从原点出发的射线。从原点出发的射线。W(x1,x2) = minx1,x2一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线u一个效用函数有如下的形式一个效用函数有如下的形式 U(x1,x2) = f(x1) + x2是关于是关于x2 的线性效用函数，我们称之为的线性效用函数，我们称之为拟线性效用函数。拟线性效用函数。u例如例如 U(x1,x2) = 2x11/2
14、+ x2.拟线性无差异曲线x2x1每一条无差异曲线都是垂直的向上平行每一条无差异曲线都是垂直的向上平行移动。移动。一些其它的效用函数以及它们的无差异曲线u任何有如下形式的效用函数任何有如下形式的效用函数 U(x1,x2) = x1a x2b其中其中 a 0 ， b 0 叫做叫做柯布道格拉斯柯布道格拉斯效效用函数用函数u例如例如 U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b =3）柯布-道格拉斯无差异曲线x2x1所有曲线都是双曲线，渐进趋所有曲线都是双曲线，渐进趋向于坐标轴。向于坐标轴。边际效用u边际意味着边际意
15、味着“增量增量”.u商品商品i的边际效用的边际效用 是总效用的该变量与是总效用的该变量与 i的消费量的改变量之比的消费量的改变量之比: MUUxii 边际效用u例如例如 ，假设，假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么那么1/ 22112112UMUxxx边际效用u例如，例如， 假设假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么那么1/22112112UMUxxx边际效用u例如例如 假设假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么那么边际效用u例如例如 假设假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么那么MUUxxx2211 222 /边际效用u那么那么, 如
16、果如果 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么那么MUUxxxMUUxxx1111 2222211 22122 /边际效用和边际替代率u无差异曲线效用函数的一般形式为无差异曲线效用函数的一般形式为 U(x1,x2) k, k为常数为常数u全微分得到如下方程：全微分得到如下方程： UxdxUxdx11220 边际效用和边际替代率 UxdxUxdx11220 UxdxUxdx2211 也即也即边际效用和边际替代率 UxdxUxdx2211 也即也即且且dxdxUxUx2112 /.这是边际替代率。这是边际替代率。边际效用和边际替代率; 一个例子u假设假设 U(x1,x2) = x1x2.
17、那么那么 UxxxUxxx12221111 ( )()()( )MRSdxdxUxUxxx 211221 /.那么那么边际效用和边际替代率; 一个例子MRSxx 21 MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1.x1x28616U = 8U = 36U(x1,x2) = x1x2;拟线性效用函数的边际替代率u拟线性效用函数有如下形式：拟线性效用函数有如下形式： U(x1,x2) = f(x1) + x2.因此因此 Uxfx11 () Ux21 MRSdxdxUxUxfx 21121 /().拟线性效用函数的边际替代率uMRS = - f (x1) 与
18、与x2无关，对于给定的无关，对于给定的x1，拟线性效用函数的无差异曲线的斜率是拟线性效用函数的无差异曲线的斜率是一个常数，且与一个常数，且与x2无关。那么拟线性效无关。那么拟线性效用函数的无差异曲线图是怎样的？用函数的无差异曲线图是怎样的？ 拟线性效用函数的边际替代率x2x1每一条无差异曲线都是垂直每一条无差异曲线都是垂直的向上平行移动。的向上平行移动。对于给定的对于给定的x1 ，边际替代率对于边际替代率对于是一个常数。是一个常数。MRS =- f(x1)MRS = -f(x1”)x1x1”单调变换与边际替代率u对一个效用函数使用单调变换并不改变对一个效用函数使用单调变换并不改变消费束的偏好关
19、系。消费束的偏好关系。u当使用单调变换时，边际替代率会怎么当使用单调变换时，边际替代率会怎么样变化？样变化？单调变换与边际替代率u对于对于 U(x1,x2) = x1x2 MRS = - x2/x1.u令令 V = U2; i.e. V(x1,x2) = x12x22. 那么那么V的的MRS会怎样变化会怎样变化?和效用函数和效用函数U的的MRS一样。一样。MRSVxVxx xx xxx /121 221222122单调变换与边际替代率u一般来说一般来说, 假如假如V = f(U) 且且f 是一个严格是一个严格单调递增函数。单调递增函数。MRSVxVxfUUxfUUx /()/()/1212 UxUx/.12因此因此 MRS不受单调变换的影响。不受单调变换的影响。