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1、 18.3（1）（2） 反比例函数及其图像和性质实践主题：整体深度理解数学概念教学目标1、学生通过自己举出现实生活中的具体事例，理解反比例关系，理解反比例函数的概念。会画反比例函数图像，掌握反比例函数的图像性质。2、通过画反比例函数图像、探究反比例函数图像性质，整体深度理解反比例函数的概念。3、能运用反比例图像性质解决简单的数学问题进一步体会类比、数形结合的思想方法，体会函数与现实生活密切相关。重点：整体深度理解反比例函数的概念难点：整体深度理解反比例函数概念教学过程设计一、学习导入复习提问：大家以前学过正比例函数，我们是从哪几个方面入手研究的？师生活动：教师提出问题，学生思考、回答教师引导学
2、生复习研究正比例函数的方法和过程。设计意图：引导学生回忆解析式的形式和自变量、函数值、k值的取值范围。结合复习研究函数的一般方法，引出本节课的学习内容。同时，复习正比例函数图像和性质的学习过程时，先对k的正负不同进行分类讨论，再回忆画函数图像的步骤和注意事项，接着观察图像的特征（形状、位置、变化趋势等），最后归纳得到函数的性质。让学生类比这一过程去探究反比例函数的图像和性质，为学习反比例函数的概念、图像和性质作好铺垫二、探究新知1、类比正比例，探究反比例、反比例函数的概念 （1）基于学生课前所举的事例，分成四列，进行分类交流。对比其中的反比例和正比例的例子，探究反比例的两个变量的乘积是个定值，
3、类比正比例函数探究反比例函数。 问：问题1中的两个变量成什么关系？为什么？ 问题2中的两个变量成正比例关系吗？那么这两个变量有什么特殊关系？ 问题3中的变量是函数关系吗？加什么条件，可以是正比例关系？加什么条件，可以是反比例关系? 问题4：第二列中的正比例关系的实例，如何改变条件，就可以是反比例关系？（2）概念辨析下列函数（其中x是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是？如果是，请写出反比例函数的比例系数.设计意图：反比例函数的概念的理解对学生来说是个难点，也是必须掌握的重点。为了理解这个抽象的概念，采用了正比例概念一样的研究方法，从实际问题引入，类比正比例得到反比例的概念。概念运用题目的设置
4、，关注正反比例的对照，深入对正反比例概念的理解。2、类比正比例函数，画反比例函数图像、探究反比例函数图像性质，并深度理解概念。同桌分工画出反比例函数 、 的图像师生活动：（1）学生独立操作，用“描点”法画函数图像，教师巡视，收集并展示学生画出的典型图像（2）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善和补充。教师适时提问：选取自变量的值时，要注意什么？连线时要注意什么？图像延伸的趋势是怎样的？为什么？教师引导学生思考和回答。（3）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。设计意图：图像是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画出反比例函数图像的基本步骤，可以使学生对反比例函
5、数的性质有一个初步的、整体的感性认识。列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x0）。同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图像的特征；连线时按照自变量从小到大的顺序顺次连接各点，注意图像末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图像。根据学生作图容易出现图像末端延伸趋势有误的问题，结合作图实例的对比，有针对性的引导学生从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（ x0，y0，k0）或“式”（解析式中x，y的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图像）的认识。使学生初步理解双曲线与x轴、y轴“越来越靠近”但不相交
6、的趋势。同时为探究函数的性质做好准备。问题1 观察反比例函数 、 的图像，它们有哪些特征？师生活动：学生观察，思考，四人小组讨论，归纳学生代表发表观点和看法，互相交流和补充，形成统一的认识。教师引导和评价，给出双曲线的名称几何画板展示一般情况的函数图像，归纳反比例函数图像性质。设计意图：学生感受“形”的特征，类比对正比例函数图像及性质的学习，容易观察得到函数图象的形状、位置和变化趋势，对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。反比例函数具有丰富的性质，且八年级学生有一定思维能力，适当放开，以小组讨论的形式给学生充分交流，既激发学生探究问题的主动性和热情，又给学生一个更广阔的思维空间，培养了学生的
7、合作交流能力。注意把握好“度”，对双曲线的渐进性、对称性以及相对于原点的位置等等，若学生有所发现，教师给予肯定，但不作基本要求。追问1 对于一般的反比例函数，是否也具有同样的性质呢？师生活动：学生猜想，教师演示几何画板，在k0或k0的前提下赋予不同的k 值，学生观察所得到的反比例函数图像的特征，引导学生发现“变化中的规律性”。设计意图：通过几何画板演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，归纳得到k0时，反比例函数的图像特征和性质。问题2 你能由列表中数值的关系，或者由函数解析式来解释这些性质吗？师生活动：学生先独立思考，再四人小组合作交流学生回答，教师引导和评价设计意图：函数的表示法有解
8、析式法、列表法和图像法。函数图像是研究函数性质的直观载体，从图像上较容易整体把握函数的性质，但是难以深入局部和细节；而解析式可以对函数性质进行无限“解读”，但不够直观。学生观察函数图像，归纳得到函数的性质后，引导学生结合列表中数值的关系，或者观察解析式的特点，去解释说明这些性质，这样结合函数图像和解析式去研究函数的性质，既深化了学生对函数性质的认识，又体现了数形结合的思想。师生活动：教师帮助学生梳理、归纳。设计意图：通过归纳，培养学生的抽象概括能力。问题4：生活实例中的反比例关系的图像是怎样的？以面积为6的长方形为例，结合几何画板。师生活动：师生共同探究完成。设计意图：结合实际实例，研究实际问
9、题中的反比例函数图像，关注定义域。3、应用新知1、行程问题中路程为s，时间为t，速度为v. (1)如果速度v一定 ，则s是t的两个变量成 关系.(2)如果路程s一定，则v是t的两个变量成 关系.2、如果 = .3、反比例函数的图像的两个分支在第一、三象限，则 .4、若点A(2，y1)，点B (3，y2)在反比例函数的图像上， y1与 y2的大小关系为y1 y2.（若有时间，对此题从特殊到一般进行变式。）师生活动：师生问答，引导学生关注各题对应考查的知识点。设计意图：通过练习，实现知识向能力的转化。5、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容，学生回答以下问题，最后教师总结各环节的学习方法和数学思想。（1） 这节课我们从哪几个方面去研究反比例函数？返回到引例中，归纳这些未学的函数的研究方法。（2）正比例函数和反比例函数有哪些异同点？（3）这节课的学习中，你还有哪些疑惑？设计意图：教师引导学生回顾本节课的学习过程，梳理知识脉络，归纳知识点和思想方法，使学生对反比例函数的图像和性质有一个较为完整、全面的认识。6、布置作业：课后学习单4