《解析几何—双曲线 教学案 河北省鸡泽县第一中学高三数学一轮复习.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何—双曲线 教学案 河北省鸡泽县第一中学高三数学一轮复习.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、双曲线1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在2标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)平面内到两定点的距离
2、的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_答案：442经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_答案：13已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_答案：考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线
3、的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支例1(1)(2019宁夏育才中学月考)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1B17C1或17 D以上均不对(2)已知点P在曲线C1：1上，点Q在曲线C2：(x5)2y21上，点R在曲线C3：(x5)2y21上，则|PQ|PR|的最大值是()A6 B8C10 D12解析(1)根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8PF21或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17，故选B.(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，
4、则|PC2|PC3|8.|PQ|max|PC2|1，|PR|min|PC3|1，所以|PQ|PR|的最大值为(|PC2|1)(|PC3|1)|PC2|PC3|28210.故选C.答案(1)B(2)C方法技巧双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型类型一与双曲线1有公共渐近线的双曲线方程可设为(0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为yx或yx，则可设双曲线方程
5、为(0)类型三与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2ka2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为1(mn0)或者1(mn0)类型五与椭圆1(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为1(b2a2)例2(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.又双曲线的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，所以b3.又由e2，知a2b24a2，所以a.所以双曲线的方程为1.法二：
6、由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3.因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以双曲线的方程为1，故选C.答案C方法技巧求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2ny21(mn0)求解1.虚轴长为2，离心率e3的双曲线
7、的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|8，则ABF2的周长为()A3 B16C12 D24解析：选B2b2，e3，b1，c3a，9a2a21，a.由双曲线的定义知：|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|，得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)，又|AF1|BF1|AB|8，|AF2|BF2|8，则ABF2的周长为16，故选B.2.设k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A长轴在x轴上的椭圆 B长轴在y轴上的椭圆C实轴在x轴上的双曲线 D实轴在y轴上的双曲线解析：选Dk1，1k0，k210，方程(1k)x2y2k21所表示的曲线
8、是实轴在y轴上的双曲线，故选D.3.已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A.1 B.1Cx21 D.1解析：选C法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得无解故该双曲线的标准方程为x21，选C.法二：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时，y23，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为yx
9、，即x，所以可设双曲线的方程是x2(0)，将点(2,3)代入，得1，所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.突破点二双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)双曲线方程(m
10、0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(2)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直()答案：(1)(2)二、填空题1双曲线1的渐近线方程为_答案：3x4y02若双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标是(3,0)，则k_.答案：13双曲线的渐近线方程为yx，则离心率为_答案：或考法一渐近线问题例1(1)(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx(2)(2019郑州一中入学测试)已知抛物线x28y与双曲线x21(a0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|5，则该双曲线的渐近线方程为()A5x3y0 B3x5y0C4x5y0 D5
11、x4y0解析(1)e，a2b23a2，ba.渐近线方程为yx.(2)设点M(x0，y0)，则有|MF|y025，所以y03，x24，由点M(x0，y0)在双曲线x21上，得x1，即241，解得a2，所以双曲线x21的渐近线方程为x20，即3x5y0，选B.答案(1)A(2)B方法技巧求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0)考法二离心率问题例2(1)(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足
12、为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A.B2C. D.(2)(2018长春二测)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()A. B.C(1,2 D.解析(1)不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.(2)由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以|PF
13、2|，由双曲线上的点到焦点的最短距离为ca，可得ca，解得，即e，又双曲线的离心率e1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.答案(1)C(2)B方法技巧求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解1.已知双曲线1(m0)的一个焦点在直线xy5上，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选B由于双曲线1(m0)的焦点在y轴上，且在直线xy5上，直线xy5与y轴的交点为(0,5)，所以c5，m925，则m16，则双曲线的方程为1，则双曲线的渐近
14、线方程为yx.故选B.2.若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.3.(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：选De ，1.双曲线的渐近线方程为xy0.点(4,0)到C的渐近线的距离d2.4.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1，F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B(2，)C(1，) D(，)解析：选A如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，联立得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故22c2，化简得b23a2，即c2a23a2，解得2，又双曲线的离心率e1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选A .