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1、解析几何压轴大题策略指导四大策略解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在突破解析几何难题，先从找解题突破口入手策略一利用向量转化几何条件典例如图所示，已知圆C：x2y22x4y40，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解题观摩假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点设直线l的方程为yxb，点A(x1
2、，y1)，B(x2，y2)联立消去y并整理得2x22(b1)xb24b40，所以x1x2(b1)，x1x2.因为以AB为直径的圆过原点，所以OAOB，即x1x2y1y20.又y1x1b，y2x2b，则x1x2y1y2x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20.由知，b24b4b(b1)b20，即b23b40，解得b4或b1.当b4或b1时，均有4(b1)28(b24b4)4b224b360，即直线l与圆C有两个交点所以存在直线l，其方程为xy10或xy40.题后悟通以AB为直径的圆过原点等价于OAOB，而OAOB又可以“直译”为x1x2y1y20，可以看出，解此类解析几何问题的
3、总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题针对训练1已知椭圆M：1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点，左顶点，过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A，B两点(1)求椭圆M的离心率及短轴长(2)问：是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，椭圆M的离心率e，短轴长2b2.(2)设点B(x0，y0)，由题意知BCBF1，点F1(1,0)，C(2，0)，由BCBF10，得(2x0，y
4、0)(1x0，y0)0，即(x02)(x01)y0.又知点B(x0，y0)满足1.联立，解得x02或x010.由椭圆方程知，x02或x010均不满足题意，故舍去因此，不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上策略二角平分线条件的转化典例已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，求证：直线l过定点解题观摩(1)设动圆圆心为点P(x，y)，则由勾股定理得x242(x4)2y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：法一：由题意可设
5、直线l的方程为ykxb(k0)联立得k2x22(kb4)xb20.由4(kb4)24k2b20，得kb2.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为x轴是PBQ的角平分线，所以kPBkQB0，即kPBkQB0，所以kb0，即bk，所以l的方程为yk(x1)故直线l恒过定点(1,0)法二：设直线PB的方程为xmy1，它与抛物线C的另一个交点为Q，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由条件可得，Q与Q关于x轴对称，故Q(x2，y2)联立消去x得y28my80，其中64m2320，y1y28m，y1y28.所以kPQ，因而直线PQ的方程为yy1(xx1)又y1y28，y8
6、x1，将PQ的方程化简得(y1y2)y8(x1)，故直线l过定点(1,0)法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线PQ的方程为xmya.联立消去x，整理得y28my8a0，0.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由条件可知kPBkQB0，即kPBkQB0，所以8ma8m0.由m的任意性可知a1，所以直线l恒过定点(1,0)法四：设P，Q，因为x轴是PBQ的角平分线，所以kPBkQB0，整理得(y1y2)0.因为直线l不垂直于x轴，所以y1y20，可得y1y28.因为kPQ，所以直线PQ的方程为yy1，即y(x1)故直线l恒过定点(1,0
7、)题后悟通本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y1，y2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式针对训练2如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解：(
8、1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则直线PA，PB的斜率互为相反数，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为yk(x2)，联立方程，得消去y，得(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得x22，x1x2，x1x2，kAB.直线AB的斜率为定值.策略三弦长条件的转化典例如图所示，已知椭圆G：y21，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，
9、直线OM与椭圆G相交于C，D两点(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率(2)是否存在直线l，使得|AM|2|CM|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解题观摩(1)由题意可知点F1(1,0)，又直线l的斜率为1，故直线l的方程为yx1.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理得3x24x0，则x1x2，y1y2，因此中点M的坐标为.故直线OM的斜率为.(2)假设存在直线l，使得|AM|2|CM|DM|成立由题意，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为xmy1.由消去x并整理得(m22)y22my10.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得|AB|y
10、1y2| ，x1x2m(y1y2)22，所以弦AB的中点M的坐标为，故直线CD的方程为yx.联立消去y并整理得x22，解得x2.由对称性，设C(x0，y0)，D(x0，y0)，则x，可得|CD|2x0|2 .因为|AM|2|CM|DM|(|OC|OM|)(|OD|OM|)，且|OC|OD|，所以|AM|2|OC|2|OM|2，故|OM|2，即|AB|2|CD|24|OM|2，代入|AB|，|CD|和|OM|，得4，解得m22，故m.所以直线l的方程为xy1或xy1.题后悟通本题(2)的核心在于转化|AM|2|CM|DM|中弦长的关系由|CM|OC|OM|，|DM|OD|OM|，又|OC|OD|
11、，则|AM|2|OC|2|OM|2.又|AM|AB|，|OC|CD|，因此|AB|2|CD|24|OM|2，转化为弦长|AB|，|CD|和|OM|三者之间的数量关系，易计算针对训练3已知圆M：(x)2y2r2(r0)，椭圆C：1(ab0)的右顶点为圆M的圆心，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若存在直线l：ykx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|BH|，求圆M的半径r的取值范围解：(1)设椭圆C的焦距为2c，因为a，所以c1，因此b1.故椭圆C的方程为y21.(2)由直线l与椭圆C交于A，B两点，设点A(x1，y1)，B(x2，y
12、2)由得(12k2)x220，所以x1x20，x1x2，则|AB| .因为点M(，0)到直线l的距离d，所以|GH|2.显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线ykx就是y轴，与已知矛盾要使|AG|BH|，只需|AB|GH|，即4，所以r22.当k0时，得r.当k0时，r2223.又显然r222，所以r.综上所述，圆M的半径r的取值范围是，)策略四面积条件的转化典例设椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆交于E，F两点，求四边形AEBF的面积的最大值解题观摩法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，
13、ykx(k0)设点E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 .根据点到直线的距离公式和，得点E，F到直线AB的距离分别为h1，h2.又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)2222，当且仅当4k，即k时取等号因此四边形AEBF的面积的最大值为2.法二：依题意得椭圆的方程为y21.直线EF的方程为ykx(k0)设点E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2.联立消去y，(14k2)x24.故x1，x2，|EF|x1x2| .根据点到直线的距离公式，得点A，B到直线EF的距离分别为d1，d2 .因此四边形
14、AEBF的面积为S|EF|(d1d2)2222，当且仅当4k，即k时取等号因此四边形AEBF的面积的最大值为2.题后悟通如果利用常规方法理解为S四边形AEBFSAEFSBEF|EF|(d1d2)(其中d1，d2分别表示点A，B到直线EF的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出|EF|的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂而通过分析，若把四边形AEBF的面积拆成两个小三角形ABE和ABF的面积之和，则更为简单因为直线AB的方程及其长度易求出，故只需表示出点E与点F到直线AB的距离即可针对训练4已知椭圆C：1的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P(n,0)(n4)满足
15、条件e.(1)求n的值；(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记PMF和PNF的面积分别为S1，S2，求证：.解：(1)依题意，e，|FA|2，|PA|n4(n4)，得，解得n8.(2)证明：由S1|PF|PM|sinMPF，S2|PF|PN|sinNPF，则.设直线l的方程为xmy2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，又P(8，0)，则kPMkPN.联立消去x并整理得(3m24)y212my360，所以所以kPMkPN0，则MPFNPF，因此.总结规律快速转化做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解
16、、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题附几种几何条件的转化，以供参考：1平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相平分中点重合2直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为1，或向量数量积为0(2)勾股定理两点间的距离公式(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)两点间的距离公式3等腰三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边相等两点间的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式4菱形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合5圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零(2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数6角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角、直角、钝角角的余弦(向量数量积)的符号(2)倍角、半角、平分角角平分线性质，定理(夹角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例线段或斜率