《福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题（解析版）.docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ax|9x231，By|y2，则（RA）B（）A23，2)BC(-，-2323，2)D(-23，23)2复数z满足（12i）z4+3i（i为虚数单位），则复数z的模等于（）A55B5C25D453设等差数列an的前n项和为Sn若a2a12，S5S49，则a50（）A99B101C2500D92454一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（）A1：2B1：4C1：（2+1）D1：（2-1）5（2x1）5a0+a1（x1
2、）+a2（x1）2+a5（x1）5，则a3（）A40B40C80D806随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放如图是20122018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（）20122018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；20132015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；20162018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%ABCD7习总书记在十九大报告中指出
3、：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和如图是求大衍数列前n项和的程序框图执行该程序框图，输入m10，则输出的S（）A100B140C190D2508若a=414，blog512，c=log1319，则（）AbacBabcCacbDcab9将函数f(x)=2sin(3x+23)的图象向右平移12个周期后得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴可以是（）Ax=18Bx=6Cx=718Dx=111810设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a
4、0，b0）的左焦点为F，直线4x3y+200过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若|OP|OF|，则C的离心率为（）A5B5C53D5411设数列an的前n项和为Sn，且a11，an=Snn+2(n-1)（nN*），则nSn-2n2的最小值为（）A2B1C23D312若关于x的不等式aex（x+1）x20解集中恰有两个正整数解，a的取值范围为（）A43e2，12e)B94e3，12e)C94e3，12eD94e3，43e2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置.13已知向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|3，则|3a-2b| 14椭圆C：x2a
5、2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为23，点E在C上，EF1EF2，直线EF1的斜率为bc（c为半焦距），则C的方程为 15已知点P（x，y）满足x+y4yxx1，过点P的直线l与圆C：x2+y214相交于A、B两点，则AB的最小值为 16已知三棱锥ABCD的棱长均为6，其内有n个小球，球O1与三棱锥ABCD的四个面都相切，球O2与三棱锥ABCD的三个面和球O1都相切，如此类推，球On与三棱锥ABCD的三个面和球On1都相切（n2，且nN*），则球O1的体积等于 ，球On的表面积等于 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，
6、每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）如图，已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA+（ca）sinCbsinB，点D是AC的中点，DEAC，交AB于点E，且BC2，DE=62（1）求B；（2）求ABC的面积18（12分）如图，在五面体ABCDEF中，ABCDEF，ABBC，CD2CE2EF8，BCE120，DF=42（1）证明：EF平面BCE；（2）若BC8，ABEF，求二面角EADF的余弦值19（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）过F作直线交抛物线于A、B
7、两点若直线OA、OB分别交直线l：yx2于M、N两点，求|MN|的最小值20（12分）已知函数f（x）1+x2sinx（x0）（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）e2x21（12分）某医药开发公司实验室有n（nN*）瓶溶液，其中m（mN）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1（1）假设n5，m2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌
8、R的概率；（2）现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P（0p1）若采用方案一需检验的总次数为；若采用方案二需检验的总次数为（i）若与的期望相等试求P关于n的函数解析式Pf（n）；（ii）若P=1-e-14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望求n的最大值参考数据：ln20.69，ln31.10，ln51.61，ln71.95（二）选考题：共10分请考生在第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=m+2t
9、，y=2t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=41+sin2（）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）设P为曲线C上的点，PQl，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）a+b+c1a2+1b2+1c2；（2）12+a+12+b+12+c1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ax|9x231，By|y2，则（RA）B（）A23，2)BC(-，-2323，2)D(-23，23)【分析】根
10、据题意，求出集合A，进而可得RA，由交集的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，集合Ax|9x231（-23，23），则RA（，-2323，+），又由By|y2，则（RA）B（，-2323，2），故选：C【点评】本题考查集合的运算，涉及集合交并补的定义，属于基础题2复数z满足（12i）z4+3i（i为虚数单位），则复数z的模等于（）A55B5C25D45【分析】由复数的模的性质可得：|z|=|4+3i|1-2i|，进而得出结论【解答】解：（12i）z4+3i（i为虚数单位），则|z|=|4+3i|1-2i|=42+3212+(-2)2=5故选：B【点评】本本题考查了复数运算法则及其性质，考查了
11、推理能力与计算能力，属于基础题3设等差数列an的前n项和为Sn若a2a12，S5S49，则a50（）A99B101C2500D9245【分析】依题意得，公差da2a1，a5S5S4，可得a50a5+45d，即可得出【解答】解：依题意得，公差da2a12，a5S5S49，a50a5+45d99，故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（）A1：2B1：4C1：（2+1）D1：（2-1）【分析】设出截前后的棱锥的高，由于截面与底面相
12、似，所以截面面积与底面面积的比，是相似比的平方，求出正棱锥的高被分成的两段之比【解答】解：设截后棱锥的高为h，原棱锥的高为H，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，hH=12=22，则此正棱锥的高被分成的两段之比：hH-h=12-1故选：D【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查计算能力，是基础题5（2x1）5a0+a1（x1）+a2（x1）2+a5（x1）5，则a3（）A40B40C80D80【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a3的值【解答】解：（2x1）5a0+a1（x1）+a2（x1）2+a5（x1）5，令x1t，则xt+1
13、，（2t+1）5a0+a1t+a2t2+a5t5（2t+1）5展开式的通项为：Tr+1C5r（2t）5r1r，令5r3，求得r2，所以，T3C52（2t）380x3，即 a380，故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题6随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放如图是20122018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（）20122018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；20132015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；中国雪场2015年
14、比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；20162018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%ABCD【分析】根据折现统计图，结合数据即可判断【解答】解：根据同比增长情况统计图可知，20122018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，20132015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高是错误的，20162018年，中国雪场滑雪人数的增长率约1970-1510151030.5%，故结论中正确的
15、是故选：C【点评】本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力7习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和如图是求大衍数列前n项和的程序框图执行该程序框图，输入m10，则输出的S（）A100B140C190D250【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，S0，m10满足条件n是奇数，
16、a0，S0不满足条件nm，n2，不满足条件n是奇数，a2，S2不满足条件nm，n3，满足条件n是奇数，a4，S6不满足条件nm，n4，不满足条件n是奇数，a8，S14不满足条件nm，n5，满足条件n是奇数，a12，S26不满足条件nm，n6，满足条件n是奇数，a18，S44不满足条件nm，n7，满足条件n是奇数，a24，S68不满足条件nm，n8，不满足条件n是奇数，a32，S100不满足条件nm，n9，满足条件n是奇数，a40，S140不满足条件nm，n10，不满足条件n是奇数，a50，S190满足条件nm，退出循环，输出S的值为190故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模
17、拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8若a=414，blog512，c=log1319，则（）AbacBabcCacbDcab【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【解答】解：414=212=232，0a32，log512log5125=32，而log512log5252，32b2，clog1319=log392，abc，故选：B【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用9将函数f(x)=2sin(3x+23)的图象向右平移12个周期后得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴可以是（）Ax=18Bx=6Cx=
18、718Dx=1118【分析】求出函数f（x）的最小正周期，根据图象平移得出函数g（x）的解析式，再求g（x）图象的一条对称轴【解答】解：函数f(x)=2sin(3x+23)的最小正周期为T=23，f（x）的图象向右平移12个周期后，得yf（x-3）2sin3（x-3）+232sin（3x-3）的图象，所以函数g（x）2sin（3x-3）；令3x-3=2+k，kZ，解得x=518+k3，kZ；令k1，得x=1118，所以g（x）图象的一条对称轴是x=1118故选：D【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题10设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，直线4x
19、3y+200过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若|OP|OF|，则C的离心率为（）A5B5C53D54【分析】由题设知PFN是以FN为斜边的直角三角形，c5，在RtPFN中，tanPFN=43，FN10可得2a2，a1，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：如图，设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为N|OP|OF|ON|c，则PFN是以FN为斜边的直角三角形，直线4x3y+200过点F，c5，在RtPFN中，PFPN，kPF=43，tanPFN=43，FN10PN8，PF6，则2a2，a1，则C的离心率为e=ca=5，故选：A【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，
20、以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题11设数列an的前n项和为Sn，且a11，an=Snn+2(n-1)（nN*），则nSn-2n2的最小值为（）A2B1C23D3【分析】由 an=Snn+2(n-1)=SnSn1 （n2）Snn是以S11=a11=1为首项，公差为2的等差数列，求得Snn，再求nSn-2n2的最小值【解答】解：Sn为数列an的前n项和，an=Snn+2(n-1)=SnSn1 （n2），n（SnSn1）Sn+2（n1）n，即：（n1）SnnSn12（n1）n，nN*且n2，Snn-Sn-1n-1=2，n2所以数列Snn是以S11=a11=1为
21、首项，公差为2的等差数列，所以Snn=1+2（n1）2n1，Snn（2n1），nSn-2n2=n2（2n1）2n22n33n2，令nSn-2n2=bn，即bn2n33n2bn+1bn2（n+1）33（n+1）22n3+3n26n210，所以bn在nN*时单调递增，故（bn）minb11，即nSn-2n2的最小值为1故选：B【点评】本题主要考查数列的综合应用，属于中档题12若关于x的不等式aex（x+1）x20解集中恰有两个正整数解，a的取值范围为（）A43e2，12e)B94e3，12e)C94e3，12eD94e3，43e2)【分析】原不等式变形可得a(x+1)x2ex，设直线ya（x+1）
22、，函数f(x)=x2ex，则有且仅有两个正整数使得直线ya（x+1）的图象在函数f(x)=x2ex图象的下方，作出函数f（x）及直线的图象，由图象观察，可得到关于a的不等式组，解出即可得到答案【解答】解：由不等式aex（x+1）x20可得a(x+1)x2ex，设直线ya（x+1），函数f(x)=x2ex，依题意，有且仅有两个正整数使得直线ya（x+1）的图象在函数f(x)=x2ex图象的下方，而f(x)=2xex-x2exe2x=x(2-x)ex，易知函数f（x）在（，0），（2，+）单调递减，在（0，2）单调递增，且ya（x+1）恒过定点（1，0），作出函数f（x）的图象及直线ya（x+1）
23、的图象如下，由图可知，a(2+1)4e2a(3+1)9e3，解得94e3a43e2故选：D【点评】本题考查利用导数研究不等式的整数解个数问题，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置.13已知向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|3，则|3a-2b|6【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得ab=23cos603，又由|3a-2b|29a212ab+4b2，代入数据计算变形即可得答案【解答】解：根据题意，向量a与b的夹角为60，且|a|=2，|b|=3，则ab=23cos603，则|3a-2b|29a212ab+4b
24、236，则|3a-2b|6；故答案为：6【点评】本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式14椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为23，点E在C上，EF1EF2，直线EF1的斜率为bc（c为半焦距），则C的方程为x26+y23=1【分析】由题意可得可得c的值，再由EF1EF2，直线EF1的斜率为bc可得E为椭圆的短轴的顶点，可得bc，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程【解答】解：由题意可得2c23，所以c=3，因为EF1EF2，直线EF1的斜率为bc（c为半焦距），所以bc=1，所以bc=3，a2b2+c26，所以椭圆
25、的方程为：x26+y23=1，故答案为：x26+y23=1【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题15已知点P（x，y）满足x+y4yxx1，过点P的直线l与圆C：x2+y214相交于A、B两点，则AB的最小值为4【分析】通过约束条件画出可行域，确定P的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值【解答】解：点P（x，y）满足x+y4yxx1，P表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x+y4的距离为OD，所以当P在可行域的Q点时，Q到圆心O的距离最大，当ABOQ时，AB最小Q的坐标由x+y=4x=1确定，Q（1，3），OQ=12+32=10，所以AB2(14)2-(10)2=4故答案为：4【点评
26、】本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P的位置，是解题的关键16已知三棱锥ABCD的棱长均为6，其内有n个小球，球O1与三棱锥ABCD的四个面都相切，球O2与三棱锥ABCD的三个面和球O1都相切，如此类推，球On与三棱锥ABCD的三个面和球On1都相切（n2，且nN*），则球O1的体积等于6，球On的表面积等于64n-1【分析】利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列rn是以r1=62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可【解答】解：如图，设球O1半径为r1，球On的半径为rn，E为CD中点，球O1与平面ACD、BCD切于F、G，球O2与平面ACD切于H，作截面ABE，设正
27、四面体ABCD的棱长为由平面几何知识可得r136a=63a-r132a，解得r1=612a，同时63a-2r1-r263a-r1=r2r1，解得r2=624a，把a6代入的r1=62，r2=64，由平面几何知识可得数列rn是以r1=62为首项，公比为12的等比数列，所以rn=62(12)n-1，故球O1的体积=43r13=43（62）3=6；球On的表面积4rn2462(12)n-12=64n-1，故答案为6；64n-1【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
28、步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）如图，已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA+（ca）sinCbsinB，点D是AC的中点，DEAC，交AB于点E，且BC2，DE=62（1）求B；（2）求ABC的面积【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B（2）根据已知条件可以确定AECE，并求出它们的表达式，在BCE中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A，BE的大小，最后求出面积【解答】解：（1）asinA+（ca）sinCbsinB，由asinA=bsin
29、B=csinC，得：a2+c2abb2，由余弦定理得：cosB=a2+c2-b22ac=12，0B，B60：（2）连接CE，如下图：D是AC的中点，DEAC，AECE，CEAE=DEsinA=62sinA，在BCE中，由正弦定理得CEsinB=BCsinBEC=BCsin2A，62sinAsin60=22sinAcosA，cosA=22，0A180，A45，ACB75，BCEACBACE30，BEC90，CEAE=3，ABAE+BE=3+1，SABC=12ABCE=3+32，【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（1
30、2分）如图，在五面体ABCDEF中，ABCDEF，ABBC，CD2CE2EF8，BCE120，DF=42（1）证明：EF平面BCE；（2）若BC8，ABEF，求二面角EADF的余弦值【分析】（1）推导出EFBC取CD中点为G，连接FG，推导出四边形CEFG为平行四边形，从而CEGF，且CEGF4DGGF，CDCE，EFCE由此能证明EF平面BCE（2）推导出CD平面BCE以点C为坐标原点，分别以CB、CD的方向为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz利用向量法能求出二面角EADF的余弦值【解答】解：（1）证明：因为ABEF，ABBC，所以EFBC取CD中点为G，连接FG，所以
31、CG=DG=12CD=4，因为CDEF，EF4，所以CGEF且CGEF，所以四边形CEFG为平行四边形，所以CEGF，且CEGF4因为DF=42，DG2+GF2DF2，所以DGGF，所以CDCE，因为CDEF，所以EFCE因为BCCEC，所以EF平面BCE（2）解：由（1）知，EF平面BCE，因为CDEF，所以CD平面BCE故以点C为坐标原点，分别以CB、CD的方向为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz所以A(8，0，4)，B(8，0，0)，E(-2，23，0)，F(-2，23，4)，D(0，0，8)，所以AD=(-8，0，4)，AE=(-10，23，-4)，设平面ADE的
32、法向量为n=(x1，y1，z1)，则ADn=0AEn=0，所以-8x1+4z1=0-10x1+23y1-4z1=0，取x11，则n=(1，33，2)，设平面ADF的法向量为m=(x2，y2，z2)，因为AF=(-10，23，0)，所以ADn=0AFn=0，所以-8x2+4z2=0-10x2+23y2=0，取x21，则m=(1，533，2)，所以cosn，m=1+33533+41+(33)2+41+(533)2+4=154，所以二面角EADF的余弦值为154【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，
33、是中档题19（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：yx2于M、N两点，求|MN|的最小值【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为ykx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x22py（p0）则p2=1，解得p2，故抛物
34、线C的方程为x24y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为ykx+1，由y=kx+1x2=4y消去y，整理得x24kx40，所以x1+x24k，x1x24，从而有|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4k2+1，由y=y1x1xy=x-2解得点M的横坐标为xM=2x1x1-y1=2x1x1-x124=84-x1，同理可得点N的横坐标为xN=84-x2，所以|MN|=2|xMxN|=2|84-x1-84-x2|82|x1-x2x1x2-4(x1+x2)+16|=82k2+1|4k-3|，令4k3t，t0，则k=t+34，当t0时，|MN|2225t2+6t+122，
35、当t0时，|MN|2225t2+6t+1=22(5t+35)2+1625825综上所述，当t=-253，即k=-43时，|MN|的最小值是825【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用20（12分）已知函数f（x）1+x2sinx（x0）（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）e2x【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可（2）要证当x0时，f（x）e2x，即证
36、当x0时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，构造函数g（x）（3+2x4sinx2cosx）e2x，令h（x）xsinx，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解即可【解答】解：（1）f（x）12cosx，由f（x）0得cosx12，解得3+2kx53+2k（kN），由f（x）0得cosx12，解得0x3或53+2kx73+2k（kN），所以f（x）的单调递增区间为(3+2k，53+2k)（kN）；f（x）的单调递减区间为(0，3)和(53+2k，73+2k)（kN）（2）要证当x0时，f（x）e2x，即证当x0时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，g（x）2（1+x2sinx）e2
37、x+（12cosx）e2x（3+2x4sinx2cosx）e2x，令h（x）xsinx，则h（x）1cosx0，h（x）在（0，+）上单调递增，故h（x）h（0）0，即xsinx，所以3+2x4sinx2cosx3+2sinx4sinx2cosx32（sinx+cosx）=3-22sin(x+4)0，所以g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递增，故g（x）g（0）1，故当x0时，f（x）e2x【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与求解，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题21（12分）某医药开发公司实验室有n（nN*）瓶溶液，其中m（mN）瓶中有细菌R，现需要把含有
38、细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1（1）假设n5，m2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；（2）现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P（0p1）若采用方案一需检验的总次数为；若采用方案二需检验的总次数为（i）若与的期望相等试求P关于n的函数解析式Pf（n）；（ii）若P=1-e-14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望求
39、n的最大值参考数据：ln20.69，ln31.10，ln51.61，ln71.95【分析】（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R”事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前3次均不含有细菌R”为事件B，且ABC，且B，C互斥，利用互斥事件概率计算公式能求出结果（2）（i）E（）n，的可能取值为1，n+1，P（1）（1p）n，P（n+1）1（1p）n，E（）（1p）n+（n+1）（1p）nn+1n（1p）n，由E（）E（），能求出结果（ii）P1-e-14，从而E（）n+1ne-14，进而（n+1）ne-14n，lnn-n40，设f（x）lnx-x4，x0
40、，f(x)=1x-14=4-x4x，利用导数性质能求出n的最大值【解答】解：（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R”事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前3次均不含有细菌R”为事件B，且ABC，且B，C互斥，P（A）P（B）+P（C）=A21A21A31A53+A33A53=310（2）（i）E（）n，的可能取值为1，n+1，P（1）（1p）n，P（n+1）1（1p）n，E（）（1p）n+（n+1）（1p）nn+1n（1p）n，由E（）E（），得nn+1n（1p）n，P1（1n）1n，nN*（ii）P1-e-14，E（）n+1ne-14，（n+1）n
41、e-14n，lnn-n40，设f（x）lnx-x4，x0，f(x)=1x-14=4-x4x，当x（0，4）时，f（x）0，f（x）在（0，4）上单调递增，当x（4，+）时，f（x）0，f（x）在（4，+）上单调递减，又f（8）ln820，f（9）ln9-940，n的最大值为8【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（二）选考题：共10分请考生在第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分
42、）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=m+2t，y=2t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=41+sin2（）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）设P为曲线C上的点，PQl，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值【分析】（）消去参数t可得直线l的普通方程，（）利用曲线C的参数方程设点P，根据点到直线距离公式求出|PQ|，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m【解答】解（）因为曲线C的极坐标方程为2=41+sin2，即2+2sin24，将2x2+y2，siny代入上式并化简得x24+y22=1，所以曲线C的直角坐标方程为x24+y22=1，直线l的普通方程为x-2y-m0（）设P（2cos，2sin），由点到直线的距离公式得|PQ|=|2cos-2sin-m|3=|22cos(+4)-m|3，由题意知m0，当m0时，|PQ|min=|22-m|3=2，得m23+22，当m0时，|