《福建省福州市2020届高三5月调研卷文科数学试题（解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省福州市2020届高三5月调研卷文科数学试题（解析版）.doc（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）1设i是虚数单位，复数z=|i|2-i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集为R，集合A=-2，-1，0，1，2，B=x|x-1x+20，则A（UB）的元素个数为（）A1B2C3D43已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）AabcBacbCcabDbca4某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，67，m，80，93，其中m0，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A70B75C80D855如图给出的是计算1+13+15+1201
2、9的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）ASS+12i+3BSS+12i+1CSS+1i+1DSS+12i-16用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值为（）A28B21C20D197函数f（x）|x|-ln|x|x2的图象大致为（）ABCD8已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点A（p4，a）（a0）在C上，|AF|3若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是（）A12B10C9D4.59设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，直线4x3y+200过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若|OP|OF|，则C的离心
3、率为（）A5B5C53D5410已知f（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f（x）ex（2x+1）+f（x），f（0）2，则不等式f（x）4ex的解集为（）A（2，3）B（3，2）C（，3）（2，+）D（，2）（3，+）11已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosCccosB，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为（）A273B5C73D2512数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y21+|x|y就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线
4、C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是 14如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则ABAC= 15我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音复合音的响度是各个纯音响度之和琴弦在全段振动，产生频率为f的纯音的同时，其二分之一部分也在振动，振幅为全段的12，频率为全段的2倍；其三分之一部分也在振动
5、，振幅为全段的13，频率为全段的3倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的14，频率为全段的4倍；之后部分均忽略不计已知全段纯音响度的数学模型是函数y1sint（t为时间，y1为响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是 16已知三棱锥ABCD的棱长均为6，其内有n个小球，球O1与三棱锥ABCD的四个面都相切，球O2与三棱锥ABCD的三个面和球O1都相切，如此类推，球On与三棱锥ABCD的三个面和球On1都相切（n2，且nN*），则球O1的体积等于 ，球On的表面积等于 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22
6、、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17Sn为数列an前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3，（1）求an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和18如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，AA1AC，四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，ADC60（1）求证：AB平面ACC1A1；（2）若CD2，求四棱锥C1A1B1CD的体积19某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.5353
7、0.5282524根据以上数据，绘制了散点图观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y=a+bx和指数函数模型ycedx分别对两个变量的关系进行拟合，已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为y=96.54e-0.2x，lny与x的相关系数r10.94；i=18 uiyi=183.4，u=0.34，u=0.115，i=18 ui2=1.53，i=18 yi=360，i=18 yi2=22385.5，（其中ui=1xi，i1，2，3，8）；（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时
8、每件产品的非原料成本参考数据：0.616185.5=61.4，e20.135参考公式：对于一组数据（u1，1），（u2，2），（un，n），其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=i=1n uii-nui=1n ui2-nu2，=-u，相关系数r=i=1n uii-nu(i=1n ui2-nu2)(i=1n i2-n2)20椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是53，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|=33（）求椭圆E的方程；（）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得AMB是以AB为底的等腰三角形，
9、若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由21已知函数f（x）1+x2sinx，x0（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）e2x（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=-3+12t，y=32t（t为参数），曲线C的参数方程为x=3cos，y=3+3sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知点P的极坐标为(3，)，l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c为
10、正数，且满足abc1证明：（1）a+b+c1a2+1b2+1c2；（2）12+a+12+b+12+c1参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，复数z=|i|2-i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出解：因为z=|i|2-i=12-i=2+i(2-i)(2+i)=25+15i，所以复数z在复平面内对应的点为(25，15)其位于第一象限，故选：A【点评】本题考查了复数的运算、复数的几何意义等基本知识2已知全集为R，集合A=-2，-1，0，
11、1，2，B=x|x-1x+20，则A（UB）的元素个数为（）A1B2C3D4【分析】根据集合的基本运算即可求UB，进而可求解：由题意可得，B（2，1），UBx|x1或x2A（UB）2，1，2，共有3个元素故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础3已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）AabcBacbCcabDbca【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.20，20.21，00.20.31，从而得出a，b，c的大小关系解：alog20.2log210，b20.2201，00.20.30.201，c0.20.3（0，1），acb，故选：B【点评】本题考查了
12、指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题4某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，67，m，80，93，其中m0，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A70B75C80D85【分析】由该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，得到m80，由此能求出得分的平均数不大于81解：某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，67，m，80，93，其中m0，该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，m80，得分的平均数：x85+67+80+80+935=81，得分的平均数不可能为85故选：D【点评】本题考查实数值的判断，考查中位数、平均数等基础知识，考查
13、运算求解能力，是基础题5如图给出的是计算1+13+15+12019的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）ASS+12i+3BSS+12i+1CSS+1i+1DSS+12i-1【分析】由已知中该程序的功能是计算1+13+15+12019的值，结合等差数列的通项公式即可求解解：该程序的功能是计算S1+13+15+12019的值，即计算数列1，13，15，12019的和，由于其通项公式为an=12i-1，由程序框图可知执行框中应该填的语句是：SS+12i-1故选：D【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的
14、条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值为（）A28B21C20D19【分析】直接利用三视图，判断几何体的形状，推出几何体的体积的最大值即可解：由题意可知几何体体积的最大值是底面有16个小正方体组成，另外有3个小正方体组成，体积的最大值为19如图：故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题7函数f（x）|x|-ln|x|x2的图象大致为（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当
15、x0时，其在x1处取得极小值，可排除B，由此得解解：因为f（x）f（x），所以f（x）是偶函数，排除C和D当x0时，f(x)=x-lnxx2，f(x)=x3+2lnx-1x3，令f（x）0，得0x1；令f（x）0，得x1所以f（x）在x1处取得极小值，排除B，故选：A【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题8已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点A（p4，a）（a0）在C上，|AF|3若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是（）A12B10C9D4.5【分析】由抛物线的定义，解得p，然后求解抛物线方程，A（1，a）（a0）在C上，求出a，求出直线AF的方程，联立抛物线方
16、程由韦达定理，求出AB解：由抛物线的定义，得，|AF|=p4+p2=3，解得p4，所以C的方程为y28x 得A（1，a），因为A（1，a）（a0）在C上，所以a28，解得a22故直线AF的方程为y22（x2），由y=-22(x-2)y2=8x消去y，得x25x+40，解得x11，x24，由抛物线的定义，得故|AB|x1+x2+p4+1+49， 故选：C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力9设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，直线4x3y+200过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若|OP|OF|，则C的离心率为（）A5B5C5
17、3D54【分析】由题设知PFN是以FN为斜边的直角三角形，c5，在RtPFN中，tanPFN=43，FN10可得2a2，a1，由此能求出双曲线的离心率解：如图，设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为N|OP|OF|ON|c，则PFN是以FN为斜边的直角三角形，直线4x3y+200过点F，c5，在RtPFN中，PFPN，kPF=43，tanPFN=43，FN10PN8，PF6，则2a2，a1，则C的离心率为e=ca=5，故选：A【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题10已知f（x）是函数f（x）的导函数，
18、且对任意的实数x都有f（x）ex（2x+1）+f（x），f（0）2，则不等式f（x）4ex的解集为（）A（2，3）B（3，2）C（，3）（2，+）D（，2）（3，+）【分析】用已知条件构造新函数G(x)=f(x)ex，对G（x）求导变成一元二次函数，然后解不等式即可解：令G(x)=f(x)ex，则G(x)=f(x)-f(x)ex=2x+1，可设G（x）x2+x+c，G（0）f（0）2，c2，所以G(x)=f(x)ex=x2+x-2，解不等式f（x）4ex，即f(x)ex4，所以x2+x24，解得3x2，所以不等式的解集为（3，2），故选：B【点评】本题考查新函数的构造和导数的综合应用，属于中档
19、题11已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosCccosB，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为（）A273B5C73D25【分析】因为2bcosCccosB，由正弦定理得2tanBtanC，又因为A+B+C，所以tanAtan（B+C）tan（B+C）=-tanB+tanC1-tanBtanC=-3tanB1-2tan2B，所以1tanA+1tanB+1tanC=1-2tan2B-3tanB+1tanB+12tanB，化简得23tanB+76tanB由基本不等式即可得出答案解：因为2bcosCccosB，所以2sinBcosCsinccosB，即2tan
20、BtanC，又因为A+B+C，所以tanAtan（B+C）tan（B+C）=-tanB+tanC1-tanBtanC=-3tanB1-2tan2B，所以1tanA+1tanB+1tanC=1-2tan2B-3tanB+1tanB+12tanB，=2tan2B-13tanB+32tanB=9+4tan2B-26tanB=4tan2B+76tanB，=23tanB+76tanB223tanB76tanB=273（当且仅当23tanB=76tanB，即tanB=72，取“”）故选：A【点评】本题考查正弦定理，基本不等式，属于中档题12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y21+|x|
21、y就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【分析】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得解：将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x0时，代入得y21，y1，即曲线经过（0，1），（0，1）；当x0时，方程变为y2xy+x210，所以x24（x21）0，解得x（0，233，所以x只能取整数1，当x1时，y2y0，解得y0或y1，即曲线经过（1，0），（1，1），根据对称性可得曲线还经过（1
22、，0），（1，1），故曲线一共经过6个整点，故正确当x0时，由x2+y21+xy得x2+y21xyx2+y22，（当xy时取等），x2+y22，x2+y22，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故正确在x轴上图形面积大于矩形面积122，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=1221=1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+13，故错误故选：C【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概
23、率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是0.9【分析】利用互斥事件概率加法公式能求出电话在响前4声内被接的概率解：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是P0.1+0.3+0.4+0.10.9故答案为：0.9【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则ABAC=2【分析】过点C作CDAB于D，
24、可得AD=12AB1，RtACD中利用三角函数的定义算出cosA=1|AC|，再由向量数量积的公式加以计算，可得ABAC的值解：过点C作CDAB于D，则D为AB的中点RtACD中，AD=12AB1，可得cosA=ADAC=1|AC|ABAC=|AB|AC|cosA=|AB|AC|1|AC|=|AB|=2故答案为：2【点评】本题已知圆的弦长，求向量的数量积着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题15我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音复合音的响度是各个纯音响度之和琴弦在全段振动，产生频率为f的纯音的同时，其二分之一部分也在
25、振动，振幅为全段的12，频率为全段的2倍；其三分之一部分也在振动，振幅为全段的13，频率为全段的3倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的14，频率为全段的4倍；之后部分均忽略不计已知全段纯音响度的数学模型是函数y1sint（t为时间，y1为响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是2【分析】求出复合音响度的数学模型函数，从而得出最小正周期解：由题意可知复合音响度的数学模型为：ysint+12sin2t+13sin3t+14sin4t，2为该函数的最小正周期，故答案为：2【点评】本题考查了函数解析式，函数周期计算，属于基础题16已知三棱锥ABCD的棱长均为6，其内有n个小球，球O1与三棱锥AB
26、CD的四个面都相切，球O2与三棱锥ABCD的三个面和球O1都相切，如此类推，球On与三棱锥ABCD的三个面和球On1都相切（n2，且nN*），则球O1的体积等于6，球On的表面积等于64n-1【分析】利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列rn是以r1=62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可解：如图，设球O1半径为r1，球On的半径为rn，E为CD中点，球O1与平面ACD、BCD切于F、G，球O2与平面ACD切于H，作截面ABE，设正四面体ABCD的棱长为由平面几何知识可得r136a=63a-r132a，解得r1=612a，同时63a-2r1-r263a-r1=r2r1，解得
27、r2=624a，把a6代入的r1=62，r2=64，由平面几何知识可得数列rn是以r1=62为首项，公比为12的等比数列，所以rn=62(12)n-1，故球O1的体积=43r13=43（62）3=6；球On的表面积4rn2462(12)n-12=64n-1，故答案为6；64n-1【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17Sn为数列an前
28、n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3，（1）求an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和【分析】（1）an0，an2+2an4Sn+3，n2时，an-12+2an14Sn1+3，an0，相减可得，anan120，利用等差数列的通项公式可得an（2）bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，利用裂项求和方法即可得出解：（1）an0，an2+2an4Sn+3，n2时，an-12+2an14Sn1+3，相减可得：an2+2an（an-12+2an1）4an，化为：（an+an1）（anan12）0，an0，anan120，即an
29、an12，又a12+2a1=4a1+3，a10，解得a13数列an是等差数列，首项为3，公差为2an3+2（n1）2n+1（2）bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，数列bn的前n项和=12(13-15)+(15-17)+(12n+1-12n+3)=12(13-12n+3) =n6n+9【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，AA1AC，四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，ADC60（1）求证：AB平面ACC1A1
30、；（2）若CD2，求四棱锥C1A1B1CD的体积【分析】（1）推导出ABAC，ABAA1，由此能证明AB平面ACC1A1（2）连结A1C，则CD平面CC1A1，四棱锥C1A1B1CD的体积：V=VD-CC1A1+VC-A1B1C1，由此能求出结果解：（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，ADC60ACDBAC90，ABAC，几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，ABAA1，ACAA1A，AB平面ACC1A1（2）解：连结A1C，AB平面ACC1A1，CDAB，CD平面CC1A1，四棱锥C1A1B1CD的体积：V=VD-CC1A1+VC-A1B1C1=13CDS
31、A1C1C+13CC1SA1B1C1 =132122323+132312223 8【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y=a+bx和指数函数模型ycedx分别对两个变量的关系进行拟合，已求得：用指数函数模型拟
32、合的回归方程为y=96.54e-0.2x，lny与x的相关系数r10.94；i=18 uiyi=183.4，u=0.34，u=0.115，i=18 ui2=1.53，i=18 yi=360，i=18 yi2=22385.5，（其中ui=1xi，i1，2，3，8）；（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本参考数据：0.616185.5=61.4，e20.135参考公式：对于一组数据（u1，1），（u2，2），（un，n），其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=i
33、=1n uii-nui=1n ui2-nu2，=-u，相关系数r=i=1n uii-nu(i=1n ui2-nu2)(i=1n i2-n2)【分析】（1）令u=1x，则y=a+bx可转化为ya+bu，求出样本中心，回归直线方程的斜率，转化求解回归方程即可（2）求出y与1x的相关系数，通过|r1|r2|，说明用反比例函数模型拟合效果更好，然后求解当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计值解：（1）令u=1x，则y=a+bx可转化为ya+bu，因为y=3608=45，所以b=i=18 uiyi-8uyi=18 ui2-8u2=183.4-80.34451.53-80.115=610.61=10
34、0，则a=y-bu=45-1000.34=11，所以y=11+100u，所以y关于x的回归方程为y=11+100x；（2）y与1x的相关系数为：r2=i=18 uiyi-8uy(i=18 ui2-8u2)(i=18 yi2-8y2)=610.616185.5=6161.40.99，因为|r1|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好，把x10代入回归方程：y=11+100x=10+1121（元），所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计为21元【点评】本题考查回归方程的求法，换元法的应用，相关系数的应用，是基本知识的考查，基础题20椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是53
35、，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|=33（）求椭圆E的方程；（）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由【分析】（）根据可得274a2+1b2=1a2=b2+c2ca=53，求出a，b，c即可求椭圆的方程；（）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解解：（）由已知椭圆过点(332，1)，可得274a2+1b2=1a2=b2+c2ca=53，解得a29，b24所以椭圆的E方程为x29+y24=1（）设A（x1
36、，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由y=kx+1x29+y24=1消去y得（4+9k2）x2+18kx270，所以x0=x1+x22=-9k4+9k2，y0=kx0+1=44+9k2当k0时，设过点C且与l垂直的直线方程y=-1k(x+9k4+9k2)+44+9k2，将M（m，0）代入得：m=-54k+9k，若k0，则4k+9k24k9k=12，若k0，则4k+9k=-4k+(-9k)2-4k(-9k)=-12所以-512m0或0m512，当k0时，m0综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是-512m512【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，
37、利用设而不求的数学思想是解决本题的关键21已知函数f（x）1+x2sinx，x0（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）e2x【分析】（1）求导可知x0，3)时f（x）单减，x(3，时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x0时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，利用导数容易得证解：（1）f（x）12cosx，令f（x）0，得cosx=12，故在区间0，上，f（x）的唯一零点是x=3，当x0，3)时，f（x）0，f（x）单调递减；当x(3，时，f（x）0，f（x）单调递增，故在区间0，上，f（x）的极小值为f(3)=1+3-3，当x时，f(x)1+-2=-1f(3)，f（x）的最小
38、值为f(3)=1+3-3；（2）要证x0时，f（x）e2x，即证x0时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，g（x）2（1+x2sinx）e2x+（12cosx）e2x（3+2x4sinx2cosx）e2x，令h（x）xsinx，x0，则h（x）1cosx0，即h（x）是（0，+）上的增函数，h（x）h（0）0，即xsinx，3+2x4sinx2cosx3+2sinx4sinx2cosx32（sinx+cosx）=3-22sin(x+4)0，g（x）（3+2x4sinx2cosx）e2x0，即g（x）是（0，+）上的增函数，g（x）g（0）1，故当x0时，f（x）e2x，即得证【点评】本题考
39、查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题一、选择题22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=-3+12t，y=32t（t为参数），曲线C的参数方程为x=3cos，y=3+3sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知点P的极坐标为(3，)，l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|+1|PB|【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（1）曲线C的普通方程为x2+（y3）29，整理得x2+y26y，所以26sin
40、，即6sin，所以曲线C的极坐标方程为6sin（2）将直线l的参数方程代入到x2+y26y中，得t2-43t+3=0设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=43，t1t23，因为点P的极坐标为(3，)，所以点P的直角坐标为(-3，0)，所以1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2|t1t2|=(|t1|+|t2|)2|t1t2|=|t1|+|t2|+2|t1t2|t1t2|=43+233=633=412【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基
41、础题型选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c为正数，且满足abc1证明：（1）a+b+c1a2+1b2+1c2；（2）12+a+12+b+12+c1【分析】（1）作差后通分，应用二元基本不等式的性质证明；（2）作差后通分，应用三元基本不等式的性质证明【解答】证明：（1）由条件abc1，得1a2+1b2+1c2-(a+b+c)=1a2+1b2+1c2-(1bc+1ca+1ab)=a2b2+b2c2+c2a2-a2bc-b2ca-c2aba2b2c2，由二元基本不等式可得a2b2+c2a22a2bc，a2b2+b2c22b2ac，b2c2+c2a22c2ab，（等号成立当且仅当abc1），将上述三个不等式相加，得a2b2+b2c2+c2a2-a2bc-b2ca-c2aba2b2c20，a+b+c1a2+1b2+1c2；（2）由条件abc1，得1-(12+a+12+b+12+c)=ab+bc+ca+abc-4(2+a)(2+b)(2+c)=ab+bc+ca-3(2+a)(2+b)(2+c)，由三元基本不等式得ab+bc+ca33abbcca=3（等号成立当且仅当abc1），从而得证12+a+12+b+12+c1【点评】本题考查不等式的证明，训练了作差法及基本不等式性质的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题