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1、Ch2：动量传递概论与微分方程：动量传递概论与微分方程 本章先讨论动量传递的基本概念，动量传递的两种方式：扩散传递和对流动量传递，对流传递系数的定义式和求解的一般途径。然后推导动量传递的微分方程 变化方程。课后学习与作业：课后学习与作业： n第二章的概念和例题；第二章的概念和例题；n第二章作业：第二章作业：2-1，2-9，2-11，2-13，2-161 动量传递概述 P30 1.1 动量传递的基本方式 1.2 流体与壁面之间的动量传递 扩散传递分子传递对流传递动量传递涡流传递 因流场中存在速度梯 度，分子随机运动引 起的动量传递过程。 由于流体质点的宏观流动引起， 是动量的主体流动过程。 湍流
2、中质点的随机脉 动引起的动量传递。1.1 动量传递的基本方式 A.A.分子动量传递分子动量传递 分子动量传递的通量由牛顿黏性定律描述：xdudy 对流动量传递是由于流体的宏观流动引起的。在流场中取一微元面积 dA , 流体在该微元上的流速为 ux , 且 ux 与微元面垂直，设流体的密度为 ， 则以对流方式通过 dA 的动量通量为：xxu udAuxB.B.对流动量传递对流动量传递 对流动量传递可以发生在流动流体的内部，也可以发生在运动流体与固体壁面之间。 流体与壁面间的对流动量传递的一般定义为ux、us 分别为流体内部与壁面处的流速，m/s；s 剪应力，流体与壁面间的对流动量通量，Pa；CD
3、 壁面与流体在界面处的对流动量传递系数，或阻力系数。u（2-6） 1.2 流体通过相界面的动量传递 P32 )-(2=00sDsuuuC对于封闭管道内的流动：2b2()2sbbsfufuuuub 管内流体的平均流速，m/s；f 范宁摩擦因子，管壁与流体在界面处的动量 通量。ux 动量传递的根本目的是求解以上两个动量传递系数 CD 或 f 。CD 或或 f 的求解途径：的求解途径： 在流体与壁面的界面处，动量传递的通量为分子传递，即s0 xydudy 2b2()2sbbsfufuuu（2）)-(2=00sDsuuuC 式（1）与（2）联立，得22Ds0()2x0yduCuudy22Ds0s()2
4、Cuu2002xDyduCudy CD0 xydudy速度分布动量传递变化方程s0 xydudy （2-8） 2.1 连续性方程的推导 2.2 连续性方程的简化 2.3 柱坐标与球坐标系方程 2 动量传递的连续性方程 P35 于单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进行微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。质量守恒定律流出质量速率+流入质量速率积累质量速率0采用欧拉观点在流场中选一微分控制体。2.1 连续性方程的推导 P35 连续性方程的推导连续性方程的推导 微分控制体： dV=dxdydz该点流速 u在x,y,z方向分量：ux，uy，uz流体密度为
5、= ( x, y, z, ) 对控制体作质量衡算。在 x 方向:()()xxxxuuudx dydzu dydzdxdydzxx y，z方向流出与流入微元控制体的质量流量之差 ()()yyyyuuudy dxdzu dxdzdxdydzyyxu()xudxx ()()zzzzuuudz dxdyu dxdydxdydzzz控制体内的累积速率为 dxdydz各式联立，可得 ()()()0yxzuuuxyz写成向量形式 ()0 u流体流动的连续性方程 2-14bxyzijk+xyzuuuijkyxzuuuxyzudiv u 由于流体密度是空间坐标及时间的函数 ( , , , )x y z其全微分为
6、dddxdydzxyz()0yxzxyzuuuuuuxyzxyz 各项展开 xyzDuuuDxyz全导数的形式 ddxdydzdx dy dz d随体导数 xyzDuuuDxyz 随体导数是一个特定的全导数。随体导数的物理意义是流场中的物理量随时间和空间的变化率。局部导数对流导数0DDu1 DD uvv体积膨胀速率或形变速率流体微元在空间方向上的线性形变速率之和故连续性方程可写成1v110DDDDvv对时间求随体导数：1. 稳态流动2. 不可压缩流体()()()0yxzuuuxyz0yxzuuuxyz0u2.2 连续性方程的简化0zuyuxuzyx0是常数是常数重要！重要！(2-19) 1.
7、柱坐标系11()()()0rzruuurrrz 时间； r 径向座标； z 轴向座标；方位角； 各方向的 速度分量。,rzu u u2.3 柱坐标与球坐标系方程2. 球坐标系 22111()(sin )()0sinsinrr uuurrr r 时间； r 径向座标； 方位角；余纬度； 各方向的 速度分量。,ru u u例例某一非稳态二维流场的速度分布为:242xuxyxuy22 试证明该流场中的流体为不可压缩流体。0zuyuxuzyx由题设条件得2xux2yuy即0yuxuyx故该流体为不可压缩流体0zu3.1 用应力表示的运动方程 3.2 牛顿型流体的本构方程 3.3 流体的运动方程 3.4
8、 以动压力表示的运动方程 3.5 柱坐标及球坐标下的运动方程 3 运动方程 P38 牛顿第二定律： 合外力 动量变化速率动量守恒定律duMa = MdF =拉格朗日方法 在流场中选一微元系统（质量一定，体积和形状变化）uuuu3.1 用应力表示的运动方程 P38 3rd Nov 运动方程的推导：拉格朗日观点和牛顿第二运动定律（动量守恒定律）牛顿第二定律在流体微元上的表达式()d MduFDMDuF =拉格朗日观点，M=常数微元系统dV，M=dV设某一时刻 ，微元系统的体积为 dV=dxdydzDdxdydzDudF =DDudF =dVdzdxdy(2-25) 作用在微元系统上的合外力 微元系
9、统内的动量变化速率 方向xxxD udF = dxdydzD 方向yyyD udF= dxdydzD 方向zzzD ud F= d xd yd zD ddxdydzdudF =dzdxdy微元作用上作用力的分析 BsdddFFFzszdFddFBzFxBxsxdFdFdF质量力表面力yBysydFdFdF体积力质量力是指作用在流体元的每一质点上的力。质量力质量力 场力惯性力外界力场对流体的作用力，如重力、电磁力等 由于流体作不等速运动而产生，如流体作直线加速运动时所产生的惯性力，流体绕固定轴旋转时所产生的惯性离心力 单位质量流体所受到的质量力称为单位质量力，它在数值上等于加速度，是一个向量 单
10、位质量力,zxyBBBFmXFmYFmZ/BmFX，Y，Z 的单位：N / kg = kgms-2 / kg = m / s2若流体只受到重力作用，且 xoy 为一水平面 0XYZg BydFYdxdydz因此，作用在微元系统的质量力为 BzdFZdxdydzBxdFXdxdydz表面力 （又称接触力或机械力）与流体元相接触的环境流体（有时可能是固体壁面）施加于该流体元上的力。表面力又称为机械力，与力所作用的面积成正比。作用在流体上的力 表面力可分解为两个向量：一个与作用表面相切，称剪切力；一个与作用表面相垂直，称法向力； tddAtF nnddAF 切向应力 法向应力单位面积上的表面力称为表
11、面应力。表面应力 N /m2 N /m2 微元系统有6个表面，每个面上都与相邻的环境流体有表面力的作用，而每个力又可沿坐标方向分解为3个分量。dzdxdy 再分解为：txy平行于表面 y 向剪应力； 平行于表面 z 向剪应力。xz该表面力 可分解为： 现以微元微元系统的一个面（左面）为例分析：nxx= t法向应力； 剪应力。 现将 x 方向上微元系统的6个表面应力全部绘于图上 方向：xxBxsxdFdFdFBxdFXdxdydz()()()xxsxxxxxyxyxyxzxzxzxdFdx dydz dydzxdy dxdz dxdzydz dxdy dxdyz()yxxxzxsxdFdxdyd
12、zxyz x方向 z方向 y方向用应力表示的运动方程：yxxxxzxDuXDxyzyxyyyzyDuYDxyzyzxzzzzDuZDxyz(2-35) 方程的分析：可以证明: xyyxyzzyxzzx变量数10：,(),(),() xyzxxyyzzxyyxyzzyxzzxu ,u ,u , , , ,已知量3：X, Y, Z方程数3+1：运动方程3个，连续性方程1个 变量数 方程数：方程无解原理：扭矩平衡P41 对于三维流动系统，可以从理论上推导应力与形变速率之间的关系。 ()yxxyyxuuyx()yzyzzyuuyz()xzzxxzuuzx剪应力本构方程 描述应力与形变速率之间关系的方程
13、 P41 3.2 牛顿型流体的本构方程 yux牛顿粘性定律牛顿粘性定律(2-42) 223xxxupx u223yyyupy u223zzzupz u法向应力不仅有p还有uzuyuxuzyx + + (2-43) 222222()()3yxxxxxzuDuuuuuupXDxxyzxxyz222222()()3yyyyyxzDuuuuuuupYDyxyzyxyz222222()()3yxzzzzzuuDuuuuupZDzxyzzxyz奈维斯托克斯（奈维斯托克斯（Naviar-Stokes）方程）方程3.3 流体的运动方程 P42 牛顿型流体: 将本构方程代入用应力表示的运动方程，简化得 (2-4
14、5) 21()3BDpD uFuufB适用条件: 牛顿型流体的稳态或非稳态、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体的流动。奈维斯托克斯（奈维斯托克斯（Naviar-Stokes）方程）方程(2-45) 21()3BDpD uFuufB当流体不可压缩时 0=u222222()xxxxDuuuupXDxxyz222222()yyyyDuuuupYDyxyz222222()zzzzDuuuupZDzxyz0zuyuxuzyx2BDpD uFufB(2-46) 惯性力质量力压力粘性力2BDpD uFu（一）方程组的可解性 P44（二）初始条件和边界条件 理论上可解，理论上既适用于层流又适用于湍流 初始条
15、件（I.C.）：= 0时，u = u (x,y,z), p = p (x,y,z)fB边界条件（B.C.）：（1）静止固面 在静止固面上，由于流体具有粘性， u = 0；（2）运动固面 在运动固面上，流体应满足 u流=u固；（3）自由表面 通常的自由表面系指一个流动的液体暴露于气体（多为大气）中的部分界面。此时，在自由表面上满足), (0,0zyxjipijii上式表明，自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量为零 （三）关于重力项的处理 P45 Xxp=SYyp=SZzp=S欧拉平衡微分方程xpXs1ypYs1zpZs1ps：流体的静压力 静止流体-以动压力表示的运动方程
16、设流体不可压缩，并且sdpppp流体的总压力；ps静压力，即流体静止时的压力；pd动力压力，即使流体流动所需的压力。 sdpppxxxsdpppyyysdpppzzz1spXx1spYy1spZz以动压力表示的运动方程为2222221()xdxxxDupuuuDxxyz 2222221()yyyydDuuuupDyxyz 2222221()dzzzzpDuuuuDzxyz 21DpD uu(2-55) 封闭管道中流体流动1. 柱坐标系 22222221112()rrrrrzrrrruuuuuuuurrrzuuupXrurr rrrrzr 分量3.4 柱坐标及球坐标下的运动方程 22222111
17、()zzzzrzzzzzuuuuuuurrzuuupXrzrrrrz2222221112()rrzruuuuu uuuurrrzuuupXrurr rrrrzz 分量 分量 2. 球坐标系 r 分量2222222222222sin1111()(sin)sinsin2222cotsinrrrrrrrrrruuuuuuuuurrrruuupXrrrrrrruuuurrrr222222222222cotsin11111()(sin)sinsinsin22cossinsinsinrrruuuuuu uu uuurrrrruuupXr rrrrrruuurrr 分量 分量2222222222222cot
18、sin1111()(sin)sinsin22 cossinsinrrruuuuuuuu uurrrrruuupXrrrrrrruuurrr习 题1. 某流场的速度向量可用下式表示：( , )55x yxyuij试写出该流场随体加速度向量 的表达式。DDu2. 一不可压缩流体的流动，x方向的速度分量是 uxax2+b，z 方向的速度分量为零，求 y方向的速度分量 uy。已知 y0 时，uy= 0。3. 对于下述各种流动，使采用适当坐标系的一般连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化的连续性方程加以简化，指出简化过程的依据：（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态、）在矩形截面管道内，可压缩流体
19、作稳态、1维流动；维流动；（2）在平板壁面上不可压缩流体作二维流动；）在平板壁面上不可压缩流体作二维流动；（3）不可压缩流体在圆管内作轴对称轴向稳态流动；）不可压缩流体在圆管内作轴对称轴向稳态流动；（4）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。r4. 对于在 平面内的不可压缩流体的流动，r r 方向的速度分量为试确定 方向的速度分量 的表达式。u2cos/ruAr 22538= x yxyzxzuijk0.144 Pa s2100N/ myy 5某粘性流体的速度场为 已知流体的动力黏度 ，在点（ 2，4，6 ）处的法向应力 。，试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。xa ya 2221( ) 1() 4zapxyuzaa 6. 某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形截面的边界分平管道中作稳态层流流动，此正方形截面的边界分别为别为 和和 。有人推荐使有人推荐使 用下式用下式描述管道中的速度分布描述管道中的速度分布 试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。的微分方程和边界条件。