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1、 第八节 分式方程【知识点梳理】1分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤： 设 ，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解 方程，求出辅助未知数的值； 把 代入原设中，求出原未知数的值； 检验作答.4分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .答案：1分式
2、方程:字母.2解分式方程的一般步骤：（1）分母的最小公倍数；（2）解这个整式方程；（3）最简公分母.3. 用换元法解分式方程的一般步骤： 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； 检验作答.4分式方程的应用：（1）方程的根；（2）符合题意.【课堂练习】一选择题（共6小题）1若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）Aa1 Ba1 Ca1且a4 Da1且a4【考点】B2：分式方程的解【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式
3、方程分母不为0求出a的范围即可【解答】解：去分母得：2（2xa）=x2，解得：x=，由题意得：0且2，解得：a1且a4，故选：C2若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A3 B1 C0 D3【考点】B2：分式方程的解；CC：一元一次不等式组的整数解【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出4a3，再解分式方程+=2，根据分式方程有非负数解，得到a2且a2，进而得到满足条件的整数a的值之和【解答】解：解不等式组，可得，不等式组有且仅有四个整数解，10，4a3，解分式方程+=2，可得y=（a+2），又分
4、式方程有非负数解，y0，且y2，即（a+2）0，（a+2）2，解得a2且a2，2a3，且a2，满足条件的整数a的值为2，1，0，1，3，满足条件的整数a的值之和是1故选：B3解分式方程，去分母得（）A12（x1）=3B12（x1）=3C12x2=3D12x+2=3【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x1得到结果，即可作出判断【解答】解：分式方程整理得：2=，去分母得：12（x1）=3，故选A4西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾设乙车单独
5、清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A B C D【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决【解答】解：由题意可得，故选B5某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（）A BC D【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程【解
6、答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得：=4故选D6某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（）A BC D【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】设今年该款西服的每件售价为x元，则去年的售价为x+400，再利用售出的件数相同，得出等式【解答】解：设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为：=故选：A二填空题（共4小题）7若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是
7、【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可【解答】解： +=3，方程两边同乘（x2）得，x+m2m=3x6，解得，x=，2，m2，由题意得，0，解得，m6，故答案为：m6且m28分式方程的解是 【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：4x+2=93x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为：x=19甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相
8、同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得： =故答案是： =10分式方程的根是 【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：4a=a3，解得：a=1，经检验a=1是分式方程的解，故答案为：a=1三解答题（共6小题）11解方程：【考点】B3：解分式方程【分析】分
9、式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x=x2+1，移项合并得：x=1，经检验x=1是分式方程的解12某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用【分析】（1）设甲种玩具进价x
10、元/件，则乙种玩具进价为（40x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40x）元/件，=x=15，经检验x=15是原方程的解40x=25甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48y）件，解得20y24因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的
11、件数，y取20，21，22，23，共有4种方案13近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同（1）求A种、B种设备每台各多少万元？（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，根据数量=总价单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买
12、B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20m）台，根据总价=单价数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可【解答】解：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，根据题意得： =，解得：x=0.5经检验，x=0.5是原方程的解，x+0.7=1.2答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20m）台，根据题意得：0.5m+1.2（20m）15，解得：mm为整数，m13答：A种设备至少要购
13、买13台14甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表
14、示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可【解答】解：（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x0.5）千米，根据题意，可列方程：1.5=，解得x=1.5，经检验x=1.5是原方程的解，且x0.5=1，答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；（2）设甲修路a天，则乙需要修（151.5a）千米，乙需要修路=151.5a（天），由题意可得0.5a+0.4（151.5a）5.2，解得a8，答：甲工程队至少修路8天15设A，B.（1）求A与B的差；（2）若A与B的值相等，求的值【考点】B3：解分式方程；6B：分式的加减法【分析】（1）首先通分，然后利用同分母的分式的加减法则求解；（2
15、）根据A和B两个式子的值相等，即可列方程求解【解答】解：（1）AB=（2）A=B去分母，得2（x+1）=x 去括号，得2x+2=x移项、合并同类项，得x=2 经检验x=2是原方程的解16已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值【考点】B2：分式方程的解【分析】分为两种情况，当=0和0，再分别求出即可【解答】解：去分母得整式方程，2x22x+1a=0，=4（2a1），（1）当=0，即a=时，显然x=是原方程的解，（2）当0，即a时，x1=（1+），x2=（1），显然x10，x11，x10，它是原方程的解，只需x2=0或1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，当x2=0时，即（1）=0，得：a=1； 当x2=1时，即（1）=1，得：a=5，综上，当a=，1，5时原方程只有一个实数根23