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1、第三章综合素质检测时间 120 分钟，满分150 分。一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1(2010 安徽文， 2)已知 i2 1，则 i(13i)() A.3iB.3iC3iD3i答案 B 解析 该题考查复数的四则运算i(13i)3i2 i3i，故选 B. 2复数 z 1i1i1 在复平面内所对应的点在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 A 解析 z1i1i11i，故复数z 所对应的点为(1,1)，在第一象限3复数1i1i10的值是 () A 1 B1 C 32 D32 答案 A 解析 本题主
2、要考查复数的基本运算，1 i1 i i， (i)10 1，故选 A. 4若 z1(x2)yi 与 z23xi(x、yR)互为共轭复数，则z1对应的点在 () A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 C 解析 由已知得x23x，y 1，x 1，y 1，z1 3i，故选 C. 5对于复平面，下列命题中真命题的是() A虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的答案 D 解析 复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应
3、关系，其中实数对(a， b)对应复数的实部与虚部6设复数z 满足 z| z |2 i，那么 z等于 () A34iB.34iC34iD.34i答案 D 解析 方法一：设zxyi(x，yR)，则 xyi|xyi|2i，即 xx2y2yi2i，xx2y22y1把 y1 代入 xx2y22 中，得x21x2，x34，z34 i. 方法二：代入法验证答案易得7复数 z 满足方程 |z21i|4，那么复数z 的对应点P 组成的图形为() A以 (1， 1)为圆心， 4 为半径的圆B以 (1， 1)为圆心， 2 为半径的圆C以 (1,1)为圆心， 4 为半径的圆D以 (1,1)为圆心， 2 为半径的圆答案
4、 C 解析 |z21i|z(1i)| |z (1i)|4，设 1 i 的对应点为C( 1,1)，则|PC|4，因此动点P 的轨迹是以C(1,1)为圆心， 4 为半径的圆8若 x 是纯虚数， y 是实数，且2x1iy(3y)i，则 xy 等于 () A152iB 152iC152iD 152i答案 D 解析 设 xit(tR 且 t0)，于是 2ti 1iy(3y)i，1 (2t1)iy(3y)i，y 12t1 (3y)t52y 1xy 152i. 9 已知复数 (x 2)yi(x， yR)在复平面内对应的向量的模为3， 则yx的最大值是 () A.32B.33C.12D.3 答案 D 解析 因
5、为 |(x2) yi|3，所以 (x 2)2y23，所以点 (x，y)在以C(2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知3yx3. 10设复数z为虚数，条件甲：z1z是实数，条件乙：|z|1，则 () A甲是乙的必要非充分条件B甲是乙的充分非必要条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件答案 C 解析 本题考查复数的运算和充要条件的判断设z abi(b0 且 a， bR)，则 z1zabi1abiaaa2b2bba2b2i.因为 z1z为实数，所以 bba2b2.因为 b 0，所以 a2b21，所以 |z|1.而当 |z|1，a2b21，条件甲显然成立11如
6、果复数z满足条件 |2z1|zi|，那么在复平面内z 对应的点的轨迹是() A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案 A 解析 设 zabi(a，bR)，则 |(2a1)2bi|a(b1)i|，所以 (2a 1)24b2a2(b1)2，化简，得3a2 3b24a2b0，此为圆的方程12设 z(2t25t3)(t22t2)i， tR，则以下结论正确的是() Az对应的点在第一象限Bz 一定不为纯虚数C. z 对应的点在实轴的下方Dz一定为实数答案 C 解析 t22t2 (t1)210，z对应的点在实轴的上方又z 与 z 对应的点关于实轴对称C 项正确二、填空题 (本大题共4 个小题，每小题4 分，共 16
7、 分，将正确答案填在题中横线上) 13(2010 上海文， 4)若复数 z12i(i 为虚数单位 )，则 z z z_. 答案 6 2i解析 本题考查了复数的基本运算z z |z|25，原式 5 (1 2i)62i. 14已知复数z1cos isin ，z2cos isin ，则复数z1 z2的实部是 _ 答案 cos( ) 解析 z1 z2(cos isin )(cos isin ) cos cos sin sin (cos sin sin cos )icos( ) sin( )i故 z1 z2的实部为cos( )15实数 m 满足等式 |log3m4i|5，则 m _. 答案 27 或12
8、7解析 本题考查有关复数模的运算由|log3m4i|5，得 (log3m)216 25，(log3m)29，所以 log3m 3，m27 或 m127. 16设 0,2 ，当 _时， z1sin i(cos sin )是实数答案 4或54解析 本题主要考查复数的概念z为实数， 则 cos sin ， 即 tan 1.因为 0,2 ，所以 4或54.三、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本题满分12 分)已知复数z满足 z z i( 3z )1 3i ，求 z. 解析 将方程两边化成abi 的形式，根据复数相等的充要条件来解设 z x
9、yi(x，yR)，则x2 y2 i 3(xyi) 1( 3i )，即 x2y23y3xi1 3i，由复数相等得x2y23y13x 3解得x 1y0或x 1y3z 1 或 z 13i. 18 (本题满分12 分)已知复数x2 x2(x23x 2)i(xR)是复数 4 20i 的共轭复数，求实数 x 的值解析 因为复数420i 的共轭复数为420i，由题意得x2 x2(x23x2)i420i，根据复数相等的充要条件，得x2x24，x23x 220.方程 的解为 x 3 或 x2. 方程 的解为 x 3 或 x6. 所以实数 x 的值为 3. 点评 本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件19
10、(本题满分12 分)已知 z1i，(1)求 wz23 z 4 (2)如果z2azbz2z11i，求实数a、b. 解析 (1)w 1i(2)z2azbz2z1(1i)2aaib(1i)21i1(ab)(a2)ii(a2)(ab)i(a2)(ab)i1ia 1b2 20(本题满分12 分)设 a、b 为共轭复数，且(ab)23abi46i，求 a 和 b. 解析 a、b 为共轭复数， 设 axyi(x，yR) 则 bxyi，由(ab)23abi 46i，得(2x)23(x2y2)i46i，即4x24 3(x2 y2) 6，x21y21x 1y 1a1i，b1i； a 1i， b 1i；a1i， b
11、1i；a 1i，b 1i. 21(本题满分12 分)证明：在复数范围内，方程|z|2(1i) z (1 i)z55i2i无解证明 原方程可化简为|z|2(1i) z (1 i)z1 3i. 设 z xyi(x，yR)，代入上述方程，整理得x2 y2 2xi2yi1 3i，根据复数相等的充要条件，得x2y21，2x2y3.将代入 ，消去 y 整理，得8x212x50. 因为 160，所以上述方程无实数解所以原方程在复数范围内无解点评 本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解22(本题满分14 分)复数 z满足 |zi|zi|2，求 |z1i|的最大值与最小值解析 在复平面内，|zi|zi|2 表示复数 z 对应的点Z 到点 A(0， 1)，B(0,1)的距离之和为2，而 |AB|2，所以点Z 的轨迹为以A， B 为端点的线段 (包括两端点 )而 |z1i|z(1i)|表示点Z 到点 C(1， 1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到点C 的距离的最大值与最小值，如右图易知 |z1i|max|BC|5，|z1i|min|AC|1. 点评 本题主要考查复数|zz1|的几何意义， 即|z z1|表示复数z 与 z1对应的两点之间的距离利用数形结合法是求解本题的关键