高中数学数列全章教学设计[高教版中职数学第七章].pdf

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1、7.1 数列的概念一、教学目标：1. 知识目标：（ 1）了解数列的有关概念，理解数列的通项公式；了解求和符号的用法，理解数列的通项na与前n项和nS之间的关系；（2）能正确运用公式进行简单计算；能根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式. 2. 能力目标：培养学生的基本运算能力和观察、分析、归纳、抽象的能力3. 思想品质目标：对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质. 二、教学重点：教学重点是数列及其有关的概念以及通项na与前n项和nS之间的关系 . 三、教学难点：教学难点是由数列的前几项写出数列的一个通项公式与由数列的前n项和公式去求数列的通项公式观察特点，分析规律，揭示na与n

2、S之间的关系，是突破难点的关键四、教学方法：讲授法、演示法与练习法相结合. 五、教学过程：（一）问题的引入假如你是经销商，一位供货商提出要与你签定一份交易合同，合同的期限为30 天，他每天给你提供价值10 万元的商品，而你第一天只需付给他1 分钱的货款，第二天付给他2分钱的货款， 第三天付给他4 分钱的货款， 依此类推， 以后每天所付的货款都是前一天所付货款的 2 倍你是否同意签这份合同呢？你也许会觉得这是天大的好事，认为这份合同将会给你带来非常大的收益，迫不及待地就要签字通过本章的学习，你就会明白这是一个多么险恶的交易合同，一旦签了字， 一个月之内你就会倾家荡产！（二）数列的概念1数列的概念

3、我们先来看下面的一些例子：全体正整数从小到大排成一列数1，2，3，4，5，（1）上一列数中的各个数的倒数也排成一列数51,41,31,21, 1（2）某校有 8 个微机室，从“微机室（1） ”到“微机室（ 8） ”的微机室里所摆放的微机数排成一列数50，50，50，50，50， 50，50，50（3）在第 23 届至第 28 届的六届夏季奥运会上，我国体育健儿获得的金牌数排成一列数15，5，16，16，28，32（4）像上面的例子中那样，按照一定次序排成的一列数叫做数列 数列中的每一个数都叫做这个数列的 项，从开始的那项起，各项依次叫做这个数列的第1 项（或 首项 ） ，第 2 项，第3 项，

4、 ，第n项， 第n项中的 “n” 叫做该项的 序号 2数列的分类及通项只有有限多项的数列叫做有穷数列 ，有无穷多项的数列叫做无穷数列 想一想 ：上面的4 个数列中哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？回答 ：(3)(4)是有穷数列， (1)(2)是无穷数列 . 有穷数列的一般形式可以写成1a，2a，3a，na （nN*）无穷数列的一般形式可以写成1a，2a，3a，na， （nN*）其中na是数列的第n项，也叫做数列的通项 有时也把第n项是na的数列简记为na如果一个数列的第n项na能用其序号n的表达式来表示，那么这个表达式叫做这个数列的 通项公式 例如，上面数列（2）的通项公式是1nan如果知道了数

5、列的通项公式，就可以求出这个数列中的任何一项例如上面数列（2）的第 100 项为1001100a例 1根据下面给出的数列的通项公式，分别求出数列的前5 项：nna21) 1(；nnnb21)1()2(解1121)1 (a，412122a，812133a，1612144a，3212155a；（2）由于1的奇数次幂等于1，而1的偶数次幂等于1，再利用（ 1）题结论可得112b，214b，318b，4116b，5132b想一想 ：上面数列na与nb有什么不同？( 1)n起什么作用？回答 ：数列na与nb在单项位置上的数值相差一个负号，( 1)n就起到这种符号交错的作用 . 例 2在下面各题中，分别写

6、出一个无穷数列的通项公式，使得无穷数列的前4 项恰好是题中给出的4 个数（1）3，6，9，12；)2(87,65,43,21解（1）题中给出的4 个数 3，6，9，12 作为数列的前4 项，其中每个数正好是项的序号的 3 倍，因此，通项公式为3nan的无穷数列na的前 4 项恰好就是3，6， 9，12；（2）题中给出的4 个分数87,65,43,21作为数列的前4 项，其中每个分数的分母是项的序号的 2 倍，分子是项的序号的2 倍减 1，因此，通项公式为212nnbn的无穷数列nb的前 4 项恰好就是87,65,43,21想一想 ：在例 2 中，如果不考虑通项公式，还有没有其他的数列其前4 项

7、也正好是题中给出的 4 个数？练习题 711 1已知数列na的通项公式为23nna，试求这个数列的第4 项2写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前5 项为9,7,5,3 ,1参考答案 ：1794a；2) 12()1(nann. （三）数列的前n项和1数列的前n项和有的时候，我们需要求出一个数列中若干项的和，例如，如果想知道在第23 届至第 28届的六届夏季奥运会上，我国体育健儿一共获得了多少块金牌，那就需要求出（一）中数列（4）的前 6 项的和一般地，对于数列na，我们把12aana叫做数列na的前n项和 ，记作nS，即nnaaaS21有时为了书写简便，常把naaa21简记为niia1，即n

8、Sniia1我们把niia1叫做和式，其中符号“”叫做 连加号 ，ia表示加数的一般项，如果数列有通项公式，一般项ia可以写成通项公式的形式，i叫做 求和指标 ，连加号的上下标表示求和指标i的取值一般依自然数的顺序由1 取到n（也可以根据特殊情况限定范围）例 3 已知数列na的通项公式为) 1(nnan试求这个数列的前4 项的和解40)14(4)13(3)12(2) 11(1) 1(41414iiiiiaS想一想 ：在求和时，当把一般项ia写成通项公式的形式时，其通项公式中的n要用求和指标i来代替这是为什么？2运算性质由于和式niia1表示的是连续的加法运算，因此，由加法的运算性质可以得到和式

9、的运算性质：niniiniiiibaba111)()1 (；niiniiakka11)2(（k为常数）；nCCni 1)3(（C为常数）如果数列na的前n项和nS能用n的一个表达式来表示，那么这个表达式叫做这个数列的 前n项和公式 如果知道了一个数列的前n项和公式， 就可以求出这个数列的前任意项的和例 4 已知数列na的前n项和公式为12nSn试求该数列前100 项的和解该数列前100 项的和为1000111002100S例 5已知数列na的前n项和公式为nnSn22求此数列的通项公式解由前n项和的定义，显然可知，当2n时，有1nnnSSa)1() 1(2222nnnn)1242(222nnn

10、nn34n当1n时，3141112211Sa，故对任意的正整数n都有34nan因此该数列的通项公式为34nan注意 ：利用数列的通项na与前n项和nS之间的关系1nnnSSa)2(n来求通项na是经常使用的方法，求出na之后，必须验证1a是否适合所求的通项公式，如果不适合，则需要表明1n的情况，把通项公式写成分段函数的形式练习题 712 1已知数列的通项公式为nann1)1(，求此数列的前5 项的和*2已知数列的前n项和公式为)13(21nnSn，求此数列的前10 项的和，并求出该数列的通项公式参考答案 ：160475S. *214510S，23nan，提示：)2(1nSSannn. 六、小结

11、：1本节课知识内容2需要注意的问题（ 1）数列与数集是两个不同的概念，数列中的数是有次序的，而数集中的数是无序的；数列中的数可以重复出现，而数集中的数却是互异的（2）并不是所有的数列都有通项公式，比如由圆周率的不足近似值构成的数列3，1.3，14.3，141.3，1415.3，就没有通项公式（ 3）当给定通项公式时，数列就被唯一确定了，但对于一个给定的数列，其通项公式可能不唯一，比如数列：1，1，1，1，1，1，1，1，nna)1(是它的一个通项公式，nancos也是它的一个通项公式（4）已知数列的前n项和公式求数列的通项公式，利用的是na与nS的如下关系：11Sa，1nnnSSa)2(n数列

12、的概念数列的定义数列的前n项当利用关系1nnnSSa)2(n求得na关于n的一个表达式)(nfan时，还不能说这个数列的通项公式就是)(nfan，因为1a是否也满足这个表达式还不知道，所以还必须验证有) 1(1fa如果) 1(1fa，那只能说当2n时，数列na的通项公式是)(nfan，而1a的值必须单独写出七. 练习与作业：练习：习题 7.1 第 1、2 题. 参考答案 ：1略；2 （1） 8，10，12，14； （2） 9，16， 25，36； （3）2，3，4，5；21)4(，43，85，167；作业： 习题7.1 第 3、4、5、6 题.7.2 等差数列（一）一、教学目标：1. 知识目标

13、：（ 1）理解等差数列以及等差中项的概念；（ 2）掌握等差数列的通项公式、中项公式；能够由等差数列的1a、d、n、na中的三个已知量求出另外的两个量2. 能力目标：培养学生的基本运算能力、思维能力和简单实际应用能力3. 思想品质目标：对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质. 二、教学重点：教学重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式、中项公式. 三、教学难点：教学难点是等差数列的概念及等差数列的通项公式、中项公式等知识的简单实际应用四、教学方法：比较法、讲授法与练习法相结合. 五、教学过程：（一）等差数列的定义1问题的引入(1) 某班参加义务植树劳动，分为 5 个小组， 第 1

14、小组到第5 小组植树的棵数恰好是下面的一个数列28，26，24，22，20(2) 全体正整数中5 的倍数从小到大构成一个数列5，10，15，20，试分析，这两个数列有什么共同的特点？仔细观察不难发现，第一个数列中的每一项都比它的前一项小2（第 1 项除外），第二个数列中的每一项都比它的前一项大5（第 1 项除外），也就是说，这两个数列的一个共同特点就是，除第1 项外，每一项与它的前一项的差都等于相同的常数2等差数列的定义如果一个数列除第1 项外，每一项减去它的前一项都等于同一个常数，那么，这个数列叫做 等差数列 ，这个常数叫做等差数列的公差 ，用字母d表示由等差数列的定义可知，若na为等差数列

15、，d为公差，则有daann1，即daann1n(N*，）且2（71）例 1已知等差数列的首项为12，公差为5，试写出这个数列的第2 项到第 5 项解由于121a，5d，因此由公式（71）有;7)5(1212daa; 2)5(723daa3)5(234daa；8)5(345daa想一想 ：你能很快地写出这个数列的第101 项吗？练习题 721 1已知na为等差数列，85a，公差2d，试写出这个数列的第8 项2写出等差数列11，8，5，2，的第10 项参考答案 ：128a； 21610a（二）等差数列的通项公式，等差中项公式1问题的引入引导学生分析，如果按照公式（71）来写出例1 中的第 101

16、项，是非常麻烦的有没有简便的方法很快地就能写出这一项呢？2等差数列的通项公式设等差数列an公差为d，首项为1a，daa12，daddadaa2)(1123，daddadaa3)2(1134，依此类推，得到dnaan) 1(1（72）公式（ 72）就是等差数列的通项公式 说明 ：公式（ 72）给出求等差数列中任意一项的方法. 例如，例 1 中的第 101 项为488)5(10012)1101(1101daa例 2 求等差数列1，5，11，17，的第 50 项解由已知得，11a，52a，6) 1(512aad，所以这个等差数列的通项公式为766) 1(1) 1(1nndnaan，即76nan于是，

17、这个数列的第50 项为293750650a注意 ：只要知道了等差数列的任意两个相邻的项，就可以用定义直接求出公差例 3 已知等差数列na的第 100 项为 48，公差为31，该数列的第1项是多少？解由于48100a，31d，由等差数列的通项公式（72） ，有3331)1100(4811aa，所以1533481a注意 ：在等差数列的通项公式（72）中，共有四个量：na、1a、n和d，只要知道了其中的任意三个量，就一定可以求出另外的一个量例 4已知等差数列na的第 5 项是 0，第 10 项是 10，求它的第30 项解由已知，05a，1010a，再由通项公式（7 2）得.)110(10,)15(0

18、11dada解得81a，2d，因此502298) 130(130daa想一想 ：在等差数列中，5a与10a有什么关系？例4 的计算是否还有更简便的方法？回答 ：5a与10a的关系是daa5510. 如例 4 还可以先用daa5510求出公差d，然后再由daa25530计算出30a. （还有其他方法，就不一一列举了）例 5小明的妈妈把6 000 元钱按“整存整取定期储蓄”的方式存入银行，存期5 年，年利率为0079.2，利息税率为0020，到期后实际所得的本利和是多少？解存款之后的5 年中，第1 年到第 5 年的利息组成数列（单位：元）0079.210006，0079.220006，0079.2

19、50006，这是一个等差数列，到期后所得利息正是这个数列的第5 项，即83779.25000600（元） ，应纳税4.1672083700（元），到期后实际所得本利和为6 000 837167.4 6 669.6（元） 注意 ：本例中所计算的利息叫做单利 （即每期的利息不加入本金在下期中计算利息）试一试 ：设本金为P，每期利率为i，你能写出按单利计算时第n 期到期后本利和F的计算公式（即 单利公式 ）吗？回答 ：单利公式为%)201( inPPF.3等差中项有时候，我们需要在两个已知的数a和b之间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，A应满足什么条件呢？由等差数列的定义，如果a，A，b成等差

20、数列，那么，AbaA，从而得到2baA反之，如果2baA，则有baA2，从而AbaA，即a，A，b成等差数列因此，要使a，A，b成等差数列，必须满足条件2baA如果a，A，b成等差数列，那么，A叫做a与b的等差中项 公式2baA（73）叫做 等差中项公式说明 ：等差数列任意相邻的3 项中，其中间项是它的前一项与后一项的等差中项例 6求25和13的等差中项解设25和13的等差中项为A，则622513A例 7小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120 岁， 小明爷爷的年龄比小明年龄的4 倍还多 5 岁， 求他们祖孙三人的年龄解由已知条件，设小明、小明的

21、爸爸和小明的爷爷的年龄分别为da，a，da，其中d为公差于是有.5)(4,120)()(dadadaada解得40a，25d，从而15da，65da即，小明、小明爸爸和小明爷爷的年龄分别为15 岁、 40 岁和 65 岁想一想 ：将成等差数列的三个数设为da，a，da有什么好处？要掌握这种方法练习题 722 1求等差数列52，1，531，的通项公式与第15 项2等差数列na的第5项是3，第9项是15，那么第几项是48？3已知本金为2 000 元，单利率为0052.2, 求第 3 期到期后的本利和4求43与54的等差中项参考答案：15153nan，54815a. 2第 20 项. 32 .215

22、1F元. 4401六、小结：1本节课知识内容2需要注意的问题（1）等差数列的通项公式中含有四个量：1a，d，n，na，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量（2）一般地，在等差数列中，若n、m都是正整数，且mn，则由定义可以推得关系式：dmnaamn)(这个关系式揭示了等差数列任意两项之间的内在联系，有时候用这一关系来解题，会使解题过程变得很简洁（此条根据学生情况介绍）（3）在解题的时候， 若三个数成等差数列，则常将这三个数设成为da，a，da，这样设的好处是这三个数的和正好等于a3， 很容易将a求出若将这三个数设成a，da，da2，计算起来就不如上面那样设简单了（4）在一个等差数列中

23、，若m，n，k，l均为正整数，且有lknm，那么就一定有lknmaaaa. （等差数列的这条性质，对于基础比较好的学生，可以通过例题、 习题给予提示， 一般不要给学生介绍）七、 练习与作业：练习：习题 7.2 第 1（1）（ 2）题 . 参考答案 ：1略；作业 ：习题7.2 第 2、3、4、5、6、7 题.等差数列定义通项公式等差中项7.2 等差数列（二）一、教学目标：1. 知识目标：（ 1）掌握等差数列的前n项和公式；（ 2）能够由等差数列的1a、d、n、na、nS中的三个已知量求出另外的两个量；能够用等差数列的知识解决一些简单的实际生活中的问题2. 能力目标：培养学生的基本运算能力、思维能

24、力和简单实际应用能力3. 思想品质目标：对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质. 二、教学重点：教学重点是等差数列的概念及等差数列的前n 项和公式 . 三、教学难点：教学难点是前n项和公式的推导以及知识的简单实际应用对“等差”特点的理解和把握是突破难点的关键四、教学方法：图示法、演示法与讲授法相结合. 五、教学过程：（一）复习提问：画出 等差数列的知识结构框图.回答：（二）等差数列的前n项和公式1实例小明和小刚比赛计算速度，看谁能最先算出前100 个正整数的和 计时开始后， 小明快速地计算着：321，633，1046，15510，21615，还没等小明加到10 呢，小刚就宣布他已

25、经算出结果来了，总和是5050你是否也能很快地算出这一结果来呢？如果不能，那么，想不想知道小刚是怎么算出来的呢？其实小刚的算法很简单他想：1 与 100 的和是 101，2 与 99 的和也是101，3 与 98 的和还是 101，照此做法，前后配对相加，100 个数应该配成50 对，每一对的和都是101，所等差数列定义通项公式等差中项以总和就应该是50 个 101，即 50502等差数列的前n项和公式实际上，小明和小刚是在求等差数列1，2， 3，n，的前 100 项的和那么求其他的等差数列的前n项和是否也可以用小刚的这种方法呢？设na为等差数列，由等差数列的定义和小刚的那种配对思路，得nna

26、aaa11，nnnaadadaaa1112)()(，nnnaadadaaa1123)2()2(，nnnaadnadnaaa111) 1() 1(，把上面n个等式的左、右两边分别相加，得)(21nnaanS，由此得出等差数列na的前n项和公式为2)(1nnaanS（74）将等差数列的通项公式dnaan)1(1代入公式（ 74） ，得dnnnaSn2)1(1（75）注意 ：如果知道1a和d，不必再计算na，可以直接利用公式（75）计算nS例 8已知等差数列na的首项是8，第 20 项是 106，求此数列的前20 项的和解由公式（ 74）得9802)1068(2020S例 9求正奇数数列1，3，5，

27、12n，的前 100 项的和解这是一个首项为1，公差为2 的等差数列，由公式（75）可得1000010022)1100(10011002100S想一想 ：这个数列的通项公式是12nan，那它的前n项和公式是什么？例 10等差数列13， 9， 5， 1，3，的前多少项的和等于50？解设此数列前n项的和是50，由于131a，4)1(3d，由公式（ 75）得42)1(1350nnn，化简，得0501522nn，解得101n，252n（舍去），所以，所给数列的前10 项的和等于50想一想 ：这个数列的前n项和可能等于60 吗？你是怎么判断的？练习题 723 1求等差数列1，4，7，10，的前100 项

28、的和2已知在等差数列na中，64a，269a，求20S* 3 等差数列na的前n项和公式为nnSn223252，试写出这个数列的前5 项参考答案：114950100S；264020S；*39，4，11,6,1. (提示：先求出1a与2a，然后求公差d) 六、小结：1本节课知识内容2需要注意的问题（1）等差数列的前n 项和公式中含有四个量：1a、na、n、nS或、1a、d、n、nS，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量；（2）在一个等差数列中，若m，n，k，l均为正整数，且有lknm，那么就一定有lknmaaaa；*（3）一般地，在等差数列中，若k、m都是正整数，且1mk，则由定义可以

29、推得mkkmkaaa、三项也成等差数列；kkkkkSSSSS232、也成等差数列.（此概等差数列定义通项公式等差中项等差数列前n 项和念可以不介绍）七. 练习与作业：练习：习题 7.2 第 1（3）（ 4）、 9、10、11、12、 13 题. 参考答案：1略；9末项是100，公差是5；1022n，75d；1101a，3820a；12105030S；1311a，3d，提示：解关于1a与d的二元一次方程组作业： 达标训练7.2 第 1、2、3、4、5、 6 题 .7.3 等比数列（一）一、教学目标：1. 知识目标：（ 1）理解等比数列以及等比中项的概念；（ 2）掌握等比数列的通项公式、中项公式；

30、能够由等比数列的1a、d、n、na中的三个已知量求出另外的两个量2. 能力目标：培养学生的基本运算能力、思维能力和简单实际应用能力3. 思想品质目标：对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质. 二、教学重点：教学重点是等比数列的概念及等比数列的通项公式、中项公式. 三、教学难点：教学难点是等差比数列的概念及等差比列的通项公式、中项公式等知识的简单实际应用四、教学方法：比较法、讲授法与练习法相结合. 五、教学过程：（一）等比数列的定义1问题的引入（1）某工厂今年的产值是1000 万元， 如果通过实行技术改造，在今后的5 年内，每年都比上一年增加产值10，那么今年以及今后5 年的产值构

31、成下面的一个数列（单位：万元）0001，1 .10001，21 .10001，31. 10001，41. 10001,51.10001（2）3 的 1 次幂， 3 的 2 次幂， 3 的 3 次幂， 3 的 4 次幂， 构成一个数列3，23，33，43，这两个数列有什么共同的特点？仔细观察，我们不难发现，第一个数列中的每一项都是它的前一项乘以1 .1（第 1 项除外） ，第二个数列中的每一项都是它的前一项乘以3（第 1 项除外），也就是说，这两个数列的一个共同特点就是，除第1 项外，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数2等比数列的定义像上面的两个数列那样，如果一个数列除第1 项外，每一项与它

32、的前一项的比都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等比数列 ，这个常数叫做这个等比数列的公比 ，用字母q来表示由等比数列的定义知，如果na为等比数列，q为公比，则1a与q均不为零，且有qaann1，即qaann1，n(N*，)2n（76）知道了首项和公比，就可以由公式（76）逐项写出等比数列na的各项例 1 已知等比数列的首项为5，公比为3，试写出这个数列的第2 项到第 5 项解由于51a，3q，因此由公式（76）有153512qaa，4531523qaa，13534534qaa，405313545qaa想一想 ：你能很快地写出这个数列的第9 项吗？练习题 731 1已知na为等比数列，63a，

33、公比2q，试写出这个数列的前6 项2写出等比数列3，6，12，24，的第5 项到第 9 项参考答案 ：123，3，6，12，24，48；2第 5 项到第 9 项依次为： 48，96，192，384，768（二）等比数列的通项公式，等比中项1等比数列的通项公式与等差数列相类似，如果由公式（7 6）来写出等比数列的任意一项是非常不方便的，因此需要求出等比数列的通项公式设na为等比数列，并设其公比为q，由公式（ 76）有qaa12，21123)(qaqqaqaa，312134)(qaqqaqaa，依此类推，得到11nnqaa（77）当1n时，上式两边都是1a，等式也成立因此，公式（77）就是 等比数

34、列的通项公式 可以看出，只要知道了等比数列的首项和公比，就可以由通项公式（77）直接求出该数列的任意一项例如，我们可以直接求出731 例 1 中的等比数列的第9 项为32805656153581919qaa例 2 求等比数列1，21，41，81，的第 10 项解由于，11a，212a，所以，2112112aaq，因此，这个等比数列的通项公式为11111121)1()21()1(1)21(1nnnnnnnqaa，即121)1(nnna于是，这个数列的第10 项为512121)1(1101010a注意 ：等比数列的公比，可以由任意两个相邻项的比来求出，但必须是后项比前项例 3已知等比数列na的第

35、7 项为91，公比为31，求该数列的第3 项解已知917a，31q，又由等比数列的通项公式（77） ，有617qaa，213qaa，两式的两边分别相除，得437qaa，所以9)31(914473qaa想一想 ：等比数列的任意两项之间有什么关系？回答 ： （1）等比数列的任意相邻两项之间相差公比的倍数，即qaann 1；（2）等比数列的任意两项nmaa 、之间相差公比的nm次方，即mnmnqaa1 . 例 4 已知等比数列na的第 5 项是1，第 8 项是81，求它的第13 项解由已知，15a，818a设公比为q，则由通项公式（77）得411qa，（1）7181qa，（2）（2）式的两边分别除以

36、式（1）的两边，有381q，从而得21q，因此，2561)21(1)(88584112113qaqqaqaa注意 ：我们在求出公比q后，并没有去求1a，然后再由通项公式去求13a，而是利用了13a与5a的关系直接求出了13a，使得运算更简便例 5 银行贷款一般都按复利（计算本利和时，把上期产生的利息也纳入本期的本金计算利息，即“利滚利” ）来计算利息假如某人从银行贷款P万元，贷款期限为3 年，月利率（复利率）为0045.0，试求到期后该人应偿还银行多少钱呢？解贷款第一个月后的本利和为PPPP0045.1)0045.01 (45.000，第二个月后的本利和为PPP2000045.145.0004

37、5. 10045.1，依次下去，从第一个月起，每个月的本利和组成的数列为P0045.1，P20045.1，P30045.1，这是一个等比数列，Pa0045.11，0045.1q3 年后应偿还银行的本利和也就是第 36 个月后的本利和，也即此等比数列的第36 项：PPa36136360045.10045. 10045.1故，到期后该人应偿还银行P360045.1万元试一试 ：设本利和为F，你能写出P元本金在利率为i时，经n期后，按复利计算的本利和公式（即 复利公式 ）吗？回答 ：复利公式为niPF)1(2等比中项与等差中项的概念相类似，如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项如果G是

38、a与b的等比中项，则有GbaG，从而abG2，abG反之，如果a与b同号，且有abG或abG，那么abG2，从而，G是a与b的等比中项因此，要使G成为a与b的等比中项，必须满足条件abG2公式abG2（78）叫做 等比中项公式注意 ：等比数列任意相邻的3 项中， 其中间项就是它的前一项与后一项的等比中项由公式（ 78）看到，如果a与b有等比中项，则a与b同号例 6求6与7的等比中项解设6与13的等比中项为G，则42)7()6(G即，6与7的等比中项是42或42例 7小明、小刚和小强三个人参加钓鱼比赛，比赛结果，他们三人钓鱼的条数恰好构成一个等比数列，已知他们三人一共钓了14 条鱼，而他们三人钓

39、鱼的数目相乘等于64三人中，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，求他们三人各钓了几条鱼？解由已知可设小明、小刚和小强钓鱼的条数分别为qa，a，aq，其中q为公比于是有.64,14aqaqaaqaqa解得4a，21q，212q，当2q时224qa，824aq，当21q时8214qa，2214aq，再根据题中所给条件可知，小明钓了2 条鱼，小刚钓了4 条鱼，小强钓了8 条鱼想一想 ：将成等比数列的三个数设为qa，a，aq有什么好处？回答 ：当已知这三个时的乘积时，很便于计算.这种方法经常用，请同学们掌握. 练习题 732 1求等比数列32，2，6，的通项公式与第7 项2等比数列na的第2项是251，第

40、5项是5，那么第几项是125？3已知本金为2 000 元，复利率为005，期数为4，求到期后的本利和4求4与6的等比中项参考答案 ：1232nna，4867a；2第 7 项；3约为 2 431 元；462六、小结：1本节课知识内容2需要注意的问题（1）等比数列的通项公式中含有四个量：1a，q，n，na，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量（2）一般地，在等比数列中，若n、m都是正整数，且mn，则由定义可以推得关系式：nmnmaaq这个关系式揭示了等比数列任意两项之间的内在联系，有时候用这一关系来解题，会使解题过程变得很简洁（此条根据学生情况介绍）（3）在解题的时候，若三个数成等比数列

41、，则常将这三个数设成为qa，a，aq，这样设的好处是这三个数的积正好等于3q，很容易将q求出 若将这三个数设成a，aq，2aq，计算起来就不如上面那样设简单了（4）在一个等比数列中，若m，n，k，l均为正整数，且有lknm，那么就一定有mnklaaaa. （等比数列的这条性质，对于基础比较好的学生，可以通过例题、 习题给予提示， 一般不要给学生介绍）七、 练习与作业：练习：习题 7.3 第 1（1）（ 2）题 . 参考答案： 1略；作业： 习题7.2 第 2、3、4、5、6、7、8 题.等比数列定义通项公式等比中项7.3 等比数列（二）一、教学目标：1. 知识目标：（ 1）掌握等比数列的前n项

42、和公式；（ 2）能够由等比数列的1a、d、n、na、nS中的三个已知量求出另外的两个量；能够用等比数列的知识解决一些简单的实际生活中的问题2. 能力目标：培养学生的基本运算能力、思维能力和简单实际应用能力3. 思想品质目标：对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质. 二、教学重点：教学重点是等比数列的概念及等比数列的前n项和公式 . 三、教学难点：教学难点是前n项和公式的推导以及知识的简单实际应用对“等比”特点的理解和把握是突破难点的关键四、教学方法：图示法、演示法与讲授法相结合. 五、教学过程（一）复习提问：画出等比数列的知识结构框图.回答：（二）等比数列的前n项和公式1问题的引

43、入现在我们来研究本章引言中提到的合同问题这份合同你是否能签，关键要看在合同期限的 30 天内，你要付给供货商多少钱这实际上就是要求等比数列1， 2，4，8，16，32，的前 30 项的和，即要求出2943210222222的值是多少设294321030222222S（1）在式（ 1）的两边乘以2，得等比数列定义通项公式等比中项3054321302222222S（2）我们发现，式（1）与式（ 2）的右端有好多项是完全相同的，因此用式（2）的两边分别减去式（ 1）的两边，得823741073112223003030S（分）41873710（元） 这就是说，在合同期限内，你总共要付给供货商约1 07

44、3 万多元，而供货商总共只给你提供价值300 万元的商品，如果你签了这份合同，你将白白送给供货商770 多万元！现在你该知道这份合同的险恶了吧！2等比数列的前n项和公式以上是一个特殊的等比数列的求和问题，那么，一般的等比数列的前n项和应该怎么去求呢？是不是也可以用上面的这种方法呢？现在我们就来研究这个问题设na为等比数列，其公比为q，它的前n项和为nnaaaaS321（ 1）由于在等比数列中，每一项乘以公比就会得到后一项，因此，如果在上式的两端乘以q，等式右边就会变成是对2a到1na求和，即有1432nnnaaaaaqS (2) 用式（ 1）的两边分别减去式（2）的两边，得)1()1 (111

45、11nnnnqaqaaaaSq（ 3）当1q时，由式（ 3）便可得等比数列na的前n项和公式qqaSnn1)1(1（ 79）由公式（ 79）看出，只要知道等比数列的首项1a和公比)1(qq，就可以求出它的前n项和nS由于qaaqannn11，因此（ 79）还可以写成qqaaSnn11（710）如果公比1q，则等比数列的每一项都相等，因此它的前n项和1naSn现在我们直接用公式（79）再来计算一下引言合同中需付的供货款：因为11a，2q，30n，所以1221)21(1303030S与前述计算结果一样例 8求等比数列1， 3，9， 27，的前 8 项的和解因为11a，313q，由公式（ 79）得1

46、6404914) 3(1)3(1)3(1144288S例 9一个等比数列的首项是49，末项是94，各项的和是36211，求其公比和项数解因为491a，94na，36211nS，代入公式（710）得qq1944936211，去分母，得)9449(36)1(211qq解得32q，再由通项公式（77）得1)32(4994n，即41)32()32(n，故得41n，从而5n，即该等比数列的公比为32，共有 5 项例 10等比数列80，40， 20，10，的前多少项的和等于325115？解设此数列前n项的和是325115，由于801a，212010q，由公式（ 79）得)21(1160211)21(180

47、321155nn，化简，得n)21(132321023，即有n)21(12121010，也即n)21(1)21(110，比较等式两边得，10n，故所给数列的前10 项的和等于321155想一想 ：这个数列的前n项和可能等于153 吗？你是怎么判断的？回答 ：用例 10 的方法判断，如果n无正整数解，则不可能. 例 11已知数列na的前n项和公式为331nnS，试求这个数列的通项公式，并求出它的第6 项这个数列是等比数列吗？解当2n时，nnnnnnnnSSa3233)33()33(111，当1n时，121132633Sa，也适合上式，因此，数列na的通项公式为nna32，这个数列的第6 项为45

48、813266a由于3323211nnnnaa , 所以na是公比为 3 的等比数列例 12某人从元月份开始，每月底存入银行1 000 元，银行以复利率002.0计月息，试问年终结算时本利和总额是多少？解我们先根据732 中例 5 所提到的复利计息法，来求各月的存款到年终时的本利和分别是多少：由于 12 月末的存入，已到年终，不再计算利息，本利和为：1000 元，11 月末的存款到年终时的本利和为：)2.01(100000元，10 月末的存款到年终时的本利和为：200)2. 01 (1000元，2 月末的存款到年终时的本利和为：1000)2 .01 (1000元，1 月末的存款到年终时的本利和为

49、：1100)2.01(1000元，我们看到，从12 月到 1 月的各月存款的本利和组成一个等比数列，这个数列的首项是1000，公比是002.12.0100，共 12 项年终结算时的本利和总额就是这个数列的所有项的和由等比数列的前n项和公式（79）得88.13212)1002.1(000500002.11)002.11(0001121212S（元）即年终结算时的本利和总额约为88.13212元注意 ：由此例不难得出，一般地，每期存入P元本金，按复利率i计算，第n期时的本利和总额为iiPiiPFnn 1)1(1)1 ( 1)1(（元）练习题 733 1求等比数列91，92，94，98，的前10 项

50、的和2已知在等比数列na中，211a，2243na，182nS，求q与n3等比数列na的首项是 6，第 6 项是163，这个数列的前多少项的和是64255？4小刚的父亲每月底将工资中的100 元存入银行，银行以复利率002.0计月息，半年以后的本利和总额应是多少？参考答案 ：19102310S；23q，6n，提示：求n时需解指数方程；3前 8 项的和；4约为 603 元，提示：利用公式iiPFn 1)1(六、小结：1本节课知识内容2需要注意的问题（1）等比数列的前n 项和公式中含有四个量：1a、q、n、nS或、1a、na、n、nS，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量；（2）在一个等