《2020年高考理科数学复习大题篇—数列综合经典.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考理科数学复习大题篇—数列综合经典.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020年高考理科数学一轮复习大题篇数列综合【归类解析】题型一等差数列、等比数列的交汇【解题指导】 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.【例】记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.【解】(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.【训练】已知公差不为0的等差数列a
2、n的前n项和为Sn，S11，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.【解】(1)设数列an的公差为d由题意可知整理得即an2n1.(2)由(1)知an2n1，Snn2，S416，S636，又S4SnS，n281，n9，公比q.题型二数列的求和【解题指导】(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.1分组求和与并项求和【例】已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a
3、1a22，a3a432.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnalog2an，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)设等比数列an的公比为q(q0)，则ana1qn1，且an0，由已知得化简得即又a10，q0，a11，q2，数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知bnalog2an 4n1n1，Tn(14424n1)(0123n1).2错位相减法求和【例】已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)由已知可得，2，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1
4、)2n1，an.(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，两式相减得，Tn622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)2n1，Tn2(2n1)2n1.3裂项相消法求和【例】在数列an中，a14，nan1(n1)an2n22n.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.(1)证明nan1(n1)an2n22n的两边同时除以n(n1)，得2(nN)，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列.(2)解由(1)，得2n2，所以an2n22n，故，所以Sn.【训练】(
5、1)已知数列an的前n项和为Sn，且a1，an1an(nN).证明：数列是等比数列；求数列an的通项公式与前n项和Sn.证明a1，an1an，当nN时，0，又，(nN)为常数，是以为首项，为公比的等比数列.解由是以为首项，为公比的等比数列，得n1，annn.Sn12233nn，Sn1223(n1)nnn1，两式相减得Sn23nnn1nn1，Sn2n1nn2(n2)n.综上，annn，Sn2(n2)n.(2)已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sna3an2(tR).求数列an的通项公式；若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.解因为a11，且(t1)Sna
6、3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2.()当n2时，有6Sn1a3an12，()()()得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项a11，公差d3的等差数列，所以an3n2(nN).因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan1a2b1.又b11也适合上式，所以bn(nN).所以，所以Tn，.题型三数列与函数【解题指导】 数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用
7、函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法.【例】数列an的前n项和为Sn，2Snan12n11，nN，且a1，a25,19成等差数列.(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列an的通项公式；(3)设bnlog3(an2n)，若对任意的nN，不等式bn(1n)n(bn2)60恒成立，试求实数的取值范围.【解】(1)在2Snan12n11，nN中，令n1，得2S1a2221，即a22a13，又2(a25)a119，则由解得a11.(2)当n2时，由得2anan1an2n，则1，又a25，则1.数列是以为首项，为
8、公比的等比数列，1n1，即an3n2n.(3)由(2)可知，bnlog3(an2n)n.当bn(1n)n(bn2)60恒成立时，即(1)n2(12)n60(nN)恒成立.设f(n)(1)n2(12)n6(nN)，当1时，f(n)n60恒成立，则1满足条件；当1时，由于对称轴n0，则f(n)在1，)上单调递减，f(n)f(1)341满足条件，综上所述，实数的取值范围是1，).【训练】已知数列an满足a11,2an1an，数列bn满足bn2log2a2n1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围.【解】(1)由
9、a11，an0，an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得，Tnn23n，m2n26n对任意正整数n都成立.设f(n)2n26n，f(n)2n26n22，当n1或2时，f(n)的最大值为4，m4.即m的取值范围是4，).题型四数列与不等式【解题指导】 数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.【例】已知数列an中，a1，其前n项的和为Sn，且满足an(n2).(1)求证：数列
10、是等差数列；(2)证明：S1S2S3Sn1.【证明】(1)当n2时，SnSn1，整理得Sn1Sn2SnSn1(n2)，2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，(n1)22n，Sn.当n1时，Sn1，方法一当n2时，Sn，S1S2S3Sn 11.原不等式得证.方法二当n2时，S1S2S3Sn，1.原命题得证.【训练】已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1a2，a32b36.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn0，所以Tn.又因为Tn在1，)上单调递增，所以当n1时，Tn取最小值T1，所以Tn62成
11、立的正整数n的最小值.解(1)由题意，得解得或an是递增数列，a12，q2，数列an的通项公式为an22n12n.(2)bn2nn2n，Snb1b2bn(12222n2n)，则2Sn(122223n2n1)，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1，则Snn2n12n12，解2n1262，得n5，n的最小值为6.4.正项等差数列an满足a14，且a2，a42,2a78成等比数列，an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d(d0)，由已知得a2(2a78)(a42)2，化简得，d24d120，解得d2或d6(舍)，所
12、以ana1(n1)d2n2.(2)因为Snn23n，所以bn，所以Tnb1b2b3bn.5.数列an的前n项和为Sn，已知a11，(2n1)an1(2n3)Sn(n1,2,3，).(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)证明an1Sn1SnSn，Sn1Sn，2，又a11，10，数列是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)解由(1)知，2n1，Sn(2n1)2n1，Tn132522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n.得Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n1)2n(32n)2n3，Tn(2n3)2n3.6.
13、设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q1，d0.记ciaibi (i1,2,3,4).(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2)设a11，q2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由.(1)证明假设数列c1，c2，c3是等差数列，则2c2c1c3，即2(a2b2)(a1b1)(a3b3).因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2b1b3.从而2a2a1a3.又因为a1，a2，a3是等比数列，所以aa1a3.所以a1a2a3，这与q1矛盾，从而
14、假设不成立.所以数列c1，c2，c3不是等差数列.(2)解因为a11，q2，所以an2n1.因为cc1c3，所以(2b2)2(1b2d)(4b2d)，即b2d23d，由c22b20，得d23d20，所以d1且d2.又d0，所以b2d23d，定义域为.(3)解设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，则将2得，a1(q1)2c1(q11)2，将2得，a1q(q1)2c1q1(q11)2，因为a10，q1，由得c10，q11.由得qq1，从而a1c1.代入得b10.再代入，得d0，与d0矛盾.所以c1，c2，c3，c4不成等比数列.7.设数列an的前n项和为Sn，且Snan1.(1)求数列
15、an的通项公式；(2)若f(x)，设bnf(a1)f(a2)f(an)，求数列的前n项和Tn.解(1)由Snan1得Sn1an11，两式相减得，Sn1Snan1an，即 an1an1an，即 (n1)，所以数列an是公比为的等比数列，又由a1a11得a1，所以ana1qn1n.(2)因为bnf(a1)f(a2)f(an)12n，所以2，所以Tn22.8.已知等差数列an的公差d0，a10，其前n项和为Sn，且a22，S3，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.(1)解由a10得an(n1)d，Sn，因为a22，S3，S4成等比数列，
16、所以S(a22)S4，即(3d)2(d2)6d，整理得3d212d0，即d24d0，因为d0，所以d4，所以an(n1)d4(n1)4n4.(2)证明由(1)可得Sn12n(n1)，所以bn22，所以Tn2n2n1，所以Tn2n0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，则2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1
17、，由，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.11.若正项数列an的前n项和为Sn，首项a11，点P(，Sn1)在曲线y(x1)2上.(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tn表示数列bn的前n项和，若Tna恒成立，求Tn及实数a的取值范围.解(1)由Sn1(1)2，得1，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以(n1)1，即Snn2，由公式an得an所以an2n1.(2)因为bn，所以Tnb1b2bn，显然Tn是关于n的增函数，所以Tn有最小值(Tn)minT1.由于Tna恒成立，所以a，于是a的取值范围是.12.已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为9，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项.(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1cn(nN).(1)解设数列an的公差为d，则解得或(舍去)，所以ann1，Sn.又b1a12，b2a34，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明因为anbn(n1)2n，所以Kn221322(n1)2n，所以2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，所以Knn2n1.则cn，cn1cn0，所以cn1cn(nN).17