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1、离散数学第第第第1212章章章章 群、环、域群、环、域群、环、域群、环、域12.112.112.1半群半群半群半群12.212.212.2群群群群 12.312.312.3循环群和置换群循环群和置换群循环群和置换群循环群和置换群 12.412.412.4环和域环和域环和域环和域 第第12章章 代数结构通论代数结构通论离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.1.1 半群及独异点半群及独异点定义定义定义定义12.112.1 如果代数结构如果代数结构中的运算中的运算 满足结合律，则称满足结合律，则称 为为半群半群半群半群。当半群。当半群含有关于含有关于 运算的幺元时，则称运算
2、的幺元时，则称 它为它为独异点独异点独异点独异点，或，或含幺半群含幺半群含幺半群含幺半群。例例例例12.112.1 ，都是半群，后两个又是独异点。都是半群，后两个又是独异点。为一半群和独异点，这里为一半群和独异点，这里SS为为S上所有一元函数的集合，上所有一元函数的集合，为函数的合成运算，其幺元是为函数的合成运算，其幺元是S上的恒等函数上的恒等函数IS。12.1 半群半群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.1.1 半群及独异点半群及独异点定理定理定理定理12.112.1 设设为一半群，那么为一半群，那么（1 1）的任一子代数都是半群，称为的任一子代数都是半群，称为
3、的子半群。的子半群。（2 2）若独异点若独异点的子代数含有幺元的子代数含有幺元e，那么它必为一独异点，那么它必为一独异点，称为称为的子独异点。的子独异点。定理定理定理定理12.212.2 设设、是半群，是半群，h为为S到到S的同态，这时称的同态，这时称h为为 半群同态。对半群同态有半群同态。对半群同态有（1 1）同态象同态象为一半群。为一半群。（2 2）当当为独异点时，则为独异点时，则为一独异点。为一独异点。12.1 半群半群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.1.1 半群及独异点半群及独异点定理定理定理定理12.312.3 设设为一半群为一半群,那么那么 (1)
4、(1)存在存在到到的半群同态的半群同态h。(2)(2)在含有幺元时同构于在含有幺元时同构于,后者是后者是的一个子代数。的一个子代数。证证证证 证证证证(1)(1)：定义函数定义函数h:SSS：对任意：对任意a S，h(a)=fa fa：SS 定义如下定义如下:对任意对任意x S，fa(x)=a x 即将即将S中的一个元素中的一个元素a影射到一个线性变换影射到一个线性变换fa。现证。现证h为一同态。为一同态。对任何元素对任何元素a,b S，h(a b)fa b (l21)而对任何而对任何x S，fa b(x)=a b x=fa(fb(x)=fafb(x)，故，故fa b=fafb,由此及式由此及
5、式(l21)即得即得 h(a b)=fa b=fafb h(a)h(b)证证证证(2)2)：只需证明只需证明a,b S，如果，如果ab，则，则fafb。因为。因为含有幺元含有幺元 e，a*e=ab*e=b，所以存在，所以存在x S，fa(x)fb(x)，定理得证。，定理得证。12.1 半群半群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.1.1 半群及独异点半群及独异点定理定理定理定理12.312.3 设设为一半群为一半群,那么那么 （1）存在）存在到到的半群同态的半群同态h。（2）在含有幺元时同构于在含有幺元时同构于，后者是，后者是 的一个的一个 子代数。子代数。证证证证
6、 为证（为证（2），只需要证明），只需要证明a,b S，如果，如果ab，则，则fafb。因为因为含有幺元含有幺元e，a*e=ab*e=b，所以存在所以存在x S，fa(x)fb(x)，定理得证。，定理得证。12.1 半群半群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.1.2 自由独异点自由独异点 定义定义定义定义 12.212.2 称独异点称独异点为为自由独异点自由独异点自由独异点自由独异点，如果有，如果有A S，且使得，且使得 （1 1）e A。（2 2）对任意对任意u S，x A,u x e。（3 3）对任意对任意u,v S，x,y A,若若u x=v y,那么那么u
7、=v,x=y。（4 4）S由由A生成，即生成，即S中元素或者为中元素或者为e,或者为或者为A的成员，或者的成员，或者 为为 A的成员的的成员的“积积”:ai1 ai2 aik (ai1,ai2,aik A)集合集合A称为称为S的的生成集生成集生成集生成集。12.1 半群半群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.1.2 自由独异点自由独异点 定理定理定理定理12.412.4 设设为一自由独异点，为一自由独异点，A为它的生成集，为它的生成集，g:S A MM为一已知函数，为一已知函数，m为为M中已知元素，中已知元素，那么下列等式组定义了一个那么下列等式组定义了一个S到到
8、M的函数的函数f：（其中（其中w S，x A）定理定理定理定理12.512.5 设设和和为两个自由独异点，为两个自由独异点，A、B分别为分别为 它们的生成集，且它们的生成集，且 A =B，那么，那么和和 同构。同构。12.1 半群半群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.1.2 自由独异点自由独异点 本定理具有重要的意义，它说明：本定理具有重要的意义，它说明：（l l）自由独异点完全取决于它的生成集。如果两个自由独异点的自由独异点完全取决于它的生成集。如果两个自由独异点的 生成集基数相等，即生成集之间存在双射函数，那么这两个生成集基数相等，即生成集之间存在双射函数，
9、那么这两个 自由独异点同构，它们具有完全相同的性质和结构，只是其自由独异点同构，它们具有完全相同的性质和结构，只是其 表示符号不同而已。表示符号不同而已。（2 2）任意含有任意含有n个元素的生成集生成的自由独异点，同构于一个个元素的生成集生成的自由独异点，同构于一个 语言语言，其中，其中|=n。12.1 半群半群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.1 群及其基本性质群及其基本性质定义定义定义定义12.312.3 称代数结构称代数结构为为群群群群，如果，如果 （1 1）为一半群。为一半群。（2 2）中有幺元中有幺元e。（3 3）中每一元素都有逆元。中每一元素都有
10、逆元。简言之，群是每个元素都可逆的独异点。简言之，群是每个元素都可逆的独异点。群的载体常用字母群的载体常用字母G表示，表示，G也常用于表示一个群。也常用于表示一个群。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.1 群及其基本性质群及其基本性质定义定义定义定义 12.412.4 设设 为一群。为一群。（1）若）若 运算满足交换律，则称运算满足交换律，则称G为为交换群交换群交换群交换群或或阿贝尔群阿贝尔群阿贝尔群阿贝尔群。阿贝阿贝 尔群又称尔群又称加群加群加群加群，常表示为，常表示为（这里的（这里的+不是数加，而不是数加，而 泛指可交换二元运算。回忆泛指可交
11、换二元运算。回忆:常被称为乘）。加群的幺元常被称为乘）。加群的幺元 常用常用0来表示，常用来表示，常用 x来表示来表示x的逆元。的逆元。（2）G为有限集时，称为有限集时，称G为为有限群有限群有限群有限群，此时，此时G的元素个数也称的元素个数也称G G的的的的 阶阶阶阶；否则，称；否则，称G为为无限群无限群无限群无限群。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.1 群及其基本性质群及其基本性质 例例例例12.312.3 （1 1）为一阿贝尔群（加群），数为一阿贝尔群（加群），数0为其幺元。为其幺元。不是群，因为非零自然数都没有逆元。不是群，因为非零自然数
12、都没有逆元。（2 2）为一阿贝尔群，为一阿贝尔群，1为其幺元。为其幺元。不是群，因为数不是群，因为数0无逆元，无逆元，是群。是群。不是群，不是群，是群。是群。（3 3）为一为一k阶阿贝尔群阶阿贝尔群,数数0为其幺元为其幺元。（4 4）设设P为集合为集合A上全体双射函数的集合，上全体双射函数的集合，为函数合成运算。为函数合成运算。那么那么为一群，为一群，A上恒等函数上恒等函数EA为其幺元。为其幺元。一般不是阿贝尔群。一般不是阿贝尔群。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.1 群及其基本性质群及其基本性质定理定理定理定理12.512.5 设设为群，那么
13、为群，那么 （1 1）G有唯一的幺元，有唯一的幺元，G的每个元素恰有一个逆元。的每个元素恰有一个逆元。（2 2）关于关于x的方程的方程a xb，x ab都有唯一解。都有唯一解。（3 3）G的所有元素都是可约的。的所有元素都是可约的。（4 4）当当G e时时,G无零元。无零元。（5 5）幺元是幺元是G的唯一的等幂元素。的唯一的等幂元素。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.1 群及其基本性质群及其基本性质定义定义定义定义12.512.5 对群对群定义定义幂运算幂运算幂运算幂运算。令。令a为为G的任意元素的任意元素,r为自然数：为自然数：（1 1）a0
14、e （2 2）ar+1=ar a （3 3）a-r=(a1)r定理定理定理定理12.6 12.6 对群对群的任意元素的任意元素a、b，（1 1）(a b)-1b-1 a-1 （2 2）(ar)-1=(a1)r（记为（记为ar）（）（r为自然数）为自然数）定理定理定理定理12.712.7 对群对群的任意元素的任意元素a,b，及任何整数，及任何整数m,n （l l）am an=am+n （2 2）(am)n=amn12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.1 群及其基本性质群及其基本性质 用用aG和和Ga分别表示下列集合：分别表示下列集合：aG=a g g
15、 G Ga=g a g G 定理定理定理定理 12.812.8 设设为一群，为一群，a为为 G中任意元素，那么中任意元素，那么 aG=G=Ga 证证证证 aG G是显然的。是显然的。设设g G，那么，那么a1 g G，从而，从而a(a1 g)aG，即，即g aG 因此因此G aG aG=G得证。得证。Ga=G同理可证。同理可证。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.1 群及其基本性质群及其基本性质 因此，当因此，当G为为1，2，3阶群时阶群时,运算都只有一个定义方式（不计运算都只有一个定义方式（不计元素记号的不同，只有一张定义元素记号的不同，只有一
16、张定义 运算的运算表，如下表所示）。运算的运算表，如下表所示）。于是可以说，于是可以说，1、2、3阶的群都只有一个。阶的群都只有一个。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.2 群的元素的阶群的元素的阶 定义定义定义定义12.612.6 设设为群，为群，a G，如果，如果an=e，且，且n为满足此式的最为满足此式的最小小 正整数，则称正整数，则称a的的阶阶阶阶为为n。上述。上述n不存在时，称不存在时，称a有有无限阶无限阶无限阶无限阶。例例例例12.412.4 群群G的的幺元幺元e的阶为的阶为1,且只有幺元且只有幺元e的阶为的阶为1。：整数整数a 0时
17、，时，a有无限阶。有无限阶。：1的阶是的阶是6；2的阶是的阶是3；3的阶是的阶是2；4的阶是的阶是3；5的阶是的阶是6。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.2 群的元素的阶群的元素的阶 定理定理定理定理12.912.9 有限群有限群G的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群G的的 阶数阶数G。证证证证 设设a为为G的任一元素，考虑的任一元素，考虑 a0(=e)，a1，a2，aG 共有共有G+1个个G中元素，由于中元素，由于G中只有中只有G 个元素个元素 因此，根据鸽笼原理，它们中至少有两个是同一元素因此，根据鸽
18、笼原理，它们中至少有两个是同一元素 不妨设不妨设 ar=as (0r s G)于是于是as-r=e。因此。因此a有有限阶，且其阶数至多是有有限阶，且其阶数至多是sr，不超过，不超过 群群G的阶数的阶数 G。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.2 群的元素的阶群的元素的阶 定理定理定理定理12.1012.10 设设为群，为群，G中元素中元素a的阶为的阶为k，那么，那么an=e当且仅当当且仅当 k整除整除n。证证证证 先证充分性。先证充分性。设设ake，k整除整除n，那么，那么n=kr（r为整数）为整数）因为因为ake，所以，所以an=akr=(ak
19、)r=e r=e。再证必要性。再证必要性。设设 ane，n=mkr，其中，其中m为为n除以除以 k的商，的商，r为余数为余数 因此因此0 rk。于是。于是 eanamk+ramk arar 因此，由因此，由k的最小性得的最小性得r=0，k整除整除n。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.2 群的元素的阶群的元素的阶定理定理定理定理12.1112.11 设设为群为群,a为为G中任一元素中任一元素,那么那么a与与a-1具有相同的阶。具有相同的阶。证证证证 只要证只要证 a具有阶具有阶n当且仅当当且仅当a-1具有阶具有阶n。由于逆元是相互的，即由于逆元是
20、相互的，即(a-1)-1a 同此只需证：当同此只需证：当a具有阶具有阶n时，时，a-1也具有阶也具有阶n。设设a的阶是的阶是n，a-1的阶是的阶是m。由于。由于 (a-1)n(an)-1e-1e 故故m整除整除n。又因为。又因为 am(a-1)m)-1e-1e 故故n整除整除m。因此，。因此，nm。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理 定义定义定义定义12.712.7 设设为群，如果为群，如果为为G的子代数，且的子代数，且为为一一 群，则称群，则称为为G的的子群子群子群子群。显然，对任何群显然，
21、对任何群G，及及均为其子群，它们均为其子群，它们被被 称为称为平凡子群平凡子群平凡子群平凡子群，其它子群则称为，其它子群则称为非平凡子群非平凡子群非平凡子群非平凡子群或或真子群真子群真子群真子群。12.2 群群 例例例例12.512.5（1 1）群群有非平凡子群有非平凡子群和和。（2 2）I为整数集，为整数集，E为偶数集，那么为偶数集，那么为为的子群，的子群，但但不是不是的子群。的子群。（3 3）nI=n*i|iI，那么，那么为为的子群，的子群，当当n1时，时，为为的真子群。的真子群。离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉
22、格朗日定理 定理定理定理定理12.1212.12 设设为群，那么为群，那么为为子群的充分必子群的充分必要要 条件是条件是 （l l）G的幺元的幺元e H。（2 2）若若a,b H，则，则a b H。（3 3）若若a H，则，则a-1 H。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理定理定理定理定理12.1312.13 设设为有限群，那么当为有限群，那么当G的非空子集的非空子集H对对 运算封闭运算封闭 时，时，即为即为G的子群。的子群。证证证证 由于由于G为有限群，为有限群，H必为有限集。设必为有限集。设
23、H=r，a H。考虑。考虑 a1,a2,ar+1,它们都在它们都在H中，因此必定有中，因此必定有ai=aj(0i j r+1)，从而，从而 aj-i=e，故，故e H。若若H=e，为为G的子群得证。的子群得证。若若H e，设，设a为为H中任一不同于中任一不同于e的元素。同上可证，有的元素。同上可证，有k2 使使ak=e，从而有，从而有 a ak-1=ak-1 a=e。因此。因此,ak-1=a-1 H。据定理据定理12.12，为为G的子群得证。的子群得证。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理定义定
24、义定义定义12.812.8 设设为为的子群，那么对任一的子群，那么对任一g G，称，称gH为为H的的 左陪集左陪集左陪集左陪集。称。称Hg为为H的的右陪集右陪集右陪集右陪集。这里。这里 gH=g h h H ，Hg=h g h H 定理定理定理定理12.1412.14 设设为为的子群，那么的子群，那么 (1)(1)当当g H时，时，gH=H（Hg=H）。）。(2)(2)对任意对任意g G，gH =H（Hg =H）。）。证证证证(l)(l)：由定理由定理12.8立得。立得。证证证证(2)(2)：只要证只要证H与与gH之间存在双射。定义函数之间存在双射。定义函数f:HgH如下：对任如下：对任 何一
25、何一h H，f(h)=g h。需证。需证f为双射。为双射。设设h1 h2，那么，那么f(h1)=g h1，f(h2)=g h2，若，若f(h1)=f(h2)，那，那么么 由群的可约性即得由群的可约性即得h1=h2，与，与h1 h2矛盾，矛盾，f为单射得证。为单射得证。f为满射为满射 是显然的。故是显然的。故f为双射。为双射。gH=H得证。同理可证得证。同理可证 Hg =H。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理定理定理定理定理l2.15l2.15 设设为为的子群，的子群，a,b G，那么，或者，那
26、么，或者aH=bH （Ha=Hb），或者），或者aHbH=（HaHb=）。）。证证证证 设设aHbH ，那么有，那么有h1,h2 H使得使得a h1=b h2。于是于是ab h2 h1-1。为证为证aH bH，设，设x aH。那么有。那么有h3 H，使得，使得 x=a h3=b(h2 h1-1 h3)bH。aH bH得证。得证。同理可证同理可证bH aH。于是。于是aH=bH得证。得证。对于右陪集对于右陪集Ha、Hb，同上可证平行的命题。，同上可证平行的命题。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理
27、 由于对每一元素由于对每一元素g G，g gH(g Hg)，gH G(Hg G)，因此，因此据以上讨论可以看出，子群据以上讨论可以看出，子群H的全体左的全体左(右右)陪集构成陪集构成G的一个划分，的一个划分，且划分的各单元与且划分的各单元与H(亦即陪集亦即陪集eH，He)具有同样数目的元素。具有同样数目的元素。定理定理定理定理12.1612.16（拉格朗日定理）拉格朗日定理）拉格朗日定理）拉格朗日定理）设设为有限群为有限群的子群，的子群，那么那么H的阶整除的阶整除G的阶。的阶。证证证证 由以上讨论知由以上讨论知 G =k H ，其中，其中k为不同左（右）陪集的数目。为不同左（右）陪集的数目。定
28、理得证。定理得证。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理 注意，拉格朗日定理之逆不能成立。因此，据此定理只可判别注意，拉格朗日定理之逆不能成立。因此，据此定理只可判别一子代数一子代数“非子群非子群”，却不可用它来判别一子代数，却不可用它来判别一子代数“是子群是子群”。拉格朗日定理可用于证明下列事实：拉格朗日定理可用于证明下列事实：（1 1）有限群有限群中任何元素的阶均为中任何元素的阶均为G的阶的因子。的阶的因子。设设a为为G中任一元素，中任一元素，a的阶为的阶为r。那么。那么 必必 为为G的的r阶
29、子群，因此阶子群，因此r整除整除G。观察。观察,可以发现元素的可以发现元素的 阶是阶是1、2或或4，都是，都是D4的阶的阶8的因子。的因子。（2 2）质数阶的群没有非平凡子群。质数阶的群没有非平凡子群。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理定义定义定义定义12.912.9 设设为群为群的子群。定义的子群。定义G上上H的的左左左左(右右右右)陪集等价陪集等价陪集等价陪集等价 关系关系关系关系。对任意。对任意a,b G ab当且仅当当且仅当a，b在在H的同一左（右）陪集中的同一左（右）陪集中定理定理定
30、理定理12.1712.17 设为群设为群G上上H的左（右）陪集等价关系，那么的左（右）陪集等价关系，那么 ab当且仅当当且仅当 a-1 b H证证证证 设设ab，则有，则有g G，使，使a，b gH，因而有因而有hl,h2 H，使得，使得a=g h1，bg h2。于是于是 a-1 b=(g h1)-1(g h2)=h1-1 h2 H 反之，设反之，设a-1 b H，即有，即有h H 使使a-1 b=h。因而。因而b=a h aH。而而a aH显然，故显然，故a，b在同一左陪集在同一左陪集aH中，中，ab真。真。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.
31、3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理定义定义定义定义12.1012.10 设设为群为群的子群，如果对任一的子群，如果对任一g G,gHHg,则称则称H为为正规子群正规子群正规子群正规子群。定理定理定理定理12.1812.18 设设为群为群的正规子群，那么的正规子群，那么H的左的左(右右)陪集陪集等等 价关系为价关系为上的同余关系。上的同余关系。证证证证 只须证：对任意只须证：对任意a,b,c G ab蕴涵蕴涵a cb c,c ac b 设设ab，那么，那么a-1 b H，从而有，从而有h H使使h=a-1 b，或，或b=a h。又由于又由于aH=Ha，故有，故有h1 H，使，使
32、b=h1 a。同时因同时因(a c)H=H(a c)，于是有，于是有h2 H使使b c=h1(a c)=(a c)h2，进而进而 (a c)-1(b c)=h2 H。因此。因此a cb c。同理可证同理可证c ac b。为为上的同余关系得证。上的同余关系得证。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理 据定义据定义11.13，可作出群，可作出群G的商代数的商代数。由于为正规。由于为正规子群子群H导出的等价关系，有时它也被记为导出的等价关系，有时它也被记为，其中，其中 G/H=G/=gH g G(或或H
33、g g G)运算定义如下运算定义如下:对任意对任意g1,g2 G，g1 g2=g1 g2，亦即，亦即 g1H g2H=(g1 g2)H 或或 Hg1 Hg2=H(g1 g2)定理定理定理定理12.1912.19 群群G的上述商代数结构的上述商代数结构为一群。为一群。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理例例例例12.612.6 H=0,3时，时，为群为群的正规子群。由于它们都的正规子群。由于它们都 是加群，我们把左右陪集分别表示为是加群，我们把左右陪集分别表示为a+H，H+a。于是。于是H 有左右
34、陪集如下有左右陪集如下 0+H=H+0=H:0,3(=3+H=H+3)1+H=H+1 :1,4(=4+H=H+4)2+H=H+2 :2,5(=5+H=H+5)有商群有商群，而而 (a+H)(b+H)=(a+b)+H。例如例如 1,4 2,5=(1+H)(2+H)=3+H=0,3 12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理定理定理定理定理12.1912.19 设设h为群为群到群到群的同态映射的同态映射,则则h(e1)=e2。证证证证 因为因为h(e1)=h(e1 1e1)=h(e1)2h(e1)，所以，
35、所以h(e1)=e2。定理定理定理定理12.2012.20 设设h为群为群到群到群的同态映射，那么的同态映射，那么h的核的核K(h)构成构成的正规子群。的正规子群。(为简明计，以下用为简明计，以下用K表示表示K(h)证证证证 根据定理根据定理11.8及上述定理及上述定理12.19，可证，可证为为的子群。的子群。现对任一现对任一g G，要证明，要证明gK=Kg。为此，设为此，设x gK，那么有，那么有k K，使得，使得x=g 1k。考虑到。考虑到 h(g 1k 1g-1)=h(g)2 e2 2 h(g-1)=e2 故故g 1k 1g-1 K。令。令g 1k 1g-1=k，于是，于是 k 1g=g
36、 1k=x,x Kg gK Kg得证。同理可证得证。同理可证Kg gK。因此。因此gK=Kg证毕。证毕。12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理子群、陪集和拉格朗日定理定理定理定理定理12.2112.21 设设h为群为群到群到群的同态映射，的同态映射，K=K(h)，那么商群，那么商群 与同态像与同态像同构。同构。例例例例12.712.7 设设h为群为群到群到群的同态映射，使得的同态映射，使得 h(x)=2x(mod3)即即 h(0)=h(3)=0，h(1)=h(4)=2，h(2)=h(5)=1 于是于是K=K(h)=0,3
37、，为为的正规子群。的正规子群。正如例正如例12.6指出的那样，指出的那样，=，它同构于它同构于，同构映射，同构映射 i:N6/KN3满足满足 i(0,3)=0，i(2,5)=1,i(1,4)=2 12.2 群群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.1 循环群循环群定义定义定义定义12.1112.11 称称为为循环群循环群循环群循环群，如果，如果 G为群，且为群，且G中存在元素中存在元素g，使使 G以以g为生成集，即为生成集，即G的任何元素都可表示为的任何元素都可表示为g的整的整 数指数幂（约定数指数幂（约定e=g0）。这时）。这时g称为循环群称为循环群G的的生成
38、元生成元。例例例例12.812.8 （1 1）为循坏群，为循坏群，1（或（或l）为其生成元）为其生成元。（2 2）令令A=2i i I，那么，那么(为数乘为数乘)是循环群，是循环群，2是生成元。是生成元。（3 3）为循环群，为循环群，1，2，3，4都可以是生成元。都可以是生成元。12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.1 循环群循环群定理定理定理定理12.2212.22 设设为循环群，为循环群，g为生成元，那么为生成元，那么 （1 1）G为阿贝尔群。为阿贝尔群。（2 2）G的的h同态像是以同态像是以 h(g)为生成元的循环群。
39、为生成元的循环群。（3 3）G为无限循环群时必同构于为无限循环群时必同构于。（4 4）G为有限循环群时，必有为有限循环群时，必有 G=e,g,g2,gn-1 其中其中n=G，也是，也是g的阶。从而的阶。从而n阶循环群必同构于阶循环群必同构于。12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.1 循环群循环群定理定理定理定理 12.2312.23 循环群的子群都是循环群。循环群的子群都是循环群。证证证证 设设为为g生成的循环群，生成的循环群，为其子群。为其子群。H中元素均可表示为中元素均可表示为gr形。形。（1）若）若He，显然，显然H为
40、循环群。为循环群。（2）若）若H e，那么，那么H中有中有gi(i 0)。由于。由于H为子群，为子群，H中必还有中必还有g-i。因此，。因此，不失一般性，可设不失一般性，可设i为正整数，并且它是为正整数，并且它是H中元素的最小正整数指数。中元素的最小正整数指数。现证现证H为为gi生成的循环群。生成的循环群。设设gj为为H中任一元素。令中任一元素。令jmi+r，其中，其中m为为i除除j的商，的商，r为剩余，为剩余，0rI。于是。于是,gj=gmi+rgmi gr,gr=g-mi gj。由于。由于gj,g-mi H，（因（因gmi H），故），故gr H，根据，根据i的最小性，的最小性，r0，从而
41、，从而 gj=gmi=(gi)m，H为循环群，证毕。为循环群，证毕。12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.1 循环群循环群定理定理定理定理12.2412.24 设设为为g生成的循环群。生成的循环群。（1 1）若若G为无限群，则为无限群，则G有无限多个子群，它们分别由有无限多个子群，它们分别由g0,g1,g2,g3,生成。生成。（2 2）若若G为有限群，为有限群，G n，且，且n有因子有因子k1,k2,k3,kr，那么，那么 G有有r个循环子群，它们分别由个循环子群，它们分别由gk1,gk2,gk3,gkr生成。生成。（注意这
42、（注意这r个子群中可能有相同者。）个子群中可能有相同者。）12.3 循环群和置换群循环群和置换群 例例例例12.912.9（1 1）有循环子群：有循环子群：，,（2 2）有循环子群：有循环子群：，离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.2 置换群置换群 当当A=1,2,3 时时,A上有上有6个置换：个置换：12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.2 置换群置换群定义定义定义定义12.1212.12 将将n个元素的集合个元素的集合A上的置换全体记为上的置换全体记为S，那么称群，那么称群 为为n n次对
43、称群次对称群次对称群次对称群，它的子群又称为，它的子群又称为n n次置换群次置换群次置换群次置换群。例例例例 12.1112.11 令令A1,2,3，那么那么S3=pi i=1,2,3,4,5,6,(pi如例如例12.10给定给定)。其中其中 p1为幺置换，为幺置换，p2-1p2，p3-1p3，p4-1p4，p5-1p6，p6-1p5 为三次对称群。为三次对称群。12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.2 置换群置换群设正三角形的三个顶点由设正三角形的三个顶点由1，2，3所标记（如图所示）。考虑所标记（如图所示）。考虑以三角形
44、中心以三角形中心o为轴的旋转为轴的旋转0,1,2,（旋转（旋转0，旋转，旋转120，旋，旋转转240），以及以直线），以及以直线l1,l2,l3的翻转（的翻转（3,4,5）。显然，每次）。显然，每次旋转和翻转都对应于三角形顶点的一个置换。旋转和翻转都对应于三角形顶点的一个置换。不难看出不难看出 0,1,2,3,4,5,构成一群（其中构成一群（其中为旋转或翻转操作的合成），同构于为旋转或翻转操作的合成），同构于。12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.2 置换群置换群定义定义定义定义12.1312.13 任意集合上的双射函数称为
45、任意集合上的双射函数称为变换变换变换变换。定义定义定义定义12.1412.14 对任意集合对任意集合A定义集合定义集合S S=f f AAf为双射为双射 那么群那么群及其子群称为及其子群称为变换群变换群变换群变换群，其中，其中为函数为函数 的合成运算。的合成运算。定理定理定理定理12.2512.25 每个群均同构于一个变换群，特别地，每一个有每个群均同构于一个变换群，特别地，每一个有 限群均同构于一个置换群。限群均同构于一个置换群。12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.3 置换群的应用置换群的应用 定义定义12.15 设设g
46、是是Nn+=1,2,n上的上的n元置换，如果元置换，如果g(i1)=i2,g(i2)=i3,.,g(ik-1)=ik,g(ik)=i1，且且Nn+中其它元素保持不变，则称中其它元素保持不变，则称g是是N上的上的k阶轮换，记做阶轮换，记做(i1 i2.ik)。不难理解，对不难理解，对Nn+上的任意置换上的任意置换g，一定存在一个有限序列，一定存在一个有限序列i1,i2,.,ik，k1，使，使得得g(i1)=i2,g(i2)=i3,.,g(ik-1)=ik,g(ik)=i1，记为，记为g1。那么可将。那么可将g写成写成g1g，g作用于作用于Nn+i1,i2,.,ik。继续对。继续对g进行类似分解，
47、经过有限步，得到进行类似分解，经过有限步，得到g的的轮换分解式：轮换分解式：g=g1.gt=(i1.ik1).(j1.jkt)=(i1.ik1).(j1.jkt)（省略合成运算符）（省略合成运算符）。分解式中任何两个轮换都作用于不同的元素上。置换分解式中任何两个轮换都作用于不同的元素上。置换g的轮的轮换换个数个数c(g)就是就是置换的轮置换的轮换换表达式中轮换的个数。如果分解式中表达式中轮换的个数。如果分解式中gi表示形式是表示形式是(a)，即，即gi(a)=a，那么轮换表达式可以省略，那么轮换表达式可以省略gi不写。在第不写。在第7章里我们用章里我们用i表示么置换，表示么置换，即恒等置换，据
48、定义即恒等置换，据定义12.15，在在Nn+=1,2,n上的上的恒等置换可记为恒等置换可记为(1)(2)(n)，又简记为，又简记为(1)。12.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.3 置换群的应用置换群的应用例例例例12.1312.13 群中，群中，D4中每个元素的轮转表达式和轮转个数。中每个元素的轮转表达式和轮转个数。，p1=(1)(2)(3)(4)=(1)，c(p1)=4 ，p2=(1234)，c(p2)=1 ，p3=(13)(24)，c(p3)=212.3 循环群和置换群循环群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章
49、群、环、域群、环、域 12.3.3 置换群的应用置换群的应用定义定义定义定义12.1612.16 设设g是是Nn+=1,2,n上的上的n元置换，如果元置换，如果g(a)=a，则，则 称称a是是g上的不动点。令上的不动点。令(g)是置换是置换g上不动点的数目。上不动点的数目。例例例例12.1412.14 N5+=1,2,3,4,5，G是是N5+上置换的集合：上置换的集合：(1),(12),(345),(354),(12)(345),(12)(354)，那么，那么，(1)=5,(12)=3,(345)=2,(354)=2,(12)(345)=0,(12)(354)=0 12.3 循环群和置换群循环
50、群和置换群 离散数学离散数学 第第1212章章 群、环、域群、环、域 12.3.3 置换群的应用置换群的应用定义定义定义定义12.1612.16 设设G是是Nn+=1,2,n上的上的n元置换群，元置换群，a Nn+，令，令 Oa=g(a)|g G，那么称，那么称Oa是是a在在G作用下的作用下的轨道轨道轨道轨道。a称为此称为此 轨道的轨道的代表元代表元代表元代表元，所有轨道组成的集合记为，所有轨道组成的集合记为O。定义定义定义定义12.1712.17 设设G是是Nn+=1,2,n上的上的n元置换群，元置换群，a N，令，令 Ga=g|g G且且g(a)=a，那么称，那么称Ga是是a的的不动置换集