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1、第4讲数列的求和,1.掌握等差数列、等比数列的求和公式.2.了解一般数列求和的几种方法.,数列求和,B,A,3.若数列an满足a11，an12an(nN*)，则a5_，,前8项的和S8_(用数字作答).,10，则项数n_.,16,255,120,考点1,公式或分组法求和,例1：(2018年天津)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN*).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值.,(2)由(1)，知T1T2Tn(21222n)n2n1n2.,整理，得
2、n23n40.解得n1(舍)，或n4.所以n的值为4.【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并.,【互动探究】,9,考点2,裂项相消法求和,例2：(2017年新课标)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；,解：(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减，得(2n1)an2.,又因题设可得a12，满足上式，,【规律方法】常见的裂项公式：,【互动探究】2.(2018年天津)设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(nN*)，bn是等差数列.已知
3、a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.,(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*)，求Tn；,(1)解：设等比数列an的公比为q.由a11，a3a22，,可得q2q20.,因为q0，可得q2，故an2n1.设等差数列bn的公差为d，由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16，从而b11，d1，故bnn.所以数列an的通项公式为an2n1，数列bn的通项公式为bnn.,考点3,错位相减法求和,例3：(2018年浙江)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项.数列bn满足b11，数列(bn1b
4、n)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；(2)求数列bn的通项公式.,解：(1)由a42是a3，a5的等差中项，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428.解得a48.,因为q1，所以q2.(2)设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.,【规律方法】(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.,【互动探究】,3.(2014年新课标)已知an是递增的等差数列，a2，a4是,方程x25x60的根.(1)求an的通项公式；,思想与方法放缩法在数列中的应用例题：已知数列an的前n项和为Sn，a12,3Snan12.(1)求数列an的通项公式；,(1)解：由题设3Snan12，当n2时，3Sn1an2，,两式相减，得3anan1an，即an14an.又a12,3a1a22，可得a28，a24a1.数列an构成首项为2，公比为4的等比数列.an24n122n1.,【互动探究】,