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1、专题11 相似形必考点1 比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：bm：n（或） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外项。 5、比例内项：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们把b叫做
2、a和d的比例中项。 8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 9、比例的基本性质：如果a：bc：d那么adbc逆命题也成立，即如果adbc，那么a：bc：d 10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。 11、合比性质：如果，那么 12等比性质：如果，（），那么 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。 13、黄金分割把一条线段分成两
3、条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。 说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的倍得到点C，则点C就是AB的黄金分割点。【典例1】（2019四川中考真题）若，且，则的值是（）A4B2C20D14【答案】A【解析】解：由a：b3：4知，所以所以由得到：，解得所以所以故选：A【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积若，则【举一反三】1（2019安徽初三月考）若，则的值为（）A1BCD【答案】D【解析】，=，故选D2（2019河南初三期末）已知（a0，b0），下列变形错误的是（）AB2a=3bCD3a=2b【答案】
4、B【解析】解：由得，3a=2b，A、由等式性质可得：3a=2b，正确；B、由等式性质可得2a=3b，错误；C、由等式性质可得：3a=2b，正确；D、由等式性质可得：3a=2b，正确；故选B【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积3（2019河南初三期中）已知，则的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】，设出b=5k，得出a=13k，把a，b的值代入，得，故选D必考点2 平行线分线段成比例 1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。说明：平行线等
5、分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。3平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。 4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【典例2】（2019青海中考真题）如图，直线与这三条平行线分别交于点和点已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（）ABCD【答案】B【解析】解：，即，故选：【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【举一反三】1（2019四川中考真题）如图，在中，则的长为（）A6B7C8D
6、9【答案】C【解析】，即，故选：C【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE2（2019广西中考真题）如图，在中，分别是边上的点，若，则等于（）A5B6C7D8【答案】B【解析】解：， ，即，解得：，故选B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键3.（2019四川中考真题）如图，在中，D在AC边上，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ）A1：2B1：3C1：4D2：3【答案】B【解析】解：如图，过O作，交AC于G，O是BD的中点，G是DC的中点又，设，又，故选：B【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大
7、，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式必考点3 相似三角形 1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。 2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。 4、三角形相似的判定定理： （1
8、）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 （2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 说明：以上四个判定定理
9、不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。 5、相似三角形的性质： （1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 （2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。 说明：以上两个
10、性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。 （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。【典例3】（2019山东中考真题）如图，在中，为边上的一点，且若的面积为，则的面积为（）ABCD【答案】C【解析】【详解】，即，解得，的面积为，的面积为：，故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.【举一反三】1（2019四川中考真题）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）ABCD【答案】B【解析】解：因为中有一个角是135，选项
11、中，有135角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型2（2019四川中考真题）如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则（ ）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解析】解：设，四边形ABCD是平行四边形，点F是BC的中点，故选：D【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键3（2019海南中考真题）如图，在中，点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为
12、（）ABCD【答案】B【解析】解：，又，即，解得，故选B【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键1（2019内蒙古中考真题）如图，分别是边上的点，若，则的长是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】解：，即，解得， ，故选：C【点睛】本题考查分线段成比例定理，熟练掌握运算法则是解题关键2（2019太原市志达中学校初三月考）若，则的值为（ ）A2BCD9【答案】C【解析】设a2=b3=c4=k(k0)，则a=2k，b=3k，c=4k，原式=2k+3k-4k2k=12，故选：C.【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便3（2019广西
13、中考真题）如图，在中，点，分别在，边上，若，则线段的长为（）ABCD5【答案】C【解析】解：设，设，故选C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型.4（2019广西中考真题）如图，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）A3对B5对C6对D8对【答案】C图中三角形有：，共有6个组合分别为：，故选：C【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.5（2019黑龙江中考真题）如图，在平行四边形中，点在对角线上，交于点，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）.ABCD【答案】D【解析】解：在中，易证四边形为平行四边形易
14、证，A项错误，B项错误，C项错误，D项正确故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练运用两者性质确定线段比例关系是解题的关键.6（2019湖北中考模拟）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A（5，1）B（4，3）C（3，4）D（1，5）【答案】C【解析】以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又A（6，8），端点C的坐标为（3，4）故选
15、C点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键7（2019辽宁中考真题）如图，点P（8，6）在ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将ABC缩小到原来的，得到ABC，点P在AC上的对应点P的的坐标为（）A（4，3）B（3，4）C（5，3）D（4，4）【答案】A【解析】点P（8，6）在ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将ABC缩小到原来的，得到ABC，点P在AC上的对应点P的的坐标为：（4，3）故选：A【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键8（2019西藏中考真题）如图，在中，分别为边上的中点，则与的面积之比
16、是（）ABCD【答案】A【解析】由题意可知：是的中位线，故选：A【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型9（2019河南初三期中）如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】解：AFBF，AFB=90，AB=10，D为AB中点，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，即，解得：DE=8，EF=DE-DF=3，故选B【点睛】本题主要考查直角三角形的
17、性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键10（2019江苏中考模拟）如图，ABC中，D为BC上一点，BADC，AB6，BD4，则CD的长为_【答案】5【解析】解：BAD=C，B=B，BADBCA，AB=6，BD=4，BC=9，CD=BC-BD=9-4=5【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.11（2019广西中考真题）如图，以点为位似中心，将放大后得到，则_【答案】【解析】解：以点为位似中心，将放大后得到，故答案为：【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键12（2016江苏中考真题）如图，ABC
18、中，D、E分别在AB、AC上，DEBC，AD：AB=1：3，则ADE与ABC的面积之比为_【答案】1：9【解析】由DEBC，可得ADEABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得SADE：SABC=（AD：AB）2=1：9.考点：相似三角形的性质.13（2019辽宁中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，以点为位似中心，相们比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为_【答案】或【解析】解：以点为位似中心，相似比为，把缩小，点的坐标是则点的对应点的坐标为或，即或，故答案为：或【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键.14（2019内蒙古中考真题）已知三个边长分别为2
19、，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_【答案】【解析】解：如图，对角线所分得的三个三角形相似，根据相似的性质可知，解得，即阴影梯形的上底就是（）再根据相似的性质可知，解得：，所以梯形的下底就是，所以阴影梯形的面积是故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例15（2019四川初三）已知，且，则的值为_【答案】12【解析】，设a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12故答案为12点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键16（2019四川中考模拟）如图，已知ABCD，若，则=_【答案】【解析
20、】ABCD，AOBCOD，故答案为【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键17（2019青海中考真题）如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压_.【答案】【解析】解：如图；都与水平线垂直，即；易知：；，杠杆的动力臂与阻力臂之比为，即；当时，；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键