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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 圆的综合（一）知识图谱错题回顾顾题回顾圆的综合（一）知识精讲一 圆与函数1垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧2切线的性质性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心注意事项：这个定理共有三个条件，
2、即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心3切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线二 圆的新定义所谓“圆的新定义问题”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已学的圆的知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. “新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点. 在复习中应重视学生应用新的
3、知识解决问题的能力.三点剖析一 考点：圆与函数，圆的新定义二重难点：圆与函数，圆的新定义三易错点：1圆与一次函数：圆与一次函数的结合主要考虑到相切的情况求取值范围，利用垂径定理或者切线的性质和定理进行求解；2圆与二次函数：圆与二次函数基本上结合了二次函数和圆的性质，需要借助图像来进行分析；3圆与反比例函数：圆与反比例函数出现的较少，要注意到反比例函数的对称性，再结合圆的条件来进行分析解答圆与函数题模精讲题模一：圆与函数例1.1.1如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）（1）求P与直线x=2相切时点P的坐标（2）请直接写出P与直线x=2相交、相离时x的
4、取值范围例1.1.2如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角AOB=90，点C是上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且CPD=CDE（1）求证：DM=r；（2）求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；（3）设y=CD2+3CM2，当CPO=60时，请求出y关于r的函数关系式例1.1.3如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点（1）求出A，B两点的坐标；（2）有一开口向下的抛物线y=a（x-h）2+k经过点A，B，且其顶点在C上试确定此抛物线的表达式例1.1.4
5、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A（0，2）（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1x2）两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标题模二：圆与新定义例1.2.1我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，A
6、B为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点CyCMAO B xD第25题图（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标例1.2.2在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P（x+y，xy）（1）如图1，如果O的半径为2，请你判断M（2，0），N（2，1）两个点的变换点与O的位置关系；若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P在O的内，求点P横坐标的取值范围（2）如图2，如果O的半径为1，且P的变换点P在直线y=2x+6
7、上，求点P与O上任意一点距离的最小值例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r（r1），P是圆内与圆心C不重合的点，C的“完美点”的定义如下：若直线CP与C交于点A，B，满足|PAPB|=2，则称点P为C的“完美点”，如图为C及其“完美点”P的示意图（1）当O的半径为2时，在点M（，0），N（0，1），T（，）中，O的“完美点”是_；若O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；（2）C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围随堂练习随练1.1在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3
8、的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB（1）当OCAB时，BOC的度数为_；（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接AD，当OCAD时，求出点C的坐标；直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由随练1.2如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D（1）求直线l的解析式；（2）将O2以每秒1个单位的速度沿
9、x轴向左平移，当O2第一次与O1外切时，求O2平移的时间随练1.3如图，O是O为圆心，半径为的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点（1）若OA=OB求k；若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作O的两条切线，切点分别为C、D，若CPD=90，求点P的坐标；（2）若k=-，且直线y=kx+b分O的圆周为1：2两部分，求b随练1.4如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+
10、CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式随练1.5在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作M使M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM点P是上的动点（1）写出AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OPOQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E当动点P与点B重合时，求点E的坐标；连接QD，设点Q的纵坐标为t，QOD的面积为S求S与t的函数关系式及S的取值范围随练1.6对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上
11、若存在两点M，N，使PMN为正三角形，则称图形G为点P的型线，点P为图形G的型点，PMN为图形G关于点P的型三角形（1）如图1，已知点，以原点O为圆心的O的半径为1在A，B两点中，O的型点是_，画出并回答O关于该型点的型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点，点（其中m0）若线段EF为原点O的型线，且线段EF关于原点O的型三角形的面积为，求m的值；（3）若是抛物线的型点，直接写出n的取值范围随练1.7在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P，满足CP+CP=2r，则称P为点P关于C的反称点，如图为点P及其关于C
12、的反称点P的示意图特别地，当点P与圆心C重合时，规定CP=0（1）当O的半径为1时分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点P在直线y=x+2上，若点P关于O的反称点P存在，且点P不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于C的反称点P在C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围随练1.8定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角
13、坐标系中四点（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 ；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为 ；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MHx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由自我总结 课后作业作业1定义：如图1所示，给定线段及其垂直平分线上一点
14、，若以点为圆心， 为半径的优弧（或半圆弧）上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点为线段的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点为线段的“强三足点”。问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点的坐标为，点在射线 上。在点和中，可以成为线段的“三足点”的是_；若第一象限内存在一点既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点的坐标。在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，假设该圆与轴交点中右侧一个为，圆上一动点从出发，绕点顺时针旋转后停止，设点出发后转过的角度为()，若线段与不存在公共的 “ 三足点 ” ，请直接写出的取值范围作业2如图1，在平面直角坐标系xOy中，点
15、M在x轴的正半轴上，M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（2，0），AE=8（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MGBC；（3）如图2，过点D作M的切线，交x轴于点P动点F在M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律作业3如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B（1）求证：线段AB为P的直径；（2）求AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与
16、坐标轴分别交于点C、D求证：DOOC=BOOA作业4如图，抛物线y=ax22ax+c过坐标系原点及点B（4，4），交x轴的另一个点为A（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C，使得SABO=SCBO，求出点C的坐标；（3）连结BO交对称轴于点D，以半径为作D，抛物线上一动点P，过P作圆的切线交圆于点Q，使得PQ最小的点P有几个？并求出PQ的最小值作业5如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x21的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的
17、圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数作业6如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+c（a0）的图像的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，OC=3OA（1）求这个二次函数的表达式；（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线
18、交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度作业7如图，在平面直角坐标系xOy中，C的圆心坐标为，半径为函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB上一动点（1）若POA是等腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点P的坐标；（2）当直线PO与C相切时，求的度数（3）当直线PO与C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围yOBADADxC作业8已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（-2，0），（2，0）（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点
19、为A、B，与原抛物线的交点为P当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由作业9概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知，是平面直角坐标系中四点（1）根据上述概念，当，时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_；当，时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为_；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段B
20、C的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为，作MNx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由作业10对于半径为r的P及一个正方形给出如下定义：若P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称P是该正方形的“等距圆”如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为，顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧（1）当时，在，中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是；若点P在直线上，且P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为，顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方若P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求P在y轴上截得的弦长；将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是yxABCODyxABCODHGFE图1图214