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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 圆的综合（二）知识图谱错题回顾顾题回顾圆的综合（二）知识精讲一 圆的综合证明与计算垂径定理1定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2推论： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧圆周角1圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：
2、半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径圆内接四边形的性质性质1：圆内接四边形的对角互补性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论: 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆切线的性质1性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点： 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2注意事项：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心 过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则 过圆心，垂直于切线过切点过圆心，
3、则过切点 过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心切线的判定1. 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2. 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；3. 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线弦切角定理弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角相交弦定理：在中，弦与交与点，则有三点剖析一 考点：圆的综合计算与证明二重难点：圆的综合计算与证明三易错点：1计算线段长度时，多数考虑到垂径定理和勾股定理的使用；2切线的性质定理属于圆中常考知识点，牵涉到切线部分一定要连接切点和圆心构造垂线圆的综合计算和证明题模精
4、讲题模一：圆的综合证明与计算例1.1.1如图，点P为O上一点，弦AB=cm，PC是APB的平分线，BAC=30（）求O的半径；（）当PAC等于多少时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？（直接写出答案）例1.1.2如图，AD是O的直径（1）如图，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则B1的度数是_，B2的度数是_；（2）如图，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求B1，B2，B3的度数；（3）如图，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示Bn的度数（只需直接写出答案）例1.1.3如图，已知等腰
5、梯形ABCD的周长为48，面积为S，ABCD，ADC=60，设AB=3x（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求O的半径R的值例1.1.4如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长例1.1.5阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹例如：角的平
6、分线是到角的两边距离相等的点的轨迹问题：如图1，已知EF为ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点理由：线段EF为ABC的中位线，EFBC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点由此你得到动点P的运动轨迹是：_知识应用：如图2，已知EF为等边ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边APC和等边PBD，连结AD、BC，交点为Q（1）求AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长例1.1.
7、6如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CEAB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作CDEF（1）当0m8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值随堂练习随练1.1已知，ADB内接于O，DGAB于点G，交O于点C，点E是O上一点，连接AE分别交CD、BD于点H、F（1）如图1，当AE经过圆心
8、O时，求证：AHG=ADB；（2）如图2，当AE不经过点O时，连接BC、BH，若GBC=HBG时，求证：HF=EF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若AB=8，DH=6，求sinDAE的值随练1.2操作与探究我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理（提示：考虑与180之间的关系）由上面的探究，试归纳出判定过四
9、边形的四个顶点能作一个圆的条件随练1.3小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角ABC中，AD、BE、CF分别为ABC的高，求证：小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径做半O，则点F、E在O上，所以（1）请回答：若，则AEF的度数是_（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角ABC中，AD、BE、CF分别为ABC的高，求证：图1 图2 图3随练1.4阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BCAB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程证明：如图2，
10、在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MGM是的中点，MA=MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边ABC内接于O，AB=2，D为上 一点，ABD=45，AEBD于点E，则BDC的周长是_随练1.5先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等如图，点A、B、C、D均为O上的点，则有C=D小明还发现，若点E在O外，且与点D在直线AB同侧，则有DE请你参考小明得出的结论，解答下列问题：（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的
11、坐标为（3，0）在图1中作出ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；若在x轴的正半轴上有一点D，且ACB=ADB，则点D的坐标为_；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中mn0点P为x轴正半轴上的一个动点，当APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标随练1.6已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在O上（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都
12、在AB上方时（如图3），过C点作CD直线AP于D，且CD是O的切线，证明：AB=4PD随练1.7四边形ABCD是O的内接正方形，AD=8，EB、EC是O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC求E的度数；求CE的长度；（2）如图2，当点P在AB上，且APAB时，过点P作FPDP于点P，交BE于点F，连接DF试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；若，求DP的长度随练1.8如图，在RtABC中，ABC=90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，O是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接
13、BD、FH（1）试判断BD与O的位置关系，并说明理由；（2）当AB=BE=1时，求O的面积；（3）在（2）的条件下，求HGHB的值随练1.9如图，正方形ABCD中，以BC为直径作半圆，BC=2cm现有两动点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/秒的速度向点A运动，点F沿折线ADC以2cm/秒的速度向点C运动当点E到达A点时，E、F同时停止运动，设点E运动时间为t（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？（2）设1t2，当t为何值时，EF与半圆相切？（3）如图2，将图形放在直角坐标系中，当1t2时，设EF与AC相交于点P，双曲线经过点P，并且与边AB交于点H，求出双曲线的函数关
14、系式，并直接写出的值随练1.10数学活动旋转变换（1）如图，在ABC中，ABC=130，将ABC绕点C逆时针旋转50得到ABC，连接BB，求ABB的大小；（2）如图，在ABC中，ABC=150，AB=3，BC=5，将ABC绕点C逆时针旋转60得到ABC，连接BB，以A为圆心，AB长为半径作圆（）猜想：直线BB与A的位置关系，并证明你的结论；（）连接AB，求线段AB的长度；（3）如图，在ABC中，ABC=（90180），AB=m，BC=n，将ABC绕点C逆时针旋转2角度（02180）得到ABC，连接AB和BB，以A为圆心，AB长为半径作圆，问：角与角满足什么条件时，直线BB与A相切，请说明理由，
15、并求此条件下线段AB的长度（结果用角或角的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）随练1.11已知点M是锐角ABC的外心，线段AM的延长线交边BC于点N，O经过点A、M，分别交AB、AC于点D、E（1）如图1，当线段AM为O的直径时，求证：DEBC；若AD=AE，BAC=60，连接DN，求证：直线DN是O的切线；若AD=AE，BAC=45，BC=2a，用含a的式子表示AD2；（2）如图2，连MD、ME，若ABC是等边三角形，且四边形ADME的面积为3，试求AB的长自我总结 课后作业作业1如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于
16、点C（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围作业2已知O1与O2相交于A、B两点，点O1在O2上，C为O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与O1交于另一点D（1）如图（1），若AD是O1的直径，AC是O2的直径，求证：AC=CD；（2）如图（2），若C是O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？作业3已知：如图1，点A在半圆O上运动（不与半圆的两个端点重合），以AC为对角线作矩形ABCD，使点D落
17、在直径CE上，CE=8将ADC沿AC折叠，得到ADC（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）如图2，当AB与CD的交点F恰好在半圆O上时，连接OA求证：四边形AOCF是菱形；求四边形AOCF的面积作业4如图，BC是O的直径，点A在O上，ADBC，垂足为D，弧AE等于弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G（1）判断FAG的形状，并说明理由；（2）若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由作业5如图，在ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，ADBC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动
18、，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）（1）求x为何值时，PQAC；（2）设PQD的面积为y（cm2），当0x2时，求y与x的函数关系式；（3）当0x2时，求证：AD平分PQD的面积；（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）作业6ABC为等边三角形，边长为a，DFAB，EFAC，（1）求证：BDFCEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tanEDF=，求此圆直径作业7如图，
19、在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQBD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0t）（1）如图1，连接DQ平分BDC时，t的值为1；（2）如图2，连接CM，若CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）在运动过程中，当直线MN与O相切时，求t的值作业8如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运
20、动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求ABC的面积（图1）；（2）设AOB=，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AOPM于点N，求CM的长度（图3）作业9如图，A（5，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CDAB，CDA=90点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP=15时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABC
21、D的边（或边所在的直线）相切时，求t的值作业10如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设MOP=当=_度时，点P到CD的距离最小，最小值为_探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角BMO=_度，此时点N到CD的距离是_探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转（1）如图3，当=60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围（参考数椐：sin49=，cos41=，tan37=）14