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1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 问题问题1 1 如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个上修建一个泵站，分别向泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P 可使输气管线最短可使输气管线最短1 1、两点之间，线、两点之间，线段最短。段最短。2 2、三角形两边之、三角形两边之和大于第三边和大于第三边问题问题2牧马人从牧马人从A A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l l饮饮马，然后到马，然后到B
2、B地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走过的路径最短？走过的路径最短？探索新知探索新知BAlBAlC当当C C点在直线点在直线l l的什么位置时，的什么位置时，AC+CBAC+CB的和最小的和最小？联想问题联想问题1 1的解决方法的解决方法BAlClCBA思考：思考： 能把能把A、B两点转化到直线两点转化到直线l的异侧吗？的异侧吗？BAlC分析：分析：1、做点、做点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B ，连接，连接CB B 2、AC+CB=AC+CB ，如果，如果AC+CB 的和最小，的和最小，那么那么AC+CB的和就最小的和就最小作法：作法：（1）作点）
3、作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlABC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，B
4、C 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC证明：证明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点
5、的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC运用新知运用新知练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往
6、山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥运用新知运用新知基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥