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1、补高等数学：补高等数学： 矢量（向量）代数矢量（向量）代数（同济大学（同济大学高等数学高等数学第五版第五版 第第7章第一、二节）章第一、二节）一、矢量（向量）的概念及其表示一、矢量（向量）的概念及其表示 1.标量与矢量（向量）标量与矢量（向量） 代数量：代数量：有大小和正负（温度、时刻、电流、有大小和正负（温度、时刻、电流、 功、势能功、势能 ）既有大小又有方向（力、速度、加速度、既有大小又有方向（力、速度、加速度、 力矩、动量力矩、动量 ）标量标量算术量算术量（质量、时间间隔、动能（质量、时间间隔、动能）矢量：矢量：2.2.矢量的表示矢量的表示（1）图示：）图示：有（方）向线段：有（方）向线
2、段：AB长度是矢量的大小长度是矢量的大小箭头方向是矢量的方向箭头方向是矢量的方向（3）矢量的平行：）矢量的平行：a / b（箭头指向可相同或相反）（箭头指向可相同或相反）AB（1）（3）（4）矢量的相等：）矢量的相等： 大小、方向（含指向）都相同大小、方向（含指向）都相同所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。ba（2）符号：）符号：粗（黑）体或加箭头：粗（黑）体或加箭头：a，b或或ba,（5）负矢量：）负矢量：-a（与（与a大小相同、方向（指向）相反）大小相同、方向（指向）相反）（4）（5）3.矢量的模：矢量的模：4.单位矢
3、量：单位矢量： ，仅用来表示方向。，仅用来表示方向。 所以：所以：kajaiaazyxaa或0rr0r0rrr注：空间直角坐标系注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的轴的单位矢量分别为单位矢量分别为kji,5.矢量的坐标分解式（分量式）矢量的坐标分解式（分量式）矢径（向径：从原点出发的矢量）矢径（向径：从原点出发的矢量）rxiy jzkijk一般地一般地：其中，其中，ax、ay、az或或x、y、z分别称为矢量在分别称为矢量在X、Y、Z轴轴上的上的分量分量或或投影投影。而。而注意：分量是代数量（可正可负）注意：分量是代数量（可正可负）！恒为正恒为正所以，矢径或其末端的点所以，矢径或其末端的点P都可以都
4、可以用三个坐标用三个坐标（x，y，z）来表示来表示.kajaiazyx,则称则称分矢量（分向量）分矢量（分向量）由由 若若P点（或矢径点（或矢径 ）在）在YOZ平面上，则平面上，则 x=0； 若若P点（或矢径点（或矢径 ）在）在ZOX平面上，则平面上，则 y=0； 若若P点（或矢径点（或矢径 ）在）在XOY平面上，则平面上，则 z=0。 若若P点（或矢径点（或矢径 ）在）在 x 轴上，则轴上，则 y=z=0； 若若P点（或矢径点（或矢径 ）在）在 y 轴上，则轴上，则 x=z=0； 若若P点（或矢径点（或矢径 ）在）在 z 轴上，则轴上，则 x=y=0。 若若P点为原点，则点为原点，则x=y=
5、z=0rxiy jzk或或 P（x，y，z）可知：可知：rrrrrr6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向已知矢量的分量求矢量的大小和方向大小：大小：矢径的大小：222rrxyz一般地：222xyzaaaaa方向：方向：方向角、或方向余弦：cosxaa cosyaa coszaa 7.已知矢量的模和方向角（或方向已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量余弦）求矢量的分量cos,cos,cosaaaaaazyx注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。
6、二、矢量的加减法二、矢量的加减法1.矢量相加的平行四边形法则矢量相加的平行四边形法则（见图（见图7-3）2.矢量相加的三角形法则矢量相加的三角形法则（见图（见图7-2）3.多个矢量相加的多边形法则多个矢量相加的多边形法则（见图（见图7-5）5.矢量的减法矢量的减法因为：因为：cababc由矢量相加的三角形法则可得：由矢量相加的三角形法则可得：即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。4.矢量的加法所满足的运算规律矢量的加法所满足的运算规律（1）交换律：）交换
7、律：（2）结合律：）结合律：abbacbacbacba6.6.矢量加减的坐标表示式矢量加减的坐标表示式kajaiaazyxkbjbibbzyxkbajbaibabazzyyxx三、矢量与数量的乘法三、矢量与数量的乘法1.定义：定义：aa模（大小）：模（大小）：a方向方向当当 0时（可视为时（可视为 ） 方向与方向与 相同相同当当 0时（可视为时（可视为 ） 方向与方向与 相反相反aaaa2. 满足的运算规律满足的运算规律（1）与另一个数量相乘的结合律：）与另一个数量相乘的结合律： aaababaaaa3.矢量与数量相乘的坐标表示式矢量与数量相乘的坐标表示式kajaiakajaiaazyxzyx
8、（2）分配律：）分配律：四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）1.定义：定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：sfsFsFFsA,coscos一般地：一般地：abbababababajPrjPr,cos2.两个推论：两个推论：（1）20cosaaaaakkjjii1（2）若两非零矢量）若两非零矢量 ，则，则ba02cos0ba反之，若反之，若 ，则必有，则必有0babaikkjji0注意；注意；“点点”不能掉！不能掉！3.标量积满足的运算规律标量积满足的运算规律（1）交换律：）交换律：babaab
9、ba,cos（2）分配律：）分配律：cbcacba（3）满足一定条件下的结合律（略）满足一定条件下的结合律（略）4.4.标量积的坐标（分量）表示式标量积的坐标（分量）表示式 zzyyxxzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxzyxbababakkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibakbjbibkajaiaba一般地：一般地：bac大小大小：babac,sin方向：方向：垂直于垂直于 所决定的平面，所决定的平面， 指向按指向按 的顺序，用右的顺序，用右 （手）螺旋法则确定。（手）螺旋法则确定。baba和五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）五、两矢量的
10、矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）1.定义：如力矩：大小：定义：如力矩：大小：sinFrFdM力矩是矢量，方向沿转轴，力矩是矢量，方向沿转轴，指向按指向按 的顺序，用的顺序，用右（手）螺旋法则确定。右（手）螺旋法则确定。Fr注意；注意；“”不能掉！不能掉！抽象出抽象出矢量积：矢量积：FrM大小大小：FrFrM,sin方向见上方向见上rFd 2.两个推论：两个推论：（1）00sin0aa（2）若两个非零矢量若两个非零矢量 ，则：，则：ba/0sin0sin0或aa反之，若反之，若 ，则必有：，则必有：0aaba/3.满足或不满足的运算规律满足或不满足的运算规律（1）不满足交换律，而是：）不满足交
11、换律，而是：（2）满足分配律：）满足分配律：（3）满足如下的结合律：）满足如下的结合律：baabcbcacbabababa4.4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法 kbabajbabaibabaibajbaibakbajbakbakbjbibkajaiabaxyyxzxxzyzzyyzxzzyxyzxyxzyxzyx000zyxzyxbbbaaakjiba或或5.矢量积（大小）的几何意义矢量积（大小）的几何意义以以 为邻边的平行四边形的面积。为邻边的平行四边形的面积。ba、ab作业：作业：阅读阅读高等数学高等数学P289307整理笔记或小结（点乘
12、、叉乘对照）整理笔记或小结（点乘、叉乘对照）复习：标量积和矢量积复习：标量积和矢量积标量积满足交换律：标量积满足交换律：abbacos,cosbababababac大小大小：babac,sin方向：方向：垂直于垂直于 所决定的平面，所决定的平面，指向按指向按 的顺序，用右（手）螺旋的顺序，用右（手）螺旋法则确定。法则确定。baba和矢量积不满足交换律，矢量积不满足交换律，而是：而是：baab标量积：标量积：矢量积：矢量积：baab微积分微积分 （高等数学高等数学第二章第一、二、三、五节；第二章第一、二、三、五节； 第四章第一、五节；第五章第一、二节第四章第一、五节；第五章第一、二节 ）第一节第
13、一节 导数与微分导数与微分一、导数的概念一、导数的概念 实例：直线运动的速度实例：直线运动的速度 直线取为直线取为s轴，则质点在任一时刻轴，则质点在任一时刻t 的位置的位置s （即动点（即动点的坐标）是时间的坐标）是时间t 的函数，记为：的函数，记为： tsstfs或如匀速直线运动：若设如匀速直线运动：若设0,0st时 vttsvttfvts或即,对匀加速直线运动：若设对匀加速直线运动：若设 202021,21attvtstfattvs或即00,0vvst，时0s0t则有则有则有则有下面求某一时刻下面求某一时刻t0的（瞬时）速度的（瞬时）速度匀速运动：匀速运动：瞬时速度等于平均速度瞬时速度等于
14、平均速度 tstttststtssvv0000非匀速运动：非匀速运动： t0 0到到t 时间段的时间段的平均速度：平均速度：tsttssv000s0tt0 0ts0 0欲求欲求t0 0的瞬时速度，可令的瞬时速度，可令t接近于接近于t0 0，则此时则此时平均速度的极限值就是平均速度的极限值就是t0 0时刻的瞬时速度。即时刻的瞬时速度。即 dtdststttstsvttt000limlim0称为称为 s 对对 t 的导数的导数即：即：瞬时速度等于质点的位置（坐标）对时间瞬时速度等于质点的位置（坐标）对时间的导数的导数一般地，若一般地，若y是是x的函数，的函数， y 对对x的导数：的导数： 0000
15、limlimxxxyxyxydxdyxyxxx注：注：（1）在某一个点的导数记为：）在某一个点的导数记为：（2）导数的意义：函数随自变量的变化率。）导数的意义：函数随自变量的变化率。 00,xxxdxdyxy二、常用的导数公式：二、常用的导数公式： xxxxxxeeeeaaaxxCCexxxxsincos7cossin61ln51logln4ln32011为常数 0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx三、函数的和、差、积、商的导数三、函数的和、差、积、商的导数 2.4.3.2.1,vvuvuvuvuvuuvCuCCuvuvuxvvxuu外即常数可提到导数符号为常数都可导，则设四
16、、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则例如：作简谐振动的质点的位置例如：作简谐振动的质点的位置 x 是时间是时间t 的函数：的函数： dxdududydxdyxgufdxdyxgfyxguufy或则：即：而若,0000sin0sin,cos,costAAdtdddxdtdxvtAxAtAx质点的速度：而可看成：为常数）、（例例1求匀速直线运动的速度：求匀速直线运动的速度：若设若设0,0sst 时,0vtss求匀加速直线运动的速度：求匀加速直线运动的速度：若设若设,21200attvss00,0vvsst，时则：则：则有则有 vdtdtvvtdtddtdsdtdsv000s0tts0 0所以
17、速度：所以速度：例例2 atvtavdttdavatdtdtvdtddtdsv002020022121021所以速度：所以速度：五、高阶导数五、高阶导数例如：直线运动的速度是时间的导数例如：直线运动的速度是时间的导数svdtdsv或而加速度又是速度随时间是变化率即导数，而加速度又是速度随时间是变化率即导数，所以可得：所以可得：22dtsddtdsdtddtdva ssva 或或这种导数的导数称为二阶导数。这种导数的导数称为二阶导数。一般地，一般地，y对对x的二阶导数为：的二阶导数为：22dxyddxdydxdy 类似地，可定义类似地，可定义三阶、四阶三阶、四阶导数，统称高阶导数。导数，统称高阶
18、导数。例：匀速直线运动例：匀速直线运动,0vtss加速度加速度 022vdtddtdsdtddtsdavdtdsv又如，又如，匀加速直线运动：匀加速直线运动：例例1：,21200attvssaatvdtddtdsdtddtsda022tRxtRxtRxsin,cos,sin2 例例2：,xxxxeyeyeyey 六、微分六、微分1.1.微分的概念：微分的概念： dxxfdydxdyxfdy、dx（以及前面的（以及前面的ds、dt）都叫做微分。）都叫做微分。所以，所以， 也称微商（二微分之商）也称微商（二微分之商）lldllldl0冷缩：冷缩：注：物理上也常指一个量（分成无限多份）其中注：物理上
19、也常指一个量（分成无限多份）其中（无限小的）一份：（无限小的）一份：lLdldxdyy 微分的含义：微小（无限小）增量。如微分的含义：微小（无限小）增量。如热胀：热胀：2.微分和导数的几何意义微分和导数的几何意义dx 、 dy分别是曲线上某点分别是曲线上某点x、y坐标的微小增量；坐标的微小增量；而导数而导数 是曲线这一点处切线的斜率。是曲线这一点处切线的斜率。dxdytandxdy3.函数的微分公式函数的微分公式（等于导数公式乘以自变量的微分）（等于导数公式乘以自变量的微分） （见（见P115116）4.微分的运算法则、和、差、积、商的微分、复合函微分的运算法则、和、差、积、商的微分、复合函
20、数的微分数的微分（与导数类似，见与导数类似，见P116）（见（见P115图图2-11）P117例例3：例例4：dxxdyxy12cos212sindxexedxxeedyeyxxxxx22222122111ln例例5：dxxxedxxexedyxeyxxxxsincos3sincos3cos31313131第二节第二节 积分积分一、一、不定不定积分的概念积分的概念原函数：原函数：设设F（x）的导（函）数是）的导（函）数是 f（x），即，即 dxxfxdFxfxF或那么，那么，F（x）就称为）就称为f（x）的原函数。的原函数。例如例如 为任意常数）CCxFdxxf(即积分是已知导（函）数求原函数
21、，即积分是已知导（函）数求原函数，而而求导（微分）求导（微分）是是已知原函数求导（函）数，所以已知原函数求导（函）数，所以积分是微分的逆运算积分是微分的逆运算。.cossin,cossin的原函数就是xxxx所以，定义所以，定义不定积分：不定积分：+ C例例1：例例2：Cxdxxxxx111111)sincos(cossinsincosxxCxxdxCxxdx例例3：求作匀速直线（取为：求作匀速直线（取为s 轴，且轴，且t=0时，时， s= s 0）的质点在任意时刻）的质点在任意时刻 t 的位置。的位置。解：解：vdtds即即s是是v的原函数，所以：的原函数，所以： 0, 0.sstCvtvd
22、tts代入上式，得代入上式，得C=s0，所以，所以 0svtts二、常用积分表二、常用积分表（详见（详见P186）例：例： CedxeCxxdxCxdxxCkxkdxxx4ln312.11CxCxdxxdxxCxCxdxxxdx231212121333321212113三、定积分三、定积分1.定积分的意义定积分的意义求连续分布的无限多个无限小部分之和。求连续分布的无限多个无限小部分之和。几何意义：求曲边梯形的面积几何意义：求曲边梯形的面积（即曲线（即曲线 bxaxyxfy, 0和直线所围成的图形的面积）所围成的图形的面积） 。 iiixxfA总面积：总面积： niiiniixxfAA11n越多
23、，小面积之和越接近曲边梯形越多，小面积之和越接近曲边梯形的面积，当的面积，当 ，量变到质变：，量变到质变：n dxxfxxfAAbaniiixniini101limlim求法：分成很多个（求法：分成很多个（n个）小矩形，个）小矩形，任一小矩形的面积任一小矩形的面积Oxy xfy abix dxxf称积分表达式，称积分表达式，a称积分的下限，称积分的下限，b称积分的上限称积分的上限。其中其中又如：求变速直线运动（又如：求变速直线运动（v=v（t）的路程：）的路程：将路程分成很多小段，每一小段内可近似看成匀速：将路程分成很多小段，每一小段内可近似看成匀速： iiittvs dttvttvssTTn
24、iiitniini21101limlim0s1Tis2T0itn即令令 求极限，即得总路程为：求极限，即得总路程为：2.定积分的计算定积分的计算牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式若若 f（x）的一个原函数是）的一个原函数是 F（x），则），则定积分：定积分： aFbFxFdxxfbaba例例1：313031333103102xdxx例例2：21ln2ln1ln2ln1lnln1212xxdx例例3：127431arctan3arctanarctan1131312xdxxP238例例5 求汽车制动距离。已知：求汽车制动距离。已知：解：匀变速解：匀变速20m/s5; 0,m/s10avvT sTT
25、vtatvtvT205105100 )m(1010202510510510202202020200tttdtdtdttdttvsT四、积分的性质四、积分的性质（常数可提出积分号外）（常数可提出积分号外） dxxgdxxfdxxgxf1 dxxfkdxxkf2 03aFaFdxxfaa dxxfdxxfabba4（交换上下限变号）（交换上下限变号） dxxfdxxfdxxfbcabccaba则设,5（6）平均值的求法）平均值的求法定积分中值定理定积分中值定理如平均速度：如平均速度： 211212,TTdttvsTTvTTsv即一般地，函数一般地，函数 f（x）在区间）在区间 a，b 上的平均值：
26、上的平均值： dxxfabfabfffba或的定义为：或所以，平均值的求法：所以，平均值的求法： abdxxfffba或注意：一般情况下，函数注意：一般情况下，函数 f（x）在区间）在区间 a，b 上的上的平均值：平均值： 2bfaff只对线性函数只对线性函数f（x）=C+kx（C、k为常数）等号才成立为常数）等号才成立五、积分表的使用五、积分表的使用（见书见书P218220。积分表在。积分表在P347） 积分表（六）为积分表（六）为“含有含有 的积分的积分”，其中，其中公式公式37与其相似，但不完全相同，故须与其相似，但不完全相同，故须“变量代换变量代换” 注意：注意：x和和dx也要变！也要变！942xxdx例例3 求求22ax