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1、大学物理实验的基础知识大学物理实验的基础知识21 1.1 .1 物理实验的意义和任务物理实验的意义和任务 (1) (1)通过对实验现象的观察、分析及对物理量通过对实验现象的观察、分析及对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的理解。的理解。 (2) (2)培养与提高学生的科学实验能力。培养与提高学生的科学实验能力。 (3) (3)培养与提高学生的科学实验素养。培养与提高学生的科学实验素养。1 1 绪绪 论论34567892. 2. 随机误差（偶然误差）随机误差（偶然误差） 在相同的条件下多次测量同一物理量时，误差时大时小，时正时负，以一种不可
2、预测的方式随机变化着，这类误差称为随机误差。它是由一系列随机的、不确定的因素所造成的。例如：例如： 人的感官判断力的随机性。人的感官判断力的随机性。在测量与读数时总难免存在时大时小的偏差。 外界因素起伏不定。外界因素起伏不定。如温度或高或低，电源电压不稳定等。 仪器内部存在一些偶然因素。仪器内部存在一些偶然因素。如零部件配合的不稳定等。 在实验过程中，上述因素往往混杂出现，难以预知，难以控制，所以，对待随机误差，不可能像对系统误差那样，找出原因，一一加以分析处理。事实上，当测量次数充分多时，随机误差必然显示出其特有的规律性。这一问题，我们将在下一节中讨论。 10随机误差的统计规律随机误差的统计
3、规律 X )( Xf o 2 3 2 3概率密度函数概率密度函数(正态分布) 222)(21)( XXfe分布函数的特征量分布函数的特征量 nXnii12)( 11单峰性。单峰性。绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的出现的概率大。对称性。对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。有界性。有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过一定限度。抵偿性。抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋向于零。即 011limniinXn 正态分布的随机误差的特征：正态分布的随机误差的特征：123. 3. 过失误差过失误差 过失误差又称为粗大误差。它是由于使用仪器不正确，粗心大意，观察错误或记错
4、数据等不正常情况引起的误差。只要实验者有严肃认真的科学态度，一丝不苟的工作作风，过失误差是可以避免的，即使不小心出现了，也应能在分析后立即予以剔除。2 2.1.1.4 4 精密度、正确度和精确度精密度、正确度和精确度精密度精密度 表示重复测量所得的各测量值相互接近的程度，它描述了测量结果的重复性的优劣，反映了测量中随机误差的大小，所谓测量精密度高，就是指测量数据的离散性小，即随机误差小(但系统误差的大小不明确)。 正确度正确度 表示测量结果与真值相接近的程度，它描述了测量结果的正确性的高低，反映了测量中系统误差的大小程度，所谓测量的正确度高就是指最后的测量结果与真值的偏差小，即系统误差小(但随
5、机误差的大小不确定)。13精确度精确度 对测量结果的精密性与正确性的综合评定，因而反映了总的误差情况，所谓测量的精确度高，就是指测量值集中于真值附近，即测量的随机误差与系统误差都较小。 (a) (b) (c) 图(a)表明数据的精密度高，但正确度低，相当于随机误差小而系统误差大；图(b)则表示数据的正确度高而精密度低，即系统误差小而随机误差大；图(c)则代表精密度和正确度都较高，即精确度高，总误差小。 141.1. 测量结果的最佳值测量结果的最佳值算术平均值 niiXnX112 2.1.1.5 5 随机误差的估计随机误差的估计多次测量的算术平均值作为约定真值。多次测量的算术平均值作为约定真值。
6、XXVii称为偏差或残差称为偏差或残差152. 2. 多次测量的随机误差估计多次测量的随机误差估计 21()1niiXXXn 标准偏差标准偏差X )( Xf oX X 163. 3. 算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差21()(1)niiXXXXn nn 测量算术平均值随机误差在区间测量算术平均值随机误差在区间的可能性为的可能性为68.3%68.3% 。一般一般实验中测量次数取实验中测量次数取610次。次。(,)XX 172 2. .2 2 测量结果的表示与不确定度测量结果的表示与不确定度2 2. .2 2.1 .1 测量结果的表达形式与不确定度测量结果的表达形式与不确定度XYXY Y
7、是待测量，是待测量，X X 是测量值，是测量值，X X 是不确定度。是不确定度。相对不确定度相对不确定度 100%XEX2.580.02 mmd 0.02100%0.8%2.58E 182 2. .2 2. .2 2 直接测量结果的不确定度直接测量结果的不确定度A类分量类分量 ：多次重复测量后用统计方法算出：多次重复测量后用统计方法算出B类分量类分量 B：其它方法估算：其它方法估算总不确定度：总不确定度：方和根合成。方和根合成。22AB 1. 1. 多次测量结果的不确定度多次测量结果的不确定度19AX 21()(1)niiXXn n3B 仪常见常见仪器误差限值仪器误差限值见见P11P11表表2
8、-22-22. 2. 单次测量结果的不确定度单次测量结果的不确定度3 仪202 2. .2 2.3 .3 间接测量结果的不确定度间接测量结果的不确定度误差的传递误差的传递( , , ,)Nf x y z其中x、y、z 表示各自独立的直接测量量。N表示间接测量量。则ddddfffNxyzxyzlnln( , , ,)Nf x y zlnlnln(d)d)d)dNfffxyzNxyzmV 211. 1. 绝对值合成法绝对值合成法 这种合成过程计算较简便，但计算结果往往偏大。一般适用于仪器较粗糙，实验精确度较低，系统误差较大的实验。 |Nxyzfffxyzlnlnln|()|()|()|Nxyzff
9、fNxyz222. 2. 方和根合成法方和根合成法( (大学物理实验采用本方法大学物理实验采用本方法) )222222)()()(zyxNzfyfxf222222)ln()ln()ln(zyxNzfyfxfN23例例2 2.1 .1 用不确定度的方和根合成法推导加减运算和用不确定度的方和根合成法推导加减运算和乘除运算的不确定度的合成公式。乘除运算的不确定度的合成公式。解：解：（1 1）设）设N=x+y则，则，dN=dx+dy222222)()(yxyxNyfxfyxNyxN2224（2 2）设）设N=x- -y则，则，dN=dx- -dy222222)()(yxyxNyfxf yxNyxN22
10、 25（3 3）设）设N=xy则，则，dN=ydx+ +xdy22222222)()(yxyxNxyyfxf 22)()(yxNyxN 26或或 lnN=lnx+ +lny因因xxx1lnyyy1ln2222)ln()ln(yxNyfxfN 22)()(yxyx 27（4 4）设）设N=x/y则，则，2dddyyxxyN2222)()(yxNyfxf 222221yxxyy 22)()(yxNyxN 28函数式函数式 不确定度传递公式不确定度传递公式(方和根合成法) czbyaxN222222zyxNcba cbazyxN222222)()()(zcybxaNzyxN xNsinxNx |co
11、s| xNlnxxN 29例例2 2.2 .2 设设 ，试用方和根合成法推导不确，试用方和根合成法推导不确定度传递公式。定度传递公式。yxyxN解：解：22)(2)()(1)(1yxyyxyxyxxN22)(2)()(1)(1yxxyxyxyxyN2222)()(yxNyNxN 22222)(2yxxyyx 302 2. .3 3 有效数字及其运算有效数字及其运算2 2. .3 3.1 .1 有效数字有效数字1. 1. 有效数字的概念有效数字的概念正确和有效地表示测量结果(即大小与不确定度)的数字。2122cm读数为读数为21.7821.78cmcm，四位有，四位有效数字，第四位效数字，第四位
12、8 8是是欠准欠准数字数字，是估计的，有偏差的，不确定的，或者说是可疑的。有效数字有效数字 = 准确数准确数 + 一位欠准数一位欠准数312. 2. 有效数字的意义有效数字的意义从从数字数字而言，而言，1.551.5501.5500从从测量值测量值而言，而言，1.55m1.550m1.5500m 它们的准确度不同，或者说，它们的测量误差不同。v 有效数字与不确定度的关系有效数字与不确定度的关系 有效数字中欠准位所在位置反映了不确定有效数字中欠准位所在位置反映了不确定度的大小度的大小。有效数字的最后一位是欠准的，误差就发生在这一位上。显然，欠准位在哪一位上，直接反映了测量值的不确定度的大小，单位
13、相同的数字欠准位愈靠前不确定度愈大。 12.8mm与与12.84mm相比，前者的不确定相比，前者的不确定度比后者大。度比后者大。 32v 有效数字与相对不确定度的关系有效数字与相对不确定度的关系 有效数字的位数反映了相对不确定度的大有效数字的位数反映了相对不确定度的大小小。一个测量值的有效数字位数愈多，最后一位上的不确定量对整个测量值的影响就愈小，即相对不确定度就愈小。 12.8mm与与128cm的相对不确定度相同。的相对不确定度相同。 12.8mm与与12.84mm相比，前者的相对不相比，前者的相对不确定度比后者大。确定度比后者大。333. 3. 正确记录和书写有效数字正确记录和书写有效数字
14、有效数字最后一位有效数字最后一位对齐仪器误差对齐仪器误差 (2.840.02)mm有效数字有效数字与小数点位置无关与小数点位置无关 2.84mm=0.284cm必要时采用必要时采用科学表达式科学表达式 2.84mm=2.84103m 测量结果测量结果X取一位欠准数。不确定度取一位欠准数。不确定度 X X取一取一位有效数字，位有效数字， X X与与X的最后一位的最后一位对齐对齐。 相对不确定度一般取一位有效数字。建议首相对不确定度一般取一位有效数字。建议首位是位是1 1, ,2 2,3,3时取两位有效数字。如时取两位有效数字。如: : 5% %，2.6% %。XXY 34说明说明 v 中间或后面
15、的中间或后面的“0 0”是有效数字。是有效数字。例如 1.005cm，15.0mm与与15.00mm中的中的“0”都是都是有效数字，有效数字，15.0mm与与15.00mm是两个不同的有效是两个不同的有效数字。数字。因为它们的测量精度不同。v 表示小数点位置的表示小数点位置的“0 0”不是有效数字。不是有效数字。因为有效数字的位数与小数点的位置无关，与十进制单位的变换无关。例如 L=1.28cm=12.8mm=0.0128m=1.28 10- -5km是三是三位有效数字。但位有效数字。但1.28cm 1280 m 。35v 运算总则运算总则 不确定度决定有效数字不确定度决定有效数字(位数及欠准
16、位位置)； 运算结果的有效数字中只有一位欠准数。运算结果的有效数字中只有一位欠准数。 v 常见运算规则常见运算规则 加减运算加减运算欠准位对齐。欠准位对齐。“4 4舍舍6 6入入5 5凑偶凑偶”。例如： 24.8+ +3.56 = 28.36 28.4 30.8+ +7.75 = 38.55 38.6 537- -62.43 = 474.57 474 24.8+ 3.56 28.362 2. .3 3. .2 2 有效数字的运算有效数字的运算36 乘除运算乘除运算取最少位数。取最少位数。例如： 1.72 4.1 = 7.052 7.0 5.39 23 = 0.2343 0.23 乘方、开方运算
17、乘方、开方运算取底的位数。取底的位数。例如： 25.362 = 25.36 25.36 = 643.1296 643.1 25.360. 5 5.03587 5.0361.71.72 2 4.4.1 1 172172 68 688 8 7 705205237 对数运算对数运算小数部分取真数的位数。小数部分取真数的位数。例如： ln2.67 0.982 ln267 = ln100+ln2.67 4.605+0.982 = 5.987 lg2.67 0.426 lg267 = lg100+ln2.67 2.000+0.426 = 2.426 其它函数运算其它函数运算 遵循不确定度决定有效数字的原则
18、，通过不确定度的传递公式确定。 38v常数、无理数在运算中可多取一位。常数、无理数在运算中可多取一位。v运算中间过程，可多保留一位，最后结果保留一运算中间过程，可多保留一位，最后结果保留一位欠准数。位欠准数。 0.367534.014.814.9112.504.83.14214.94220072014115.0.8328415.16.98039例例2 2.3 .3 已知已知N=AB/C，且且A=9.820.01，B =11.520.02，C=98.60.1，求的结果表达式。求的结果表达式。解：解：先将A、B、C的测量值代入，算出间接测量值N。 N=9.8211.5298.61.147计算不确定
19、度结果表达式N=1.150.01， E=0.23% 222()()()0.23%NABCENABC1.147 0.23%0.003NE N40例例2 2.4 .4 已知金属环的外径已知金属环的外径D1=(3.6000.004)cm，内内径径D2=(2.8800.004)cm，高高h=(2.5750.004)cm，求求金属环体积的测量结果表达式。金属环体积的测量结果表达式。解：解：22121()4VDDh22313.1416 (3.6002.880 ) 2.57549.435cm2212lnlnln()ln4VDDh41222lndDDDV222lndDddVhhV1ln%81. 00081.
20、0004. 0)575. 21()88. 26 . 388. 22()88. 26 . 36 . 32(222222223cm08. 0%81. 0435. 9VEV 3cm)08. 044. 9(V222222lnlnln()()()VDdhVVVEVDdh2222222221()()()DdhDdDdDdh42例例2 2.5 .5 已知一圆柱体的质量已知一圆柱体的质量m=(14.060.01)g，高高H=(6.7150.005)cm，用千分尺测得直径用千分尺测得直径D的的数据，如下表：数据，如下表： 次数次数 1 2 3 4 5 6Di / cm 0.5642 0.5648 0.5643
21、0.5640 0.5649 0.5646求其密度求其密度的测量结果。的测量结果。解：解：将6次测量的标准差作为不确定度A类分量，即 10.56447cmiDDn431()0.00014(1)AcmniiDDn n密度的测量值密度的测量值24mD H 715. 65645. 01416. 306.14420.00040.0002333Bcm 仪220.000270.0003ABcmcm (0.56450.0003)cmD 44密度的不确定度密度的不确定度2222()()()mDHEmDH 2220.012 0.0030.005()()()14.060.56456.7150.00140.14%测量
22、结果测量结果0.14% 8.3660.0120.01()3g/cmE (8.370.01)g/cm 0.14%E 68.36 ()3g/m 452 2. .4 4 数据处理的基本方法数据处理的基本方法 2 2. .4 4.1 .1 列表法列表法原则原则v 栏目应标明名称和单位。栏目应标明名称和单位。v 表中数据主要是原始数据。表中数据主要是原始数据。v 表中数据要正确反映测量结果的有效数字表中数据要正确反映测量结果的有效数字。v 栏目顺序应注意数据间的联系和计算的程序，栏目顺序应注意数据间的联系和计算的程序，力求简明、齐全、有条理力求简明、齐全、有条理。46iDnD1 次数次数 1 2 3 4
23、 5 6Di /mm 5.64 5.68 5.60 5.66 5.64 5.66DDi- -0.01 +0.03 - -0.05 +0.01 - -0.01 +0.01用游标卡尺测量小球直径用游标卡尺测量小球直径数据记录与处理数据记录与处理5.65mm472 2. .4 4.2 .2 作图法作图法1. 1. 图示法图示法xy光滑的曲线图光滑的曲线图xy折线图折线图48原则原则 v 作图用坐标纸。作图用坐标纸。一般选用直角坐标纸，有时，根据需要也可选用对数坐标纸、极坐标纸等。v 坐标轴的选择和坐标轴单位的标定要根据实验坐标轴的选择和坐标轴单位的标定要根据实验数据的有效数字的位数来确定。数据的有效
24、数字的位数来确定。原则上数据中可靠的数字在图中亦是可靠的。数据中有误差的一位，在图中应是估计的，应使坐标纸中一小格对应于数据中可靠数字的最后一位。v 标点与连线。实验点可用符号如标点与连线。实验点可用符号如、 、等等表示，兼顾各数据点拟合光滑曲线或直线。表示，兼顾各数据点拟合光滑曲线或直线。 49正确正确xy102030 xy0102030不正确不正确502) 2) 图解法图解法bkxyxy测定线胀系数测定线胀系数单摆测重力加速度单摆测重力加速度化曲为直。化曲为直。令令LxTy,2xgy24001()lltt 224TLg512 2. .4 4. .3 3 逐差法逐差法128,y yy,2,8mmmy516273841()44444yyyyyyyykgmmmm弹簧的劲度系数弹簧的劲度系数522 2. .4 4. .4 4 最小二乘法和直线拟合最小二乘法和直线拟合实验数据实验数据nxxx,21nyyy,21物理量的关系物理量的关系最佳直线最佳直线xy),(iiyxykxb22yxy xkxxbykx53其中其中1iyyn1ixxn1()iiyxy xn221()ixxn