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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date线性代数知识点汇总线性代数知识点汇总第一章 矩阵矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律 数乘-分配、结合律 乘法 （一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置： 方幂： 逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的， 且矩阵的逆矩阵满足的运算律：
2、 1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且 2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且 3、可逆矩阵A的转置也是可逆的，且 4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且，但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但。A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 5、若A可逆，则逆矩阵注：AB=BA=I则A与B一定是方阵 BA=AB=I则A与B一定互逆； 不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行
3、（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵第二章 行列式N阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和 行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式） 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的k倍加到另一行
4、（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解 （逆否命题：若方程组存在非零解，则D等于零） 特殊行列式：转置行列式：对称行列式:反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零三阶线性行列式: 解法：用把化为零，。化为三角形行列式上（下）三角形行列式第三章 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩r(A)： 若A可逆，则满秩 若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B） 初等变换不改变矩阵的秩 求法：1.定义；2.转化为标准式或阶梯形伴
5、随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵： 特殊矩阵的逆矩阵： 1、分块矩阵 则 2、准对角矩阵， 则 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判断矩阵是否可逆：充要条件是，此时求逆矩阵的方法：定义法伴随矩阵法初等变换法 ,只能是行变换。初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘） 线性方程组解的判定：非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵 r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解；当时，有无穷多解 r(AB)r(B)，
6、无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)n 当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组的秩： 定理：如果是向量组的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：中的每一个向量都可由线性表出。 秩:极大无关组中所含的向量个数。 定理：设A为m*n矩阵，则的充要条件是：A的列（行）秩为r。线性组合或
7、线性表示注：两个向量，若则是的线性组合 任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关注：1. n个n维单位向量组一定是线性无关2. 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关3含有零向量的向量组一定是线性相关4.若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量可由线性表示的充要条件是 判断向量组是否线性相关的方法：1、定义法：设，求2、 向量间关系法：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、 分量法（n个m维向量组）：4、 线性相关（充要） 线性无关（充要） 推论当m=n时，相关，则；无关，则 当mn时，线性相关推广：若向量组线性
8、无关，则当s为奇数时，向量组 也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。 定理：如果向量组线性相关，则向量可由向量组线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是线性无关。极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。第四章 向量空间向量的内积 定义：（，）=性质：非负性、对称性、线性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的长度： 的充要条件是=0；是单位向量的充要条件是（，）=1正交向量：，是正交向量的
9、充要条件是（，）=0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：阶矩阵性质：1、若A为正交矩阵，则可逆，且，且也是正交矩阵；、若A为正交矩阵，则；、若A、为同阶正交矩阵，则也是正交矩阵；、阶矩阵（）是正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是 标准正交向量；线性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系齐次线性方程组（I）解的结构：解为 （I）的两个解的和仍是它的解； （I）解的任意倍数还是它的解； （I）解的线性组合也是它的解，是任意常数。非齐次线性方程组（II）解的结构：解为 （II）的两个解的差仍是它的解； 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。定理： 如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是（II）的全部解。-