《线性代数知识点总结汇总 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数知识点总结汇总 .docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结（一）行列式概念和性质线性代数学问点总结1 行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、逆序数： 全部的逆序的总数2、行列式定义： 不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1） ）行列互换（转置） ,行列式的值不变（2） ）两行（列）互换,行列式变号（3） ）提公因式：行列式的某一行（列）的全部元素都乘以同一数k,等于用数 k乘此行列式（4） ）拆列安排：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5） ）一行（列）乘 k 加到另一行（列）,行列式的值不变。（6） ）两行成比例,行列式的值为 0。（二）
2、重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值 等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace绽开式：（A 是 m 阶矩阵, B 是 n 阶矩阵）,就7、n 阶（ n2）范德蒙德行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数学归纳法证明 8、对角线的元素为 a,其余元素为 b 的行列式的值：（三）按行（列）绽开9、按行绽开定理：（1） ）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2） ）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（ 1） |kA|=
3、k n|A|（ 2） |AB|=|A| |B|（ 3） |A T|=|A|（ 4） |A -1|=|A| -1（ 5） |A*|=|A|n-1（6） ）如 A 的特点值 1、2、 n ,就（7） ）如 A 与 B 相像,就 |A|=|B|（五）克莱姆法就11、克莱姆法就：（ 1 ） 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 为 0 , 那 么 方 程 为 唯 一 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）假如非齐次线性方程组无解或有两个不同解,就它的系数行列式必为0（3） ）如齐次线性方程组的系数行列式不为0,就齐次线性方程组只有 0 解。假如方程组有非零解
4、,那么必有 D=0。2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法留意事项：（1） ）矩阵乘法要求前列后行一样。（2） ）矩阵乘法不满意交换律。 （因式分解的公式对矩阵不适用,但如B=E,O,A-1, A*,fA时,可以用交换律）（3） ） AB=O不能推出 A=O 或 B=O。2、转置的性质（ 5 条）（ 1）（A+B） T=AT+BT（ 2）（kA）T=kAT（ 3）（AB）T=BTAT（ 4） |A| T=|A|（ 5）（AT） T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或 BA=E成立,称 A 可逆, B 是 A 的逆矩阵,记为 B=A-1注： A 可逆的充要条件是 |A| 0 4、逆的性质：（
5、 5 条）（ 1）（kA）-1=1/kA-1 k0（ 2）（AB）-1=B-1A-1（ 3） |A -1|=|A| -1（ 4）（AT） -1=（A-1）T（ 5）（A-1）-1=A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、逆的求法：（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解（ 2） A 为数字矩阵：（A|E）初等行变换 （ E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1） ）两行（列）互换。（2） ）一行（列）乘非零常数 c（3） ）一行（列）乘 k 加到另一行（列）7、初等矩阵： 单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1） ）初
6、等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2） ）初等矩阵均为可逆矩阵,且 Eij -1=Eij（i,j 两行互换）。Ei-1（ c） =Ei（1/c）（第 i 行（列）乘 c） Eij-1（k）=Eij（-k）（第 i 行乘 k 加到 j）（四）矩阵的秩9、秩的定义： 非零子式的最高阶数注：（ 1） r（A）=0 意味着全部元素为 0,即 A=O（ 2） r（Ann）=n（满秩） |A| 0 A 可逆。 r（ A） n|A|= 0A 不行逆。（ 3） r（A）=r（r=1、2、 n-1） r 阶子式非零且全部 r+1 子式均为 0。10、秩的性质：（7 条）（ 1） A 为 mn 阶矩阵
7、,就 r（A） min（m,n）（ 2） r（AB） r（ A）（ B）（ 3） r（AB） minr （ A）,r（B）（ 4） r（kA）=r（A）（k0）（ 5） r（A）=r（AC）（C 是一个可逆矩阵）（ 6） r（A）=r（AT）=r（ ATA）=r（AAT）（ 7）设 A 是 mn 阶矩阵, B 是 ns 矩阵, AB=O,就 r（ A） +r（B） n 11、秩的求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解。（ 2）A 为数字矩阵： A初等行变换 阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为 0）,就 r（A）=非零行的行数（五）
8、相伴矩阵12、相伴矩阵的性质： （8 条）（ 1） AA*=A*A=|A|EA*=|A|A -1（ 2）（kA）*=kn-1A*（ 3）（AB）*=B*A*（ 4） |A*|=|A|n-1（ 5）（AT） *=（A* ）T（ 6）（A-1）*=（ A*）-1=A|A| -1（ 7）（A* ）*=|A|n-2A（ 8）r（ A*）=n （r（ A）=n）。 r（ A*）=1（r（ A） =n-1）。 r（ A*）=0（r（ A） n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3 向量（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（,）=T = T2、长度定义：|
9、 |=3、正交定义：（ ,） = T=T=a1b1+a2b2+anbn=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵, AAT=E （二）线性组合和线性表示-A1=AT ATA=E |A|=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、线性表示的充要条件：非零列向量 可由1,2, s 线性表示(1) 非齐次线性方程组（ 1,2, s）（x1, x2, xs） T=有解。 2 （r 1, 2, s）=r（ 1, 2, s,）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件： （明白即可）如1,2,s 线性无关, 1
10、, 2,s,线性相关,就 可由1, 2, s 线性表示。7、线性表示的求法：（大题其次步）设1, 2, s 线性无关, 可由其线性表示。（ 1, 2, s| ）初等行变换 （行最简形 | 系数） 行最简形：每行第一个非 0 的数为 1,其余元素均为 0（三）线性相关和线性无关8、线性相关留意事项：（1） ） 线性相关 =0（2） ） 1, 2 线性相关 1, 2 成比例9、线性相关的充要条件：向量组 1, 2, s 线性相关（ 1） 有个向量可由其余向量线性表示。（ 2） 齐次方程（ 1, 2, s）（x1,x2, xs）T=0 有非零解。（ 3）r（1,2, s） s 即秩小于个数特殊的,
11、n 个 n 维列向量 1, 2, n 线性相关（ 1） r（1,2, n）n（ 2） |1, 2, n |=0（ 3） （ 1,2, n）不行逆10、线性相关的充分条件：（1） ）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2） ）部分相关,就整体相关（3） ）高维相关,就低维相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）以少表多,多必相关推论： n+1 个 n 维向量肯定线性相关11、线性无关的充要条件向量组 1, 2, s 线性无关（ 1） 任意向量均不能由其余向量线性表示。（ 2） 齐次方程（ 1, 2, s）（x1,x2, xs）T=0 只有零解（ 3） r（ 1,2, s）
12、=s特殊的, n 个 n 维向量1, 2, n 线性无关r（ 1, 2, n）=n|1,2, n | 0矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1） ）整体无关,部分无关（2） ）低维无关,高维无关（3） ）正交的非零向量组线性无关（4） ）不同特点值的特点向量无关13、线性相关、线性无关判定（1） ）定义法（ 2）秩：如小于阶数,线性相关。如等于阶数,线性无关【专业学问补充】（ 1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩 =列数）,矩阵的秩不变。在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。（2） ）如 n 维列向量 1,2,3 线性无关, 1,2, 3 可以由其线性表示,即（ 1,2,3）=（1,2, 3）C,就
13、 r（ 1,2,3）=r（C）,从而线性无关。r（ 1, 2, 3） =3 （r C） =3 |C|0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯独15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数注:向量组 1, 2, s 的秩与矩阵 A=（1,2, s）的秩相等 16、极大线性无关组的求法（1） ） 1, 2, s 为抽象的：定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） 1, 2, s 为数字的：（ 1, 2, s）初等行变换 阶梯型矩阵就每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线
14、性无关组）变换公式：如1, 2, n 与1,2, n是 n 维向量空间 V 的两组基,就基变换公式为（ 1, 2, n）=（1,2, n）Cnn其中, C是从基 1, 2, n 到1, 2, n 的过渡矩阵。C=（1,2, n）-1（1,2, n）18、坐标变换公式：向量在基1,2, n 与基1,2, n 的坐标分别为 x=（x1,x2, xn）T,y=（ y1,y2, yn）T,即=x11 + x2 2 + +xnn =y11 + y22 + +ynn,就坐标变换公式为 x=Cy或 y=C-1x。其中, C是从基 1, 2,n 到 1, 2, n 的过渡矩阵。 C=（1,2, n） -1（
15、1, 2, n）（六） Schmidt正交化19、Schmidt 正交化设1, 2, 3 线性无关（ 2）单位化（ 1）正交化令1=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（一）方程组的表达形与解向量4 线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、解的形式： 1一般形式(2) 矩阵形式： Ax=b。3向量形式： A=（1,2, n）2、解的定义：如=（ c1,c2,cn）T 满意方程组 Ax=b,即 A=b,称是 Ax=b 的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1） ）只有零解 r（A）=n（ n 为 A 的列数或是未知数 x 的个数）（2） ）有非
16、零解r（A） n 4、非齐次方程组：（ 1）无解 r（A） r（A|b ）r（A）=r（A） -1（2） ）唯独解 r（ A） =r（A|b ） =n（3） ）无穷多解 r（A）=r（A|b ）n 5、解的性质：（1） ）如1,2 是 Ax=0的解,就 k11+k22 是 Ax=0 的解（2） ）如是 Ax=0 的解, 是 Ax=b 的解,就 +是 Ax=b 的解（3） ）如1,2 是 Ax=b 的解,就 1-2 是 Ax=0 的解【推广】（1） ）设1,2, s 是 Ax=b 的解,就 k11+k22+kss 为Ax=b 的解 （当ki=1）Ax=0的解 （当ki=0）（2） ）设1, 2,
17、s是 Ax=b 的 s 个线性无关的解, 就2- 1,3- 1, s- 1 为 Ax=0 的 s-1 个线性无关的解。变式： 1-2,3- 2, s-2 2 -1, 3- 2, s-s-1（三）基础解系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、基础解系定义：（1） ） 1, 2, s 是 Ax=0 的解（2） ） 1, 2, s 线性相关（3） ） Ax=0 的全部解均可由其线性表示基础解系即全部解的极大无关组注：基础解系不唯独。任意 n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。 7、重要结论：（证明也很重要）设 A 施 mn 阶矩阵, B 是 ns 阶矩阵, AB=O（ 1） B
18、的列向量均为方程 Ax=0 的解（ 2） r（A）+r（B） n（第 2 章,秩） 8、总结：基础解系的求法（ 1） A 为抽象的：由定义或性质凑 n-r（ A）个线性无关的解（ 2） A 为数字的： A初等行变换 阶梯型自由未知量分别取 1,0,0。0,1,0。0,0,1。代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（全部解）设 r（ A） =r, 1, 2, n-r 为 Ax=0 的基础解系,就 Ax=0 的通解为 k11+k22+ +kn-rn-r （其中 k1,k2, kn-r 为任意常数） 10、非齐次线性方程组的通解设 r（ A） =r, 1, 2
19、, n-r 为 Ax=0 的基础解系, 为 Ax=b 的特解,就 Ax=b 的通解为 + k1 1+k22+ +kn-rn-r （其中 k1,k2,kn-r 为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：假如既是方程组 Ax=0 的解,又是方程组 Bx=0 的解,就称 为其公共解12、非零公共解的充要条件：有非零解 方程组 Ax=0 与 Bx=0有非零公共解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13、重要结论（需要把握证明）（1） ）设 A 是 mn 阶矩阵,就齐次方程 ATAx=0与 Ax=0 同解, r（ ATA） =r（ A）（2） ）设 A 是 mn 阶矩阵, r（A）=n
20、,B 是 n s 阶矩阵,就齐次方程 ABx=0 与 Bx=0同解, r（AB） =r（B）5 特点值与特点向量（一）矩阵的特点值与特点向量1、特点值、特点向量的定义：设 A 为 n 阶矩阵,假如存在数 及非零列向量 ,使得 A= ,称是矩阵A 属于特点值 的特点向量。2、特点多项式、特点方程的定义：| E-A|称为矩阵 A 的特点多项式（ 的 n 次多项式）。| E-A |=0 称为矩阵 A 的特点方程（ 的 n 次方程）。注:特点方程可以写为 |A- E|=03、重要结论：（ 1）如为齐次方程 Ax=0的非零解,就 A=0,即 为矩阵 A 特点值=0的特点向量（ 2） A 的各行元素和为
21、k,就1, 1, 1T 为特点值为 k 的特点向量。（ 3）上（下）三角或主对角的矩阵的特点值为主对角线各元素。 4、总结：特点值与特点向量的求法（ 1） A 为抽象的：由定义或性质凑（ 2） A 为数字的：由特点方程法求解5、特点方程法：（1） ）解特点方程 | E-A|=0,得矩阵 A 的 n 个特点值 1, 2, n注： n 次方程必需有 n 个根可有多重根,写作 1=2= = s=实数,不能省略 （2） ）解齐次方程（ iE-A）=0,得属于特点值 i 的线性无关的特点向量,即其基础解系（共 n-r（ iE-A）个解）6、性质：（ 1）不同特点值的特点向量线性无关可编辑资料 - - -
22、 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） k 重特点值最多 k 个线性无关的特点向量1n-r（iE-A） ki（3） ）设 A 的特点值为 1,2, n,就|A|= i, i= aii（4） ）当 r（A）=1,即 A=T,其中,均为 n 维非零列向量,就 A 的特点值为1= aii = T=T, 2=n=0（5） ）设是矩阵 A 属于特点值 的特点向量,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AAT（ ）AfA-1P-1AP（相A*似）-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f（）-1|A| 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/P-1（二）相像矩阵7、相像矩阵的
23、定义：设 A、B 均为 n 阶矩阵,假如存在可逆矩阵 P 使得 B=P-1AP,称 A 与 B 相像,记作 AB8、相像矩阵的性质（1） ）如 A 与 B 相像,就 f（A）与 f（ B）相像（2） ）如 A 与 B 相像, B 与 C相像,就 A 与 C相像（3） ）相像矩阵有相同的行列式、秩、特点多项式、特点方程、特点值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4） ）如 A 与 B 相像,就 AB 与 BA 相像, AT 与 BT 相像, A-1 与 B-1 相像, A* 与 B*也相像（三）矩阵的相像对角化9、相像对角化定义：假如 A 与对角矩阵相像,即存在可逆矩阵P,使得 P-1AP=,可
24、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称 A 可相像对角化。注： Ai=ii（i0,由于 P 可逆）,故 P 的每一列均为矩阵 A 的特点值 i的特点向量10、相像对角化的充要条件（ 1） A 有 n 个线性无关的特点向量（ 2） A 的 k 重特点值有 k 个线性无关的特点向量11、相像对角化的充分条件：（ 1） A 有 n 个不同的特点值（不同特点值的特点向量线性无关）（ 2） A 为实对称矩阵12、重要结论：（1） ）如 A 可相像对角化,就 r（A）为非零特点值的个数, n-r（A）为零特点值的个数（2） ）如 A 不行相像对角化, r（ A）不肯定为非零特点值的个数（四）实对
25、称矩阵13、性质（1） ）特点值全为实数（2） ）不同特点值的特点向量正交（ 3） A 可相像对角化,即存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP=（ 4） A 可正交相像对角化,即存在正交矩阵Q,使得 Q-1AQ=QTAQ=6 二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（一）二次型及其标准形1、二次型：（1） ）一般形式（2） ）矩阵形式（常用）2、标准形：假如二次型只含平方项,即 f（x1,x2, xn） =d x2+d2x22+dnxn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1） ）配方法：可编辑资料 -
26、- - 欢迎下载精品名师归纳总结通过可逆线性变换 x=Cy（C 可逆）,将二次型化为标准形。其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。（ 2）正交变换法：22通过正交变换 x=Qy,将二次型化为标准形 1y12+ y 2+nyn2其中, 1, 2, n 是 A 的 n 个特点值, Q 为 A 的正交矩阵注:正交矩阵 Q 不唯独, i 与i 对应即可。（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p。 负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结规范形： f=z12+z2-z2-z2 称为
27、二次型的规范形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、惯性定理：pp+1p+q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。注：（ 1）由于正负惯性指数不变,所以规范形唯独。（2） ） p=正特点值的个数, q=负特点值的个数, p+q=非零特点值的个数 =r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B 均为 n 阶实对称矩阵,如存在可逆矩阵C,使得 B=CTAC,称 A 与 B 合同 7、总结： n 阶实对称矩阵 A、B 的关系（1） ） A、B 相像（ B=P-1AP）相同的特点值（2） ） A、B 合同（ B=CTAC
28、）相同的正负惯性指数 相同的正负特点值的个数（3） ） A、B 等价（ B=PAQ）r（ A） =r（B）注：实对称矩阵相像必合同,合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型 xTAx,假如任意 x 0,恒有 xTAx0,就称二次型正定,并称实对称矩阵A 是正定矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、n 元二次型 xTAx 正定充要条件：（ 1） A 的正惯性指数为 n（ 2） A 与 E合同,即存在可逆矩阵 C,使得 A=CTC或 CTAC=E（ 3） A 的特点值均大于 0（ 4） A 的次序主子式均大于 0（ k 阶次序主子式为前 k 行前 k 列的行列式） 10、n 元二次型 xTAx 正定必要条件：（ 1） aii0（ 2） |A| 011、总结：二次型 xTAx 正定判定（大题）（ 1） A 为数字：次序主子式均大于 0（ 2） A 为抽象： 证 A 为实对称矩阵： AT=A。 再由定义或特点值判定12、重要结论：（1） ）如 A 是正定矩阵,就 kA（k0）,Ak,AT,A-1, A* 正定（2） ）如 A、B 均为正定矩阵,就 A+B 正定可编辑资料 - - - 欢迎下载