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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高三数学第一轮复习讲解-正弦定理和余弦定理高三数学第一轮复习讲解-正弦定理和余弦定理浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_
2、C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；.cos A；cos B；cos C.2.正弦定理解决的问题有哪两类？提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角3余弦定理解决的问题有哪三类？提示：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边温馨提示：解斜三角形的类型：(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解(2)已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC中，已知a、b和角A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角图形
3、关系式absin Absin Aababab解个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，absin A时，无解；A为钝角时，ab，ab均无解(3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解4三角形面积设ABC的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.(1)Sah(h为BC边上的高)；(2)Sabsin C.1(2013高考北京卷)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A.B.C. D1解析：选B.在ABC中，由正弦定理，得sin B.2在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确
4、定解析：选B.bsin A12ab.三角形的个数有两个3(2014兰州调研)在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()A3 B2C4 D.解析：选C.cos C，sin C，SABCabsin C324.4在ABC中，B60，b2ac，则ABC的形状为_解析：由余弦定理得b2a2c22accos 60ac，即a22acc20，ac.又B60，ABC为等边三角形答案：等边三角形5(2013高考安徽卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.解析：由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以c
5、os C.因为C(0，)，所以C.答案：利用正、余弦定理解三角形(2013高考山东卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某
6、个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到1(2012高考浙江卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解：(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B.所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.利用正、余弦定理判定三角形的形状在
7、ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰钝角三角形判断三角形的形状，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得
8、出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2(1)在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为_；(2)在ABC中，若basin C，cacos B，则ABC的形状为_解析：(1)sin2，cos A.由余弦定理，a2b2c2，ABC为直角三角形(2)由basin C可知sin C，由cacos B可知ca，整理得b2c2a2，即三角形一定是直
9、角三角形，A90，sin Csin B，BC，故ABC为等腰直角三角形答案：(1)直角三角形(2)等腰直角三角形与三角形面积有关的问题(2013高考湖北卷)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是 a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25
10、162021，所以a.从而由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2 ccos2 b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若B60，b4，求ABC的面积解：(1)证明：acos2ccos2acb，则a(1cos C)c(1cos A)3b.由正弦定理，得sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B，即sin Asin Csin(AC)3sin B，sin Asin C2sin B.由正弦定理得，ac2b，故a，b，c成等差数列(2)由B60，b4及余弦定理，得42a2c22accos 60.(ac)23ac16，又由(1)知ac2b，代入上式得4b23ac16，解得ac16，ABC的面积Sacsin Bacsin 604.-