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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date相似三角形模型及应用(2013-2014)_x0001_相似考纲要求内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题知识讲解一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等与相似，则有2相似三角形的对应边成比例与相似，则有（为相似比）3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线
2、成比例，都等于相似比与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）4相似三角形周长的比等于相似比与相似，则有（为相似比）应用比例的等比性质有5相似三角形面积的比等于相似比的平方与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）进而可得二、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形
3、的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似三、相似证明中的基本模型A字形图字型，结论：，图反字型，结论：图双字型，结论：，图内含正方形
4、字形，结论（为正方形边长）图 图 图 图 8字型图8字型，结论：，图反8字型，结论：、四点共圆图双8字型，结论：，图8字型，结论：图，结论：、图 图 图 图 图一线三等角型结论：出现两个相似三角形图 图 图 图 角分线定理与射影定理图内角分线型，结论：，图外角分线型，结论：图斜射影定理型，结论：，图射影定理型，结论：1、，2、，3、梅涅劳斯型常用辅助线四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：如图：如图：如图：学案提升考点一：相似三角形【例1】 如图，、是的边、上的点，且，求证：.【答案】 【例2】 如图，在中，于，于，的面积是面积
5、的4倍，求的长.【答案】， 【例3】 如图，中，点是内一点，使得，则_【答案】【解析】，故，【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求【答案】【解析】连接、，则，若，则可求，问题的关键是证明考点二：相似三角形与边的比例考点说明：可运用相似三角形模型，常用字形与字形【例5】 在中，的延长线交的延长线于， 求证：.【答案】过作交于，【例6】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：【答案】过作交于，又，【例7】 如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.【答案】过，分别作的平行线交于，两点，交于，易知，即，又，即.考点三：相
6、似三角形与内接矩形考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边长为米，面积为平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图所示，乙设计的方案如图所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）【答案】甲同学设计的方案较好由题意得，设甲设计的正方形桌面边长为由，得则，即，解得在图中，根据勾股定理，得，则设乙设计的正方形桌面的边长为，则，解得，【例8】 中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【答案】设正方形的边
7、长为，、的交点为，则有 ，即 解之得， 故本题有一个相似形中的典型的基本图形：如图，则（相似三角形高线之比等于相似比）【例9】 如图，已知中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长【答案】过作，垂足为，连接设，则，则有，即，解得，设正方形的边长为，则有，即解得所以正方形的边长为【例10】 如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，求的面积【答案】设正方形边长为，则由，得，解得，【例11】 如图，在中，动点（与点，不重合）在边上，交于点（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长（3）试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，
8、请简要说明理由；若存在，请求出的长【答案】（1） 当时，则， （2）当与四边形周长相等时，则： 设与的相似比为 则， 解得：， （3） 如图过（或），分别作垂线，垂足为（或），当 （或）时，（或）为等腰直角三角形过作于，交于，则，设， 由，得 ，即 ， 作的中垂线，交于，当时为等腰直角三角形设，则，即解得，即考点四：与平行四边形有关的相似问题【例12】 如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、，若，则的长是_【答案】10.5【例13】 如图，已知，求证：.【答案】，又，【例14】 如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值【解析】延长，交于点【答
9、案】【例15】 如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，且与的交点为点，求的面积。【解析】延长交的延长线于点，连接。由知，而，故。 。又因为，所以。从而可知。所以。又，故【例16】 如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.【答案】（1）延长、，交于点.易证，故. 又，故， 在中，这个基本图形中，故 （2）由可知， 又， 故 从而可知，故，故.考点五 与梯形有关的相似问题【例17】 如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，
10、则梯形的面积是（ ）ABCD【解析】略【答案】B【例18】 如图，梯形中，两条对角线、相交于，若，那么_【答案】【例19】 如图，在梯形中，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长【解析】过点做交于点设,则由梯形与梯形周长相等，可得由（1）（2）知【答案】【例20】 已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连接、，且与交于点，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长.【答案】（1） ， （中间过渡量） （2） 【例21】 如图，在梯形中，分别是的中点，交于，交于，求的长 【解析】方法一：由可知，方法二：观察此题与上题颇为相似，于是猜想，但是本题中没有可以直接使用基本 图形结论的条件，可通过连接来实现，
11、设、交于点. ， （，其中为中间过渡量） 如果双向延长分别与、交于点、，则有.【答案】【例22】 如图，已知梯形中，,（）,交于点，连接.（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.【答案】延长、交于点. ， ， 在基本图形中，故 从而可知， 与不一定相似，如果相似，则它们必然全等，分析如下： 若，由，共用可知，两三角形必然全等； 若，则由可知，故，这是显然不可能的. 当时，由题意可知，故.考点六：相似三角形与实际问题考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】 小华为了测量所住楼房的高度，他请来
12、同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米。已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为_米【答案】48【例24】 如图，王华同学晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为米，他继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，已知王华的身高是米，那么路灯的高度等于（ ）A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米【答案】B考点七：位似考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】 如图，与的位似中心为点，若，则与的面积比是_，与的比是_【答案】,【例26】 作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（ ）A.位似中心可以是多边形的一个顶点B.
13、位似中心可以任意选取C.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D.所作出位似图形的大小与位似中心的位置有关【答案】C【例27】 如图是由边长为1个单位的小正方形组成的正方形网格，为一个定点，在网格中画出一个直角三角形，要求满足满足下列条件：三个顶点都是小正方形的顶点，是一条直角边的中点，斜边长，且以为位似中心，相似比为的位似图形也在正方形网格内，这样的三角形能画出几个？【答案】如图，共有四种可能考点八：“旋转相似三角形”模型考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】 如图，在和中，（1）写出图中两对相似三角形（不得
14、添加辅助线）（2）请分别说明两对三角形相似的理由【答案】（1）、（2）， ，即， 旋转相似三角形模型指是与这两对相似三角形，也就是只要有一对相似三角形，有一个对应顶点重合的情况下，必然会出现另外一对相似三角形，并且在旋转过程中会出现A字和8字型的情况，如图可以从以下两种旋转的角度来理解【例29】 我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：_（2）如图（1），在梯形中，垂足为求证：，即四边形是等平方和四边形证明： 如果将图（1）中的绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图（
15、2），那么四边形能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由证明：【答案】（1）菱形或正方形；（2）证明：即四边形ABCD是等平方和四边形 （3）解：四边形ABCD是等平方和四边形.证明：原梯形记为，依题意旋转后得四边形ABCD，连接AC、BD交于点， BC， ， 又， 1=2 又3=4，由（2）的结论得：即四边形ABCD是等平方和四边形【例30】 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在正方形外作正方形，连结，我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形绕着点
16、按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且，（，），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（3）在第（2）题图5中，连结、，且，求的值【答案】（1） 仍然成立 在图（2）中证明如下四边形、四边形都是正方形 ， （SAS） 又 （2）成立，不成立 简要说明如下四边形、四边形都是矩形，且，（，） ， 又 （3） 又， 考点九：“双垂直”模型考点说明:射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例31】 如图，直角中，证明：，【答案】， 同理可得，【例32】 如图，中，点在上，是的中点，于，点是的中点，连接求证：【答案】连接，（射影定理） 考点十：“一线三等角”模型考点说明：一线三等角模型也是相似三角形中常见的图形之一【例33】 如图，求证：【答案】略【例34】 如图，等边的边长为，为上一点，且，为上一点，若，则的长为（ ）A.B.C.D.【答案】课后作业-