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1、反比例函数一个基本图形的认识与运用反比例函数是初中数学中考的重要考点之一，其中的一个基本图形更是考题的有效载体之一，她是反比例函数考题创新任务的主要承载者，也是反比例函数考题亮点的传播者，更是大家把握反比例函数考点变化趋势的窗口，值得深思和探究.下面就从如下几个方面展开探究.一、基本图形的构建及其构件要素 如图1，点A,B是反比例函数y=（k0）在第一象限图像上的两点，直线AB分别于x轴，y轴交于点G,F，作射线OA,OB，且点A（，），点B（，），AOB的面积为S，且. （1）基本图形中的一条重要性质：S=k().证明：过A点作ACx轴，交OB于E点，垂足为C,过B点作BDx轴，垂足为D,因
2、为A（，），B（，），所以OC=,AC=,OD=,BD=,CD=-，因为S=-+S =+-，且=k，所以S=(AC+BD)CD=(+)(-)=()(-)=k().点评：这个三角形的面积与反比例函数中的k，双曲线上两个点的横坐标有关系，只要确定了两个点横坐标之间的关系，三角形的面积就自然确定.根据论证的过程，我们不难发现如下推论：四边形ABDO的面积为k(+1).（2）三个重要函数解析式直线OA的解析式：是正比例函数，解析式为y=x；直线OB的解析式：是正比例函数，解析式为y=x；直线AB的解析式：是一次函数函数，解析式为y=x+.这些解析式都是解题的重要依据之一，也是重要的方法之一，务必牢记.
3、（3）一个重要变式如图1，点A,B是反比例函数y=（k0）在第一象限图像上的两点，直线AB分别于x轴，y轴交于点D,C，作射线OA,OB，且点A（a，b），点B（b，a），则有如下结论成立：直线AB的比例系数为-1； F=G=45；OA=OB,OE=OF,AF=BG,AG=BF；OAFOBG，OBFOAG.利用待定系数法，勾股定理，三角形的全等等就可以证明上述结论，请读者自己给出.二、应用指南（1）用三角形的面积例1 （2018郴州）如图2，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则OAB的面积是 （ ）A4 B3 C2 D1分析：题目是“母题”的具
4、体化应用，这里k=4,=2,=4,直接代入公式计算即可.解：因为k=4,=2,=4，S=，所以S=3，所以选B点评：这是“母题”的直接运用，熟记“母题”的结论，将大大缩短计算时间，大大提高解题的效率，大大提高解题的准确率，退一步，说，既是不能熟记结论，若能熟练驾驭“母题”的计算方法，也能在较短时间内完成解答.（2）求直线的解析式例2 （2018岳阳）如图3，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BCy轴，垂足为点C，连结AB，AC（1）求该反比例函数的解析式；（2）若ABC的面积为6，求直线AB的表达式分析：确定点B的坐标，利用待定系数法实现解题目标解：（1）由
5、题意得，k=xy=23=6，所以反比例函数的解析式为y=；（2）设B点坐标为（a，b），如图3作ADBC于D，则D（2，b）因为反比例函数y=的图象经过点B（a，b），所以ab=6，根据题意，得AD=3-b，所以a(3-b)=6,所以3a-ab=12即3a-6=12,解得a=6,所以b=1，所以B（6，1）设AB的解析式为y=kx+b，将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得，解得，所以直线AB的解析式为y=x+4点评：解答时，用到了解反比例函数问题的两个重要思想，一是整体思想ab=k是解题的重要依据，必须切记；二是熟练用点的坐标表示线段的长度，为解题奠定坚实的计算基础.（3）抓住直线的
6、解析式解题例3（2018贵港）如图4，已知反比例函数y=（x0）的图象与一次函数y=x+4的图象交于A和B（6，n）两点（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=（x0）的图象上，求当2x6时，函数值y的取值范围分析：（1）利用交点坐标的意义和一次函数的解析式确定点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）这是反比例函数性质的具体运用，是单一考点型解：（1）因为点B在直线y=x+4上，所以n=6+4=1，所以点B的坐标为（6，1）因为反比例函数y=过点B（6，1），所以k=61=6（2）因为k=60，所以当x0时，y随x值增大而减小，所以当2x6时，1y
7、3点评：解答时，把握两个关键，一是图像交点的意义，二是点的坐标与函数解析式之间的关系，这是解题的两个重要小知识点，也是函数解题的两个重要依据.（4）求反比例函数解析式和三角形的面积例4（2018大庆）如图5，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作ABx轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求OAP的面积分析：根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，性质即可解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，则反比例函数解析式为y=；（2）如图5，过
8、点A作ACx轴于点C，则OC=4、AC=3，所以OA=5，因为ABx轴，且AB=OA=5，所以点B的坐标为（9，3）；（3）所以点B坐标为（9，3），所以OB所在直线解析式为y=x，设点P的坐标为（a,）,所以=a，解得a=6或a=-6（舍去），所以点P坐标为（6，2），因为k=12,点A的横坐标为4)，点B的横坐标为6，所以OAP的面积为=5.点评：确定正比例函数OB的解析式是本题的一个特点，其次，依托反比例函数的解析式设交点的坐标也是解题的一种非常有效的方法，使得解题避开构造方程组的困惑，便于求解.（5）换位置探解动点的坐标例5 （2018白银）如图6，一次函数y=x+4的图象与反比例函数
9、y=（k为常数且k0）的图象交于A（1，a），B两点，与x轴交于点C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且=,求点P的坐标分析：（1）利用点A在y=x+4上求a，进而代入反比例函数y=求k（2）分类思想求点P的坐标解：（1）把点A（1，a）代入y=x+4，得a=3，所以A（1，3）把A（1，3）代入反比例函数y=，所以k=3，所以反比例函数的表达式为y=（2）联立两个函数的表达式得，解得或，所以点B的坐标为B（3，1），当y=x+4=0时，得x=4，所以点C（4，0），所以=2.设点P的坐标为（x，0），当点P在OC上时即-4x0时，=，因为=,所以=2，整理，得x+4=2,解
10、得x=-2,所以点P的坐标为（-2,0）；当点P在OC的延长线上时即x-4时，=，因为=,所以=2，整理，得-x-4=2,解得x=-6,所以点P的坐标为（-6,0）；所以点P（6，0）或（2，0）.点评：问题中有两个核心问题，一定处理好 一是把交点坐标问题转化为函数解析式联立构造的方程组的解，这一点很常规，但是也很重要；二是灵活运用分类思想确定点P的坐标，分类使得解题思路清晰，分类使得数轴上两点间的距离表示起来显得简洁，有利于自己理解，更利于自己的解答.（6）探解存在性问题例6 （2018长沙）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m1，x0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m
11、），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B（1）求OCD的度数；（2）当m=3，1x3时，存在点M使得OPMOCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由分析：（1）利用直线的特殊解析式确定直线与坐标轴交点成的线段线段，这也是证明线段相等的一种新的尝试；（2）抓相似，建方程，再分类即可解决问题；（3）灵活运用分类思想，解答即可.解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以y=x+m+1，所以D（0，m+1），C（m+1，0），所
12、以OC=OD，所以OCD=45（2）设M（a，），因为OPMOCP，所以,所以=OCOM，当m=3时，P（3，1），C（4，0），所以=10，OM=，所以10=4，所以425+36=0，所以（4-9）（-4）=0，所以a=，a=2，因为1a3，所以a=或2，当a=时，M（，2），PM=，CP=，所以（舍去），当a=2时，M（2，），PM=，CP=，所以=成立，所以M（2，）（3）不存在理由如下：当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x， 当1x5时，如图7中，所以E（，），F（x，），S=-=5xx=4.1，化简得到9+25=0，因为O，所以方程没有实数根，所以重叠面积不能为4.1当x1时，如图8中，S=2.5，所以重叠面积不能为4.1当x5时，如图9中，S=2.5，所以重叠面积不能为4.1综上所述，不存在矩形OAMB与OPQ的重叠部分的面积等于4.1点评：这是一道综合题，首先是知识点的综合：有函数，有方程，有相似；其次是方法的综合，有待定系数法，有因式分解法，有不等式法；最后是数学思想的综合，有方程思想，不等式思想，分类思想，其实还可以多加一种换元思想，对于高次方程通过换元可以化归为常见的一元二次方程.