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1、热点专题6 图形折叠问题图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的性质，所以也便于出题人寻找出题的点因此矩形折叠的题目最多，考的也最多还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠产生了很多不错的题目图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观点分
2、析和解决问题的能力鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题中考要求掌握轴对称图形的性质学会在运动变化中寻求不变的图形性质培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题考向1 矩形的折叠1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AD2AB将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G下列结论：CMP是直角三角形；点C、E、G不在同一条直线上；PCMP；BPAB；点F是CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A2个B3个C4个D5个【解析】 沿着C
3、M折叠，点D的对应点为E，DMCEMC，再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，AMPEMP，AMD180，PME+CME18090，CMP是直角三角形；故正确；沿着CM折叠，点D的对应点为E，DMEC90，再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，MEGA90，GEC180，点C、E、G在同一条直线上，故错误；AD2AB，设ABx，则AD2x，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；DMADx，CMx，PMC90，MNPC，CM2CNCP，CPx，PNCPCNx，PMx，PCMP，故错误；PCx，PB2xxx，PBAB，故，CDCE，EGAB，ABCD，CEEG，CEMG90，FEP
4、G，CFPF，PMC90，CFPFMF，点F是CMP外接圆的圆心，故正确；故选：B2. (2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，H是AB的中点，将CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tanHAP 【解析】 如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BHPH，又H为AB的中点，AHBH，AHPHBH，HAPHPA，HBPHPB，又HAP+HPA+HBP+HPB180，APB90，APBHEB90，APHE，BAPBHE，又RtBCH中，tanBHC，tanHAP，故答案为：3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形
5、，若ABC26，则ACD 【解析】延长DC，由题意可得：ABCBCEBCA26，则ACD1802626128故答案为：1284(2019 江苏省盐城市)如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图；（）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B处，如图，两次折痕交于点O；（）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图探究（1）证明：OBCOED；（2）若AB8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式【解析】（1）证明：由折叠可知，ADED，BCODCOADOCDO45BCDE，COD90，OCOD，在OBCOED中
6、，OBCOED（SAS）；（2）过点O作OHCD于点H由（1）OBCOED，OEOB，BCx，则ADDEx，CE8x，OCOD，COD90CHCDAB4，OHCD4，EHCHCE4（8x）x4在RtOHE中，由勾股定理得OE2OH2+EH2，即OB242+（x4）2，y关于x的关系式：yx28x+32考向2 平行四边形的折叠1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C处，BC与AD相交于点E（1）连接AC，则AC与BD的位置关系是 ；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论【解析】 （1）连接AC，则AC与BD的位置关系是ACBD，故答案为：ACBD；（2
7、）EB与ED相等由折叠可得，CBDCBD，ADBC，ADBCBD，EDBEBD，BEDE2. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为求证：（1）；（2）【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，由折叠可得，；（2）四边形是平行四边形，由折叠可得，又，考向3 正方形的折叠1(2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P恰好
8、为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着AN翻折，点P落在点P处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求PS的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，CN交AD于点F分别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG，请直接写出FH的长【解析】线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下：四边形ABCD是正方形，ABEBCD90，
9、ABBCCD，ABCD，过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形，NFMB，BFAE，BGE90，CBF+AEB90，BAE+AEB90，CBFBAE，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），BECF，DN+NF+CFBE+EC，DN+MBEC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的对角线，BDA45，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分线，AQQE，在RtAHQ和RtQ
10、IE中，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90，AQE90，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45，即AEF45；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，AOOD，AOD90，ODAADO45，当点P在线段BO上运动时，过点P作PGCD于点G，过点P作PHCD交CD延长线于点H，连接PC，点P在BD上，APPC，在APB和CPB中，APBCPB（SSS），BAPBCP，BCDMPA90，PCNAMP，ABCD，AMPPNC，PCNPNC，PCPN，APPN，P
11、NA45，PNP90，PNH+PNG90，PNH+NPH90，PNG+NPG90，NPGPNH，PNGNPH，由翻折性质得：PNPN，在PGN和NHP中，PGNNHP（ASA），PGNH，GNPH，BD是正方形ABCD的对角线，PDG45，易得PGGD，GNDH，DHPH，PDH45，故PDA45，点P在线段DO上运动；过点S作SKDO，垂足为K，点S为AD的中点，DS2，则PS的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EGAG，PHFH，AE5，在RtABE中，BE3，CEBCBE1，BECQ90，AEBQEC，ABEQCE，3，QEAE
12、，AQAE+QE，AGMN，AGM90B，MAGEAB，AGMABE，即，解得：AM，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，BM，AC1，BAD90，BAMCFA，AFCMAB，解得：AF，DF4，AGMN，FHMN，AGFH，AQFP，DFPDAQ，即，解得：FP，FHFP考向4 三角形的折叠(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）直线1是经过点P的一条直线，把ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B（1）如图1，当PB4时，若点B恰好在AC边上，则AB的长度为 ；（2）如图2，当PB5时，若直线1AC，则BB的长度为
13、 ；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，ACB的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB6时，在直线1变化过程中，求ACB面积的最大值【解析】（1）如图1中，ABC是等边三角形，A60，ABBCAC8，PB4，PBPBPA4，A60，APB是等边三角形，ABAP4故答案为4（2）如图2中，设直线l交BC于点E连接BB交PE于OPEAC，BPEA60，BEPC60，PEB是等边三角形，PB5，B，B关于PE对称，BBPE，BB2OBOBPBsin60，BB5故答案为5（3）如图3中，结论：面积不变B，B关于直线l对称，BB直线l，直线lAC，ACBB，SACBSACB8216（4）如图4中，当BPAC时，ACB的面积最大，设直线PB交AC于E，在RtAPE中，PA2，PAE60，PEPAsin60，BE6+，SACB的最大值8（6+）4+24