高二数学教学设计与反思的要求.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高二数学教学设计与反思的要求课题:第二章 第一节 椭圆的定义及方程(第一课时).高二数学教学设计与反思的要求课题:选修1-1第二章 第一节 椭圆的定义及方程(第一课时)教学设计.设计者:王艳坤思想方法:运用类比方法研究椭圆图形和方程,用实验的方法进行教学,用数形结合方法研究椭圆的性质.教学目标:1通过本节课课前及课堂上复习圆的定义和研究方法的类比研究过程,使学生探索、

2、理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程求法.2能够完成由实验到数学的抽象过程,复习和巩固求曲线轨迹方程的基本方法.3能够理解数形结合的基本思想,理解椭圆轨迹和方程之间的关系,进一步提高学生解析能力.教学重点:1椭圆的定义和椭圆的标准方程的求法.2数形结合的基本思想,理解解析法,椭圆曲线和方程之间的相互关系.教学难点:1数形结合的基本思想.2建立适当的坐标系,求椭圆标准方程.教学关键:创设直观情境,运用好类比思想以及数学结合思想.教学方式:体验式探索.教学手段:实验,多媒体演示.学生特点:本节课的教学对象为普通高中文科学生,数学基础很弱.教学过程1创设情境实验:把一个小重物系在绳子的一端,然后握住绳

3、子的另一端,把重物旋转起来,观察重物运行到轨迹.学生完成:讨论结果、进行总结.在平面内,动点所形成到轨迹是一个圆.在空间内,动点所形成的轨迹是一个球.2复习数学思想圆是平面几何图形,在欧式几何中已有系统的研究,人们在已知定点(即圆心),定长(即半径)条件下,研究了周长和半径的关系由此得到了圆周率,还有面积、体积和其它的许多性质。想一想,在圆的轨迹形成的过程中,满足什么样的条件才能形成圆?学生回答:到圆心距离等于半径.复习总结圆的定义:到定点的距离等于定长的点的轨迹.老师在黑板上按照条件做出圆的轨迹来,接下来,让同学把刚才的实验转移到练习本上,在练习本地画出由条件“到定点的距离等与定长的点”限制

4、下的图形圆,让学生慢慢地体会概念的由来,对概念有更深刻印象.怎样更加精确研究这个动点呢?因为需要精确的原因,就需要数据的支持,怎么样用数来表示图形呢?这个转化可是数学史上一个非常重要的思想数学结合思想.在直角坐标系下,把动点引入二元数x,来限定表述(x,y),显然我们可以用x,二元数来分析这个图形上的每一个点. 这样我们就需要建立直角坐标系,建立直角坐标系后,任意的动点就有了坐标(x,y),动点不论在任何位置都可以用点的坐标表示出来. 从上面一系列的分析来看,在直角坐标系下,图形要经过点的坐标转化变成用两个变数x,y表示的式子(即方程);反过来方程的数量关系,完全可以反映图形的一切性质上,这就

5、是数与形的结合,又称为数形结合的数学思想. 把圆的定义满足的几何条件=r转换成代数方程,得,化简得圆心在原点的圆的标准方程:x+y= r。圆心在原点的圆=r x+y= r圆心在原点的圆=r x+y= r当把圆图形不变圆心平移至C(a,b)时,我们可以用两种方法来求圆的方程,一种是:把几何条件=r直译成代数方程,化简方程得(x-a)+(y-b)= r;另一种方法是:由方程x+y= r按向量(a,b)进行平移,同样可以得到圆的方程(x-a)+(y-b)= r.(一题多解是转化的载体)x+y= r(x-a)+(y-b)= rx+y= r(x-a)+(y-b)= r下面我们要就利用数形结合的数学思想来

6、研究其它曲线的性质,这一节课我们类比圆的研究方法来研究椭圆的方程和性质.(数学思想的教学,由实验抽象出数学形式,定性研究)3新课类比学习椭圆定义在学习圆锥曲线的时候,我们首先学习的是椭圆的方程和几何性质,那么我们类比圆的定义和性质来研究,首先来做一个实验.实验过程由老师与学生的共同参与活动:在上面实验研究的基础上,启发学生开放思想,大胆把条件进行变换,如果把一个定点分离成两个定点,会变成怎样一种情形?问题就变成“到这两个定点的距离和等与定长的点的轨迹”是什么?让学生自己也动手来做一做实验,找一找动点的位置,说一说动点的轨迹是什么图形. 经过探索这个点运动的轨迹,得到初步的印象,有了一定的实验结

7、果,再由老师和学生共同梳理不同的实验结果下的结论,然后老师再把实验转移到黑板上,和同学们共同完成对动点轨迹的探寻。根据条件由两个定点和定长的线段共同限制下画出椭圆的图形,再由这些实验带来的信息,共同协商确定椭圆的定义.板演画图过程:首先出示一条确定长度的短绳,充分展示是短绳的长度是确定的,也称之为定长. 在黑板上取两个定点,注意到定点的取法有三种,我们分三种情况进行讨论,第一种情况,绳长大于两个定点之间的距离;第二种情况,绳长等于两个定点之间的距离;第三种情况,绳长小于两个定点之间的距离. 第一种情况,两个定点的距离小于绳子的长度,把绳的两个端点分别放在两个定点上,拉直在绳子改变形状,绳子的长

8、度不会该变,使点在移动的过程中始终保持到两个定点的距离和不变,下面我们在黑板所在的平面内找动点的位置以及运动形成的轨迹. 哪个同学对这个问题很感兴趣?愿意帮助老师找到满足条件的点呢?好!让学生们进行探讨,然后请愿意表现的同学到黑板前面来,找出这些动点,用这些动点连接成一条曲线,观察这个图形,我们创造的这个图形为椭圆. 接下来第二种情况,再取绳长等于两个定点之间的距离,找几个学生到黑板上画这样的动点,使动点到两个定点的距离和等于绳长,经过试验、寻点、思考后学生认为这些动点构成了一条以两个定点为端点的一条线段,即动点的轨迹是以定点为线段端点的一条线段. 第三种情况,绳长小于两个定点之间的距离时,找

9、不到满足条件的点,画不出图形. 在这三种情形中,有两种情形动点的轨迹是图形,其中一个是椭圆,另一个是线段,第三种情况不表示任何图形. 在这些感性的认识基础上,我们进行归纳、总结,得出准确可靠的结论,给出椭圆的严密定义: 平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。F1, F2叫做椭圆的焦点;叫做椭圆的焦距. 接下来我们在焦点不变的情况下,把定长变大或变小,再由同学亲自动手画一些其他的椭圆,以加深对椭圆的感性认识。学生实际操作的过程热情很高,气氛非常好,听讲时,精力非常集中,紧紧盯着黑板,这说明教学效果很好. 有了画图形的实际操作经验,再让学生认真回味刚才画图

10、的过程,从感性上体会椭圆、从理性上领悟椭圆的定义以及定长的变化对图形形状的影响,学生会从我们实验的条件变更当中得出新结论,总结出:当定点距离不变时,定长越长时,图形越接近于圆形,椭圆越鼓;定长越短时,图形越接近于一条直线,椭圆越扁平。条件再度变更:在定长不变,改变两个焦点的位置的情况下再来画一组椭圆,体会条件变化对图形的影响. 黑板上这样一个几何图形,是一条曲线围成的封闭图形,是我们不太熟悉的椭圆,在我们生活当中是比较常见的,当我们拿手电筒去照射垂直于光线的一个平面的时候,我们发现光斑所形成的是一个圆,当我们把平面变动或者是把手电筒移动使光线与平面呈一定角度时,所形成到光斑就是一个椭圆;在自然

11、界一些天体的运行轨迹也是椭圆。由此可见,对椭圆的研究是源于人们对自然界的探索.4运用数形结合求椭圆的方程接下来我们要精确地研究椭圆的性质,再引导学生来思考怎样来研究这样一个新的图形的性质:我们如果要精确地得到它的各种性质,当然是离不开数的精确描述. 联想天体的运动轨迹是椭圆,再联想到科学家的对天体研究以及轨道预测和精确定位,这些都离不开一种精确的计算方法,这就是对“数”的计算,而我们得到的椭圆图形,图形和数是否有联系呢?当然有,类比圆的研究方法,建立直角坐标系,用数与形结合思想的最好范例解析法来研究几何图形,也就是把动点用数来表示,满足的几何条件转化为方程表示. 好,这样我们就把数和形又一次地

12、联系起来. 通过上面到方法我们知道,首先要建立直角坐标系,在建立直角坐标系时,我们按照使数据尽量小,使方程尽量简单的原则,把两个坐标轴分别建立在椭圆到对称轴上. 设两个焦点之间距离是2c,定长为2a,然后,设椭圆上任意一点P的坐标(x,y),把P(x,y)到两个定点F1(-c,0),F2(c,0)的距离和等于定长2a的几何条件转化成代数方程,使图形与方程之间建立联系,我们就可以从方程的形式上,来研究得到椭圆的一些相应的性质.推导椭圆标准方程推导方程:(以下方程推导过程由学生完成)建系:以F1和F2所在直线为x轴,线段F1 F2的中点为原点建立直角坐标系;设点:设M(x,y)是椭圆上任意一点,设

13、=2c,则F1(-c,0),F2(c,0);列式:由+=2a得;化简:移项平方后得, 整理得,两边平方后整理得,由椭圆的定义知,2a2c,即ac,令,其中b0,代入上式,得,两边同时除以,得:(ab0).从上述推导过程可知,这个椭圆是所有以方程(ab0)的解为坐标的点组成的. 这就是说,如果M(x,y)是椭圆上的点,那么(x,y)一定是这个方程的解;反过来,如果(x,y)是方程(ab0)的解,那么以它为坐标的点一定在这个椭圆上,这样,我们就说方程(ab0)是这个椭圆的方程.这个方程叫做椭圆的标准方程,它的坐标轴为对称轴,它表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F(c,0)、F(c,0),其中b ac

14、.根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简. 即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了.5练习: 动点P(x,y)到两定点A(3,0)和B(3,0)的距离的比等于2 ,求动点P的轨迹方程?解:, ,化简得(x5)+y=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.6小结:这节课我们利用了重要的数学思想方法数学结合,研究了椭圆的定义及其标准方程,主要学习了这几个方面的问题:(1)椭圆的定义;(2)椭圆的标准方程推导;(3)通过这一节课的学习掌握解析几何的基本思想和研究方法。7作业:(1)P42,练习A第1,2,3,4题.(2)预习第二节椭圆标准方程8反思预期效果(目标能否实现,提问、活动的针对性、有效性,预期效果等)利用了重要的数学思想方法数学结合,研究了椭圆的定义及其标准方程,同时也有动手动脑的实践活动,教学预期效果较好,课堂气氛很活跃,学生也愿意到前面参加演示活动,也自己动手动脑想了一些画图方法,学生学习兴趣很高,在思考怎样画图时也对原理进行了探究,教学目标顺利实现。-

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