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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date等差数列及其前n项和(二)XDBFBWTBXSM(HT9等差数列及其前n项和（二）一、知识梳理1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2 等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3 等差中项如果A，那
2、么A叫做a与b的等差中项4 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列5 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6 等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn，(A、B为常数)7 等差数列的最
3、值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值方法与技巧1 等差数列的判断方法(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn (A、B为常数)an是等差数列2 方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解失误与防范1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq，必须是两项相加，当然也可以是aptapt2ap.2当公差d0时，等差数
4、列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数3公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列二、基础练习1 设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.2 已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则的值为_3 已知等差数列an中，a3a822，a67，则a5_.4设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D245在等差数列an中，已知a4a816，则该数列
5、前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176三、例题分析题型一等差数列基本量的计算例1在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值知识小结：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1； (2
6、)求d的取值范围题型二等差数列的前n项和及综合应用例2(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和知识小结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前n项和SnAn2Bn (A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n
7、项和题型三等差数列性质的应用例3设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180 (n6)，求数列的项数n.知识小结：本题的解题关键是将等差数列性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2 (nN)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_四、训练习题一、选择题1等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1 B2 C3 D42 数列an为等差数列，a1033，a21，Sn为数列an的前n项和，则S202S10等于()A40 B200 C400 D203 已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有 ()Aa1a1010 Ba2a1000，前n项和为Sn，a2a345，a1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn (nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由-