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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第二十一章 目标规划1 目标规划的数学模型为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。例1 某工厂生产I，II两种产品，已知有关数据见下表 I II 拥有量 原材料 kg 2 1 11 设 备 hr 1 2 10 利润 元/件 8 10试求获利最大的生产方案。解 这是一个单目标的规划问题，用线性规划模型表述为：最优决策方案为：元。但实际上工厂在作决策方案时，要考虑市场等一系列其它条件。如（i）根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势，故考虑产品I的产量不大于产品II。（ii）超过计划供应的
2、原材料，需要高价采购，这就使成本增加。（iii）应尽可能充分利用设备，但不希望加班。（iv）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。这样在考虑产品决策时，便为多目标决策问题。目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。1. 正、负偏差变量设为决策变量的函数，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分，这里表示的目标值。因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有。2. 绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约
3、束。目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。如：例1的目标函数可变换为目标约束。绝对约束可变换为目标约束。3. 优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子，次位的目标赋于优先因子，并规定。表示比有更大的优先权。以此类推，若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分
4、别赋于它们不同的权系数，这些都由决策者按具体情况而定。4. 目标规划的目标函数目标规划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是。其基本形式有三种：（1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时（3）要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目标函数，以下用例子说明。例2 例1的决策者在
5、原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品II的产量不低于产品I的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求决策方案。解 按决策者所要求的，分别赋于这三个目标优先因子。这问题的数学模型是目标规划的一般数学模型为建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。2 多标规划的Matlab解法多目标规划可以归结为使得其中和是向量，和是矩阵；和是向量函数，他们可以是非线性函数。是所考虑的目标函数，是欲达到的目标，多目标规划的Matlab函数fgoalattain 的用法为 x,fval= fgoalat
6、tain(fun,x0,goal,weight) x,fval= fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) x,fval= fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) x,fval= fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)其中fun是用M文件定义的目标向量函数，x0是初值，weight 是权重。A,b定义不等式约束A*xb，Aeq,beq定义等式约束Aeq*x=Beq，nonlcon是用M文件定义的非线性约束c(x)0，ceq(x)=0。返回值f
7、val是目标向量函数的值。要完整掌握其用法，请用 help fgoalattain或 type fgoalattain查询相关的帮助。例3 求解多目标线性规划问题解 （i）编写 M 函数 Fun.m:function F=Fun(x);F(1)=-100*x(1)-90*x(2)-80*x(2)-70*x(4);F(2)=3*x(2)+2*x(4);（ii）编写 M 文件 a=-1 -1 0 0 0 0 -1 -1 3 0 2 0 0 3 0 2;b=-30 -30 120 48;c1=-100 -90 -80 -70;c2=0 3 0 2;x1,g1=linprog(c1,a,b,zeros
8、(4,1) %求第一个目标函数的目标值x2,g2=linprog(c2,a,b,zeros(4,1) %求第二个目标函数的目标值g3=g1;g2 %目标goal的值x,fval=fgoalattain(Fun,rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,zeros(4,1)%这里权重weight=目标goal的绝对值就可求得问题的解。习题二十一1. 试求解多目标线性规划问题 s.t. 2一个小型的无线电广播台考虑如何最好地安排音乐、新闻和商业节目时间。依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元，新闻节目每分钟需支出40美元，音乐节目每播一分钟费用为1
9、7.50美元。法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20%，每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的广播节目该如何安排？优先级如下：满足法律规定的要求；：每天的纯收入最大。试建立该问题的目标规划模型。3. 某工厂生产两种产品,每件产品I可获利10元，每件产品II可获利8元。每生产一件产品I，需要3小时；每生产一件产品II，需要2.5小时。每周总的有效时间为120小时。若加班生产，则每件产品I的利润降低1.5元；每件产品II的利润降低1元。决策者希望在允许的工作及加班时间内取最大利润，试建立该问题的目标规划模型，并求解。第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控
10、制论专家A. Zadeh教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。这门学科经过多年的发展。它在现实世界中的应用越来越广泛。1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。不含任何元素的集合称为空集，记为。由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为。若集合，则将集合称为集合的补集，记为。集合及其性质可用所谓特征函数来描述。定义1 设为全集，为的子集，则集合的特征函数指的是到集合的一个映射其中对应规则满足集合的特征函数具有以下性质：，记作，记作1.2 模糊集合1.2.1
11、 模糊集合的概念对于普通集合及其余集，任何元素或，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是或有且仅有一个成立。然而，客观世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由两个数扩展到闭区间，这就是建立模糊集合的基本思想。下面我们把所讨论对象的全体称为论域。定义2 给定论域，模糊集合指的是论域到区间的一个映射对一切，唯一确定实数，使得；用这个数表示属于的程度；其中函数称为的隶属度。而对于元素，函
12、数值称为元素关于的隶属度。表示模糊集合，表示模糊集合。由于模糊集合总是论域的子集，故也称为模糊子集。模糊子集通常记为。由于普通集合就是隶属函数值仅取0或1的特殊的模糊集合，为了方便起见，我们不加区别地采用大写字母等表示模糊集合，其隶属函数一律记作等。例1 以年龄作为论域，取，模糊集合与分别表示概念“老年人”和“年轻人”，取隶属函数为隶属函数和隶属度是模糊数学中的重要概念，隶属函数不是唯一的，例如关于“老年人”的隶属函数也可以取为1.2.2 模糊集合的表示方法设论域为，则模糊集合可表示为其中“/”不表示除法运算，仅表示为元素，为的隶属度。若论域为有限论域；即设，则还可以表示为（1） 同样，加号与
13、除号仅是一种记号，并不表示加、除运算。（2） 称为向量表示法。一般地，当时，称为模糊向量。1.2.3 模糊集合的运算定义3 设论域为，的所有模糊集合作为元素构成的普通集合称为的模糊幂集，记为。定义4 设论域为，和是的模糊集合，即，。如果对一切有，则称模糊集合包含，记为；如果对一切，有，则称与相等，记为。定义5 设论域为，和是的模糊集合，即，。它们的隶属函数分别为和。与的并集是的模糊集合，记为，其隶属函数为与的交集是的模糊集合，记为，其隶属函数为的余集是的一个模糊集合，记为，其隶属函数为其中，“”和“”是取“最大”与“最小”的意思。定义6 设论域为，是的模糊集合，且，令则称为的一个截集，其中称为
14、阈值或置信水平。由定义知，的截集就是中所有对的隶属度大于或等于的全体元素组成的普通集合。例2 设论域，则，。定义7 设论域为，为的模糊集合，与的模糊截积记为，其隶属函数为。特别地，当为普通集合时有模糊截积具有以下性质：。1.3 模糊矩阵定义8 称为模糊矩阵，如果对一切，有。当仅取0或1时，为布尔矩阵。定义9 设和为两模糊矩阵，如果对一切有，则称和相等，记为；如果对一切有，则称包含，记为。定义10 设和为两模糊矩阵，则和的并定义为，与的交。定义11 设为模糊矩阵，令则称布尔矩阵为的截矩阵，记为。例如则定义12 模糊矩阵与的合成是一个行列的模糊矩阵，记为，其中，又称为与的模糊乘积。例3 设模糊矩阵
15、，则1.4 模糊关系及其合成运算两个非空子集与的笛卡儿乘积定义为一个关系：，的子集称为到的一个关系，记为。当时，则称与有关系，记为，否则称与没有关系。类似地，我们有定义13 设为两非空集合，以为论域的模糊集合确定到的一个模糊关系，记作，其中对任意，关于模糊集合的隶属度记为，它表示与关于模糊关系的相关程度，记为，特别地，当的值仅取0或1时，就是到的普通关系。所以普通关系是模糊关系的特殊情况，因此我们不加区别地用等表示模糊关系，并且将模糊集合的隶属函数称为模糊关系的隶属函数，记为。模糊关系可以用模糊矩阵来表示，即定义14 设，都是有限论域，到的模糊关系，对一切，令，则称模糊矩阵为模糊关系的矩阵表示
16、，在不出现混淆的情况下仍记为。模糊关系存在合成运算。定义15 设为三个非空集合，到的模糊关系与到的模糊关系的合成是一个到的模糊关系，记作，其中对一切有。定理1 设，和是三个有限论域，模糊关系，的矩阵表示分别为，则模糊关系的矩阵表示就是模糊矩阵与的合成。定理2 设和是两个非空集合，为到的模糊关系，对任意可以唯一确定到的普通关系，其中对一切，当且仅当时，有，即则称为的截关系。截关系可以用截矩阵表示。2 模糊分类问题实际工作中有这样一类问题，已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确，这就是模糊模式识别的问题。这类问题的特点是：几个模型是模糊的，而待识别对象是明确的。这类问题的一般提法是：已知论域的若干个模糊集合，对于的某个特定元素，判定相对隶属于哪一个模糊集合。2.1 最大隶属原则以上提到的识别问题，一般情况可以用最大隶属原则识别。最大隶属原则：设论域为，是的个模糊集合，对于，如果则可以认为相对隶属于。2.2 阈值原则在识别问题中还会出现以下两种情况，一是待识别对象关于模糊集合中的每一个的隶属度都相对较低，这说明模糊集合对元素【精品文档】第 259 页