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1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛
2、规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日赛
3、区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于多目标规划的创意平板折叠桌设计摘 要有创意的平板折叠桌相对于传统的桌子来说更加美观、方便以及节省空间。本文针对已经设计好的折叠圆桌建立模型描述折叠桌的动态变化过程，首先在此基础上确定出折叠圆桌的数学描述模型，然后通过改变敏感性参数优化该模型，最后根据优化后的参数构建新的折叠桌。问题一是描述折叠桌在折叠过程中变化过程
4、，首先建立适当的空间直角坐标系，分别找出桌面圆、钢筋直线、直纹面以及木条相对于竖直方向的倾斜角的数学表达式，然后建立了动态变化过程的数学模型。最后设计算法通过matlab计算出桌腿木条的开槽长度，详见表1，并给出了桌脚边缘线的数学模型见公式(13)。问题二是一个对客户任意给定折叠桌高度、直径，设计出同时满足产品稳固性好、加工方便以及用材最少三个目标的折叠桌的问题。在固定钢筋的桌腿木条上，以最外侧桌腿木条长度和钢筋到木条底端长度为决策变量，以钢筋位置和折叠桌最外侧木条长度的变化范围为约束条件建立多目标规划模型，并采用分层序列法对目标按重要性进行排序求解。假定平板宽度和木条厚度在第一问基础上不变的
5、情况下，运用matlab变成求解得出平板的尺寸为，钢筋位置为距离平板边缘处，每根木条开槽长度见表3。问题三开发一种能根据客户任意指定的信息设计出尽量满足客户要求的折叠桌的问题，建立出了各种桌面边缘线以及桌脚边缘线的数学优化模型，详见公式(27)、(28)。然后根据建立的模型设计出了桌面形状为椭圆、双曲线，桌脚边缘为圆弧的折叠桌。动态变化过程的示意图见图8。最后，我们对模型的优缺点进行评价，并针对某些缺点和假设条件提出进一步的改进思路，并将模型推广到其它生活用品以及蛋白质的折叠仿真等方面。关键词： 平板折叠桌；加工参数；直纹曲面；多目标规划一、 问题重述1.1 问题背景平板折叠边桌注重于表达木质
6、品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性1增大面积桌面设计为圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽一保证滑动的自由度，使用者只需提起木板的两侧便可以在重力的作用下达到自动升起的效果。桌子外形由直纹曲面2构成，造型美观。1.2 问题提出某公司要生产平板折叠边桌，需要我们解决以下问题：1给定尺寸为的长方形平板，每根木条宽，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子高。建立模型描述此折叠折叠桌的动态变化过程以及给出折叠桌的设计加工参数（桌腿木条的开槽长度
7、）和桌脚边缘线的数学表示。2折叠桌的设计要达到产品稳固性好、加工方便、用材最小三个目标。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，如平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。然后基于以上的要求确定桌高，桌面直径是得最有设计加工参数。3公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状的尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。需要我们给出软件设计的数学模型，然后用所建立的模型设计几个创意平板折叠桌，并且给出相应的设计加工参数，画出不少于8张
8、动态变化过程的示意图。二、 问题分析2.1 整体分析本题首先是对已经设计出的折叠桌进行分析其动态变化过程以及对应的加工参数和桌脚边缘线的形状，目的是分析清楚每个因素之间的相互关系。然后在此基础上进行一定程度的深化，要对任意给定的高度和直径（不确定的高度和直径）的设计要求设计出满足不同对象（投资者、生产者、消费者）要求的圆形折叠桌，并确定材料和成品的最有设计加工参数。最后要根据客户的任意要求开放性的进行设计出尽可能接近客户所期望的形状的折叠桌，会涉及到不同形状平板材料以及不同加工参数，因此需要确定一个可以适用于多种情况的数学模型。三个问题层层递进，逐步将模型推广到与实际更加接近的情况，难度也随之
9、增大。2.2 关键问题分析圆桌半径的确定关键问题一圆桌的半径影响桌腿每根木条的长度以及倾斜角度，进而影响圆桌的高度，因此求出圆桌的准确半径至关重要。圆桌半径取决于桌面上每根木条的长度，且每根长度是未知的，因此不能直接运用几何知识求解，可以采用图像处理软件找出半径。桌腿上每根木条长度的计算关键问题二桌腿木条的长度影响桌脚边缘的形状。确定桌腿木条长度有两种方法。一种是根据其与桌面上木条长度一半之和为定长的特点确定出桌腿上每根木条的长度，另外一种就是建立直角坐标系，确定出两端点的坐标，根据坐标求出两点之间的距离即是它的长度。直纹面方程的确定关键问题三直纹面4是由一簇直线生成，图中的直纹面同时在桌面圆
10、和钢筋所在直线上运动，即直纹面始终满足桌面圆的方程和钢筋所在直线的方程。因此直纹面就是由桌面圆和钢筋所在直线共同决定。2.3 具体问题的分析问题一的分析：折叠桌的动态变化过程即是在桌子折叠过程中形成直纹面的变化过程。折叠过程中，桌腿每根木条与竖直方向形成的夹角发生改变，直纹面也因此改变。但是，由于直纹面上每根木条同时在圆桌边缘和钢筋上运动，同时满足桌面边缘和钢筋所在的方程。我们可以以此建立模型描述折叠桌的动态变化过程。设计加工参数（开槽长度）与折叠桌的初始状态（平板）和折叠到最大程度时的状态有关，因此需要找出木条的倾斜范围。桌脚边缘线既满足在直纹面上，又满足每根木条为直线，同时满足这两个条件的
11、方程即是它的数学描述。问题二的分析：钢筋的位置以及桌腿木条的张开程度影响产品的稳固性，要使产品的稳固性好，就要对分析钢筋的运动范围以及在运动范围内的最佳位置，木条的张开程度越大越稳固；木条的开槽长度影响加工的方便程度，开槽越短越方便；用料的多少受平板面积的影响，平板尺寸影响平板面积，当满足要求且面积最小时用料为最省。最后再确定给出桌高和桌面直径后的最优加工参数。问题三的分析：要设计一种软件能根据客户任意设定的要求进行设计，并且给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，因此所设计的软件应该具有通用性，在此基础上自己设计几个创意平板折叠桌并给出相应的加工参数，然后画出动态变化过程的示
12、意图。三、 问题假设全文假设1.假设折叠桌腿在圆桌面的周围折叠处的部分忽略不计，不影响圆面的半径；2.假设计算过程中每根木条的厚度不计，即可以抽象成为一条直线；3.假设木板之间的缝隙很小，可以忽略不计。问题一中的假设1.假设桌面形状为标准圆；2.假设可以忽略桌面厚度，即将桌面视为一张二维平面问题二中的假设1.假设平板宽度就是桌面圆的直径；2.假设木条宽度和厚度与问题一一致；问题三中的假设假设木条宽度和厚度与问题一一致四、 符号说明符号说明桌面圆的半径每根木条与轴的夹角折叠桌高度第根木条在圆桌面上的长度钢筋到桌面边缘区间各木条的长度木板宽度注：由于图形的对称性，下面再讨论时只对一边的桌腿形成的直
13、纹面进行讨论。五、 模型准备5.1确定圆桌的半径：问题一中将桌面看为一个标准圆，将每根木条与圆的交点作为像素点导入CAD软件中，软件自动确定出圆的半径。问题二和问题三中以平板的宽度作为直径，将问题进行了简化。5.2有宽容值的分层序列法有宽容值的分层序列法把多目标规划问题中的个目标按其重要程度排一个次序，假设最重要，次之，再次之最后一个目标为，选取一组适当的小正数，成为宽容值，于是得到有宽容值的分层序列法；= 得最优解及最优值，则在就是原多目标规划问题在有宽容值的分层序列意义下得最优解，六、 模型的建立与求解6.1 折叠桌动态变化过程、加工参数和桌脚边缘线的确定问题一6.1.1建模原理和思想要描
14、述折叠桌的动态变化过程即是要找出每根木条随倾斜角度变化而变化的运动轨迹，是一个空间的变化过程，需要在空间坐标系中进行分析，所以首先就需要建立适当的空间直角坐标系。折叠桌的动态变化过程可以分文两个部分分别进行分析，即桌面圆和桌腿两个部分，桌面圆受半径的影响。桌腿的变化又分为直纹面的运动、钢筋的运动和倾斜角的改变，因此我们分别从桌面圆、直纹面、钢筋和倾斜角四个方面来描述折叠桌的动态变化过程。流程如下：图表 1 问题一具体流程图6.1.2建立折叠桌动态变化过程的描述模型第一步：建立空间直角坐标系由于折叠桌的动态变化过程是在三维空间中进行的，为了更加清晰地表达，因此要建立空间直角坐标系。我们用软件画出
15、空间直角坐标系示意图如下：图表 2 坐标系示意图如上图所示，我们以桌面的下表面的圆心为坐标原点、沿着桌面且垂直于木条的方向为轴正方向、沿着桌面平行于木条方向为轴正方向、垂直桌面向下为轴正向建立空间直角坐标系。其中，图中虚线表示被遮挡的部分。第二步：确定桌面圆的方程根据问题一中的假设1将桌面圆可以近似为标准圆，因此圆桌的下表面（平面）的方程为：(1)其中，、分别表示圆桌面与直纹曲面的交点。将图像中所有的像素点导入中可以求出半径。第三步：钢筋所在直线方程的确定钢筋在旋转过程中始终平行于平面，设在折叠过程中固定钢筋的木条与平面形成的夹角为，钢筋固定点的坐标为,固定钢筋的木条长为，桌面圆的半径为，折叠
16、时坐标点与夹角的关系用表示，即：(2)在桌子折叠过程中，不随角度改变，随角度以及固定钢筋的木条的长度变化的过程可以表示为：(3)因此，钢筋所在直线的方程最终可以表示为：(4)第四步：确定直纹面直纹面上的每根木条同时在钢筋所在直线的方程上和桌面圆上运动，设点在圆上，点在钢筋上同步运动，所以指纹面的方程如下：(5)代入、得到： (6)第五步：桌腿上木条相对轴方向的倾斜角由于对称性，我们只考虑平面内轴正向的部分。设表示图3中从坐标原点到第根木条的距离。在折叠过程中，考虑最外侧两跟木条着地的特殊情况，它与地面形成的等腰梯形如下图所示：图表 3 木条与地面形成的图形图中线段GH为两根钢筋间的距离，AD为
17、对称的两桌脚点得连线。线段FE表示第根木条在圆桌面上的长度，AF和DE表示第根木条对应的桌腿的长度且AF=DE，AD表示两对称桌脚间的距离，FB表示桌子的高度，FM的长度为。图中即是桌腿木条与轴方向形成的夹角，即其倾斜角。令AB的长度为，GM的长度为，它们之间有如下关系： (7)木条的倾斜角随着折叠桌高度的变化而变化，假设当高度为时对应的倾斜角为，则可以建立高度与倾斜角间的关系式为：(8)最终求出每根木条相对于相对轴方向的倾斜角的表达式：(9)第六步：动态方程的最终描述折叠桌在折叠过程中，桌面圆、直纹面、钢筋、木条与竖直方向的倾斜角都在相应的变化，因此，这四个部分的运动状态结合在一起就是整个折
18、叠桌的运动状态模型。6.1.3开槽长度的确定 1处于平板状态时钢筋到桌面边缘区间各木条的长度为方便表述，我们用几何画板画出折叠桌处于平板状态时的图形（后文同样采用几何画板画图），如下图所示： 图表 4 折叠桌的平板示意图如图所示，B点为处于平板状态时钢筋与其中一条木条的交点（开槽上端点），A点为折叠到最终状态时钢筋与此木条的交点（开槽下端点），线段AB的长度就是对应木条的开槽长度。当处于平板状态时钢筋与平板的边缘平行，因此每根木条的上端点到平板边缘的距离相等，均为线段BC的长度。并且。设此时钢筋到桌面边缘区间各木条的长度为，表示第根木条在圆桌面上的长度。则长度为：(10)2折叠到最大程度时钢筋
19、到桌面边缘区间各木条的长度当桌面折叠到最大程度时，钢筋滑动到每根木条开槽位置的下端点，如图5在点A、B所在木条上钢筋从B点滑倒A点位置，因此，线段AB的长度就是该木条的开槽长度。折叠到最大程度时，第根木条与竖直方向形成一个夹角。以一根木条为例，将它与钢筋的交点投影到桌面圆上，如图所示：图表 5木条的投影示意图图中A点表示木条上钢筋所在的位置，C点表示桌面的边缘位置，线段AC为折叠到最大程度时钢筋到桌面边缘区间该木条的长度，B点表示A点在桌面上的投影。因此。当折叠到最大程度时，钢筋到桌面的距离即AB的长度为桌面高度的一半。设折叠到最大程度时钢筋到桌面边缘区间每根木条的长度为，则：(11)3每根木
20、条的开槽长度设每根木条的开槽长度为，则：(12)6.1.4桌脚边缘线的确定桌脚边缘线有两个特点：1、 在直纹面上；2、 桌脚边缘线上与桌面圆上对应的点在一条直线上；3、 两点间距离等于对应桌腿的长度，且每根桌腿长度与对应的桌面上木条长度的一半之和为定长。首先取桌面圆上一点，该点在直纹面上对应直线与钢筋的交点为，则两点间直线的方程为：(13)其中，取求出的直线与桌脚边缘线的交点为，因此两点间的距离等于对应桌腿的长度：(14)并且桌腿上每根木条满足条件：。因此桌脚边缘线的数学描述可以表示为：(15)其中表示在取值范围内的变化形成的直线簇。6.1.5模型计算1、简化模型：本题通过对创意平板折叠桌的平
21、板尺寸进行研究计算参数，根据全文假设1、3，在实际描述数学模型中，将木板厚度忽略，达到简化数学描述模型的目的，使得计算表达该模型更为简单。2、计算思想：通过圆标准方程计算坐标y值和勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质的应用，得到具有具体参数的描述模型，进而分别计算出折叠桌的设计加工参数（即桌腿木条开槽长度）和桌脚边缘线的数学描述。由于进行了简化模型将木条看做线条，故利用plot3进行三维作图。3、计算步骤：开槽长度：在问题一假设1、2的前提下可计算以下步骤，得到开槽长度。Step 1：以模型准备中的坐标轴建立最终状态的坐标轴即折叠桌状态，易得圆桌每根木条x轴的坐标点，根据圆的标准方程求得
22、圆桌上每根木条的长度。Step 2：由题中给出长方形平板尺寸具体数值，用长度分别减去每根木条长度，得到两根桌腿长度，除以2得到每根桌腿长度。Step 3：根据Step 1中得到最外侧木头长度又已知折叠后桌子高度，可以计算出钢筋垂直高度（即为桌子高度一半），进而由勾股定理求得两钢筋水平距离。Step 4：由于钢条固定后不会再变动故钢筋垂直距离不会改变，现在已知直角边高度h和长度m分别用勾股定理求出此钢筋沿木条开槽滑动后长度。Step 5：将折叠桌放回木板状态，钢筋初始位置可由每根木条长度和最外侧木条一般的差表示。Step 6：用Step 4中钢筋沿木条开槽滑动后长度减去Step 5中钢筋初始位置
23、，得到开槽长度。6.1.6结果及结论动态变化过程图示：通过matlab编程6求得此折叠桌动态变化过程。运行环境见附录1，程序见附录2。图表 6最终状态的折叠桌(左)动态变化过程(右)该折叠桌的开槽长度：由于两组桌腿对称，一下只给出单边桌腿木条开槽长度。程序见附录3表格 1折叠桌单边木条开槽长度X坐标（+）2.557.51012.51517.52022.525开槽长度19.65719.16318.33317.15915.62513.71111.3838.57795.13210X坐标（-）2.557.51012.51517.52022.525开槽长度19.65719.16318.33317.159
24、15.62513.71111.3838.57795.132106.1.7结果检验与分析有用性分析用数据验证动态模拟题中通过建立模型描述折叠桌动态变化过程，方程的参数变化导致各个简化数据点的变化，因此我们通过桌脚边缘方程数据可以进行动态模拟验证所建立的数学描述模型正确和有用性，模拟图见图5。6.2 基于分层序列法的折叠桌最有加工参数的确定问题二6.2.1建模原理和思想设计折叠桌时，折叠桌的最优设计参数（钢筋位置、平板尺寸、开槽长度）会影响折叠桌的稳固性，用材量以及加工的方便性。在固定钢筋的桌腿木条上，以桌腿木条长度和钢筋到木条底端长度为决策变量，以产品稳固性好、加工方便以及用材最少为目标函数，但
25、是考虑到钢筋位置在最外侧木条上的位置会在一定的范围内，因此应该确定以钢筋位置和折叠桌最外侧桌脚长度的变化范围为约束条件的多目标规划模型，根据分层序列法原理，确定了稳固性最重要，用材最少次之，加工方便最后，根据分层序列法原理，确定所有的在分层序列的意义下确定最优参数。6.2.2基于分层序列法的产品设计多目标规划模型（1）稳固性好的单目标规划模型：决策变量的确定：折叠桌在设计时，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌的稳固性，然而这些设计参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以钢筋固定位置到木条底端位置的长度、固定钢筋的桌腿长度为决策变量。约束条件的确定：将折叠桌投影到平面内得到的图形如下：图表
26、 7 平板最外侧木条与地面形成的图形由于对称性，我们只讨论图中左侧部分。图中K点为固定钢筋的位置点，IM的长度为半径,AP与PC形成的角即为木条的倾斜角，AG的长度为，桌腿的长度AP为，桌面圆上最外侧木条的长度为,设的长度分别为：且。钢筋有最外边的木条固定，因此钢筋必须在木条上，可以转化为钢筋固定位置到木条底端位置的长度不能超过固定钢筋的桌腿木条的长度。已知等边三角形的稳定性最好，当倾斜角大于时，固定性降低。即： (16) 其中，满足方程 ，式中为表示平板长度的一半。线段GN长度为，线段AC的长度为，要使折叠桌折叠后稳固性好就应满足以下条件： (17)目标函数的确定：1坚固性我们在桌脚点A分析
27、其受力情况，如图所示当在桌上放重物时，桌脚受竖直向下的力为F,同时地面会对桌脚产生大小相同、方向相反的支持力。则力矩的大小为： (18)力矩越小，坚固性越好；力矩越大，坚固性越差。因此，坚固性好的可以转化为以力矩最小为目标的函数，即： (19)2稳定性当GN的长度越短时KG越长，此时桌子的固定性越好；当AB的长度越长，桌子的稳定性越好。当增大时，KG和AB都相应增大。当两者之和最大的时候折叠桌的稳定性最好。即可以将稳定性好的目标转化为AB和KG长度之和最大的目标：(20)其中最终可得到稳固性好的单目标规划模型：决策变量：钢筋固定位置到木条底端位置的长度、固定钢筋的桌腿长度；目标函数：将作为的可
28、行域。（2）用材最少的单目标规划模型决策变量的确定：折叠桌在设计时，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌的平板尺寸，然而这些设计参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以钢筋固定位置到木条底端位置的长度、固定钢筋的桌腿长度为决策变量。约束条件的确定：平板两条边上固定钢筋的木条在折叠过程中与地面形成等腰梯形，如图5所示。G点为固定钢筋的位置，A点为桌脚位置。令AG的长度为，桌腿的长度为，为桌面圆上最外侧木条的长度，桌面圆半径为，为木板宽度（假定宽度一定），则有： (21) 设为折叠桌高度，桌腿木条的倾斜角为，且 。的取值范围为： (22)目标函数的确定：要达到用材最少的目标，即可转化为所用平板
29、的面积最小，即： (23)最终可得以用材最少为目标的单目标规划模型决策变量：钢筋固定位置到木条底端位置的长度、固定钢筋的桌腿长度；目标函数：约束条件：，将作为的可行域。（3）加工方便的单目标规划模型决策变量的确定折叠桌在设计时，折叠桌的最优设计参数会影响折叠桌木条的开槽长度，然而这些设计参数都和钢筋的位置以及折叠桌高度有关，所以我们以钢筋固定位置到木条底端位置的长度、固定钢筋的桌腿长度为决策变量。约束条件的确定桌腿木条的开槽长度始终小于桌腿木条的长度，同时也要满足(1)中得取值范围，即满足公式(20)。目标函数的确定要使加工方便，可以考虑木条的开槽长度为整数，且每根木条的开槽长度在上图中可看做
30、是： (24)最终可以得到加工方便为目标函数的单目标规划模型：决策变量：钢筋固定位置到木条底端位置的长度、固定钢筋的桌腿长度；目标函数：约束条件： (25)（4）产品设计的多目标规划模型：决策变量：钢筋固定位置到木条底端位置的长度、固定钢筋的桌腿长度目标函数：(26)此时的是进过多目标规划的分层序列法对目标按其重要程度的一个排序，最重要，次之，最后。约束条件： 6.2.3模型计算1、 简化模型：本题通过对创意平板折叠桌的设计满足商家（用材最少）、用户（稳固性好）、加工者（加工方便）的要求，根据全文假设2和在实际优化模型中，将三者要求确定为目标函数，达到简化优化模型的目的，使得计算该模型更为简单
31、。我们将商家要求（用材最少）简化为平板尺寸的确定，再根据问题二的假设2，平板尺寸的确定就是计算平板长度。用户要求（稳固性好）简化为钢筋位置的取定。加工者要求（加工方便）简化为开槽长度的加工，此时开槽长度我们认为整数长度或者统一长度即使满足加工者要求。而简化用户要求时发现任意给定折叠桌着力点是为四只着地桌脚，因此我们对稳固性分析时将对折叠桌受力看做最外端四只着地桌脚，如下图8所示。又由于圆的对称性，我们可以简化为只研究一只桌脚。图表 8 桌腿木条的受力简化图2、计算思想：通过简化模型，将实际问题转化为优化模型，对目标函数进行求解。3、计算步骤：Step 1：以模型准备中的坐标轴建立最终状态的坐标
32、轴即折叠桌状态，易得圆桌每根木条轴的坐标点，根据圆的标准方程求得圆桌上每根木条的长度，以及钢槽初始位置。Step 2：对优化模型的目标函数求解，约束条件为的取值范围，求得的值。即着地桌腿长度和钢槽位置分别用表示。Step 3：由Step 2中着地桌腿长度和钢槽位置数据求得开槽长度。6.2.4结果及结论对于桌高70cm，桌面直径为80cm的情况下，经过matlab计算，运行环境见附录1，程序见附录4，取整数据结果如下：表格 2 最优参数设计着地桌腿长度（cm）钢槽位置（cm）平板长度（cm）8051173求出着地桌腿长度为80cm时，钢槽的最佳位置为在距离桌脚51cm处，说明在着地桌腿的中间偏上
33、位置折叠桌的稳固性更好。其折叠立体图 ，程序见附录5：表格 3 66根木条的开槽长度(cm)开槽长度m(1)-m(66)069111416181921222324252526262626262525242322211918161411962269111416181921222324252526262626262525242322211918161411962图表 9优化后的动态过程(左)最优参数的折叠桌(右)6.2.5结果检验与分析误差分析：由于希望满足加工者方便，将对开槽长度取整，因此会产生一段误差使得中间部分开槽有些许偏差，对此我们进行误差分析。但根据统计误差在以上的仅12个，对整体影响不
34、大，却能明显减少加工者的工作量，因此我们认为该误差合理。6.3 折叠桌设计软件的数学优化模型的确定问题三6.4 6.3.1建模原理和思想根据客户任意设定的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状可以得出桌高和桌面宽度的确定值，以及桌脚边缘线的平面表达式，经过分析这些条件的变动，其影响稳定性的目标函数和木条开槽长度取整的目标函数的程度很小，此时忽略不计，只影响平板面积，所以将桌脚边缘线的平面表达式积分可以确定平板面积，再根据问题2所建的模型带入客户所给的参考量，即可确定最优设计参数。6.3.2建立基于客户需求的最优参数的折叠桌优化模型客户任意设定的折叠桌的平板面积确定（1）设定任意
35、桌面边缘线的的形状大小的空间参数方程为 (27)（2）设定任意桌脚边缘线的大致形状的空间参数方程为 (28)（3）根据桌面边缘上的任意一点可以确定与之对应的桌脚边缘线上的一点，并且可以计算出两点的距离 ，令为桌角边缘线的平面表达式为 (29)（4）对平面的桌脚边缘线方程进行积分，就表示由曲线与轴所成的曲边梯形的面积，故平板面积可以表示为 (30)因此可以得到折叠桌最优平板面积的单目标模型决策变量：桌脚边缘线的平面表达式，表示为桌面的宽度（桌面宽度可由桌面边缘线的形状大小求得）目标函数： (31)约束条件： (32)根据分析，客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状线的大小和桌脚边缘线的大致形
36、状都不会影响稳定性的目标函数和木条开槽的目标函数，只是将变量高度和木板宽度通过客户人为确定，将其带入问题2所建立的多目标规划模型中求解确定最优设计加工参数。根据上面的软件设计基于客户需求的最优参数的折叠桌优化模型，我们提供了折叠桌的高度为,桌脚边缘线为空间参数方程 (33)桌面边缘线的形状为椭圆，大小为长轴,短轴,这里以短轴为桌面直径，其中椭圆的表达式为(34)将这些条件带入上述模型，我们可以得到 (35)因此桌脚边缘线的平面表达式就为，将其带入客户任意设定的折叠桌的平板面积确定模型中，对其进行积分，得到所需材料的平板材料的形状尺寸： (36)6.3.3模型计算1、 简化模型：经过前面两个问题
37、的探讨，我们可以将折叠桌模型简化成为三个数学关系式空间上的共同呈现，分别为桌面边缘空间关系式，钢筋位置空间关系式（即是折叠桌高度或木条与垂直方向夹角的关系），还有桌脚边缘线的空间关系式。2、算法思想：通过桌面边缘方程计算坐标y值和勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质的应用，得到钢筋位置空间方程，进而计出桌脚边缘线的空间关系。由于进行了简化模型将木条看做线条，故利用plot3进行三维作图。3、 算法步骤：Step 1：给出任意设定高度，桌面方程及参数，和桌脚边缘线形状分别求出给出桌面边缘空间关系式、钢筋位置空间关系式、桌脚边缘线的空间关系式。Step 2：通过桌面方程参数得到两根钢筋之间的
38、距离，求出每根木条分别在三个空间关系式上的坐标。Step 3：整合所有坐标以及Step 1中关系式得到不同参数下折叠桌简化图像。Step 4：整合Step 3中所有折叠桌简化图像，即可认为得到动态示意图。6.3.6结果及结论椭圆：设定参数高度，半长轴，半短轴，桌脚边缘形状为抛物线。桌面边缘空间关系式：，桌脚边缘空间关系式：动态示意图：其余动态变化过程示意图见附录8，运行环境见附录1，程序见附录6。图表 10 椭圆折叠桌的8张动态示意图(左)椭圆折叠桌的静态示意图(右)双曲线：设定参数高度，半长轴，半短轴，桌脚边缘形状为抛物线。桌面边缘空间关系式：，桌脚边缘空间关系式：动态示意图：其余动态变化过
39、程示意图见附录9，运行环境见附录1，程序见附录7。图表 11 双曲线的8张动态示意图(左)双曲线折叠桌的静态示意图(右)6.3.7结果检验与分析有效性分析参数敏感性分析对于给出相应加工参数，通过不同参数的取值，可以明显得到不同的动态图像，既可以看出高度和桌面边缘参数为敏感性参数。以上图为例，若高度不变，桌面边缘参数决定桌面形状和大小，因此对折叠立体图像的确立产生很大影响。桌面边缘参数不变，高度变化同理。七、 模型的评价、改进与推广7.1 模型的优缺点优点：1. 折叠桌在折叠过程中，桌面圆、直纹面、钢筋、木条与竖直方向的倾斜角都在相应的变化，因此，用这四个部分的运动状态结合在一起刻画整个折叠桌的
40、运动状态模型比较客观和准确。2. 对于确建模简单,能够有效地分析可展板壳结构的复杂运动,并为空间折叠桌结构的设计优化提供了理论依据。缺点：1. 在简化模型过程中以平板宽度作为圆桌面的直径，降低了模型的精度，增大了模型的误差；2. 分层序列法是由上一个目标函数的最优解作为下一个目标的可行域，因而限制了下一个目标的优化范围；3. 文中运用较多假设，与实际值有偏差。7.2 模型的改进1. 针对问题二中取平板宽度为圆桌面的直径，简化模型时，降低模型精度的缺点，可以找出真正的半径长度，即不对问题进行简化，从而提高模型的精度。2. 针对分层序列法限制下一个目标优化范围的缺点，可以采用其改进形式有宽容度的冷
41、层序列法。7.3 模型的推广该模型属于数学描述模型和优化模型的综合模型。一方面，它将平面板通过创意折叠成桌子，节省空间，因此从节省空间角度，我们可以尝试对各种物品进行折叠得到可代替立体的物品，比如说折叠椅、折叠床、折叠自行车方便人们的生活。另一方面它将立体物品数学描述化，因此可进行3D实物仿真，得到更具仿真度的计算机模拟方式，比如说蛋白质折叠7。参考文献1 Robert Van Embricqs.平板折叠边桌，www.Robert Van Embricqs,2012年. 2 杨竹茶,张阳春.直纹曲面的一种近似展开法,常德师范学院学报,11卷第3期,1999年9月.3 崔恒忠,曹资,刘景园,薛素
42、铎等.可展开折叠式空间结构模型试验研究,空间结构,3卷第1期,1997年2月.4 蔡国梁,李玉秀,王世环.直纹曲面的性质及其在工程中的应用,数学的实践与认识,38卷第8期,2008年4月.5 赵洪斌,吴知丰,谢礼立.自锁式平板折叠网架折展过程参数设计,哈尔滨工业大学学报,39卷第8期,2007年8月.6 周品,赵新芬.matlab数学建模与仿真M,国防工业出版社,70-72,2009年1月.7 张菁,张天驰.蛋白质折叠过程模型,应用科技,38卷第7期,2011年7月.附录1运行环境：电脑配置运行软件版本处理器：AMD Athlon II 双核Coreldraw x4内存：1.75G几何画板硬盘
43、：500G，7200转/分Matlab7.0.1软件环境：Windows XPVisio 2003程序：2问题一的程序，功能：%问题一的桌面动态显现（通过对h值的改动实现） 文件名：test.m%问题一的桌面动态显现，通过对h值的改动实现clcclearx=-25:2.5:-2.5,0,2.5:2.5:25,25:-2.5:2.5,0,-2.5:-2.5:-25;%x轴坐标即木条坐标for i=1:42 if x(i)=0 y(i)=25.3;%对偶数根进行处理 end y(i)=sqrt(25.3)2-x(i)2); t(i)=60-y(i);%桌腿每木条长 u(i)=2*y(i);%圆桌面每木条长end%最终形态h=50;%通过改动此h值观察动态变化过程分别将h改为0,20,40l=2*(sqrt(t(1)2-h2)/2+y(1);for i=1:42 if(u(i)l) tan(i)=2*h/(l-u(i); m(i)=sqrt(h/2)2+(l-u(i)/2)2); else tan(i)=2*h/(u(i)-l); m(i)=sqrt(h/2)2+(u(i)-l)/2)2); end a(i)=atan(tan(i);%theta if (u(i)21 yg(i)=-yg(i); y(