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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date正弦定理教学案例高中数学情境教学案例简析 窗体顶端正弦定理教学案例一、教学内容分析本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为
2、三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、 学情分析 对高二普班的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难
3、度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。四、教学目标1让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边
4、角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。 2通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。3通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。4培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理
5、、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。六、教学过程：1、设置情境利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1 km的码头C处。已知船在静水中的速度vl= 5 kmh，水流速度v2=3 kmh。 B C A 图12、提出问题师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组
6、(前后4人为一小组)汇总整理后交给我。待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题： (l)船应开往B处还是C处？ (2)船从A开到B、C分别需要多少时间？ (3)船从A到B、C的距离分别是多少？ (4)船从A到B、C时的速度大小分别是多少？ (5)船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？大家经过讨论达成如下共识：要回答问题(l)，需要解决问题(2)，要解决问题(2)，需要先解决问题(3)和(4)，问题(3)用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题(4)，问题(4)与问题(5)是两个相关问
7、题，因此，解决上述问题的关键是解决问题(4)和(5)。师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。生：船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小v及vl与v2的夹角。生：船从A开往C的情况如图3，AD=v1= 5，DE=AF=v2=3，易求得AED = EAF = 450，还需求及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。 B C B CD E D E v1 v v1 v A v2 F A v2 F 图2 图3师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？部分学生：在三
8、角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？生：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。生：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系，则第三边也可求出。生：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中
9、，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？3、解决问题师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。师：请各小组研究在RtABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？多数小组很快得出结论：asinA = bsinB = csinC。师：asinA = bsinB = csinC在非RtABc中是否成立？众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非RtA
10、BC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1、三角形的面积不变；2、三角形同一边上的高不变；3、三角形外
11、接圆直径不变。师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。生：要想办法将向量关系转化成数量关系。生：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。生：还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。生：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量(如向量AC)垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。七、 教学总结在本课的教学中，教师通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦与乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。培养学生自主学习能力和自主学习品质是这节教学的关键，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，通过适当的引导使学生自主学习和探索，进而解决问题。这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出和解决问题的主体，因此，如何培养学生自主学习是教学成败的关键。教师要引导学生自主提出问题，并对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入，激发学生自主学习的兴趣。-