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1、正弦定理正弦定理教学案例设计教学案例设计 1 1一、教学内容分析一、教学内容分析本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修 5 （人教 A 版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法” 、 “等积法” 、 “外接圆法” 、 “ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证
2、猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、学情分析二、学情分析对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想：三、设计思想：本节课采用探究式课堂教
3、学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。四、教学目标：四、教学目标：1让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公
4、式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。ABC3通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。4培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。五、教学重点与难点五、教学重点与难点教学重点：教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点
5、：教学难点：正弦定理的猜想提出过程。教学准备：教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。六、教学过程：六、教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：教师：展示情景图如图 1，船从港口 B 航行到港口 C，测得 BC的距离为，船在港口 C 卸货600m后继续向港口 A 航行，由于船员的疏忽没有测得 CA 距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B 的距离？学生：思考提出测量角 A，C 教师：若已知测得， 75BAC，要计算 A、B 两地距离，你 45ACB（图（图 1 1）有办法解决吗？学生：思考交流，画一个三角形，使得为 6cm，A B C B C ，75B A C ，量得距离
6、约为 4.9cm，利用三角形相似性质45A C B A B 可知 AB 约为490m。老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。 教师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精ABC确计算 AB 呢？学生：思考，交流，得出过作于如图 2，把AADBCD分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。ABC解：过作于AADBCD在中，Rt ACDsinADACBAC2sin600300 22ADACACBmA，45ACB75BAC
7、ABCD （图 2）18060ABCACBACB在中，Rt ABDsinADABCAB300 2200 6sin3 2ADABmABC教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，能否用、 、表示 呢？ACbABcBbCc教师：引导学生再观察刚才解题过程。学生：发现，sinADCbsinADBcsinsinADbCcBsin sinbCcB 教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？学生：发现即然有，那么也有，。sin sinbCcBsin sinaCcAsin sinbAaB教师：引导，我们习惯写成sin sinbCcBsin sinaCcAsin sinbAaB对
8、称形式，因此我们可以发sinsincb CBsinsinca CAsinsinab AB现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？sinsinab ABsinc C设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。（二）数学实验，验证猜想教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。sinsinab ABsinc C（1）在ABC 中
9、，A，B，C 分别为，6060，对应的边长 a：b：c 为 1：1：1，对应角的正弦值60分别为，引导学生考察，23 23 23 Aa sinBb sin的关系。 （学生回答它们相等）Cc sin（2） 、在ABC 中，A，B，C 分别为，45，对应的边长 a：b：c 为 1：1：，对应角的45902正弦值分别为，1；（学生回答它们相等）22 22（3） 、在ABC 中，A，B，C 分别为，30，对应的边长 a：b：c 为 1：2，对应角的60903正弦值分别为，1。 （学生回答它们相等） （图 3）21 23603090454590606060bccaabCBCABABCA（图（图 3 3）
10、教师：对于呢？Rt ABC学生：思考交流得出，如图 4，在 Rt ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,BaACc b(图 4)则有，又,si naAcsi nbBcsi n1cCc 则sinsinsinabccABC从而在直角三角形 ABC 中，si nsi nsi nabc ABC教师：那么任意三角形是否有呢？学生sinsinsinabc ABC按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。 ）学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、
11、的近似值。sina Asinb Bsinc C教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、sina Asinb B 值仍然保持相等。sinc C 我们猜想：=Aa sinBb sinCc sin设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。（三）证明猜想，得出定理师生活动：教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前sinsinsinabc ABC面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。 （以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）学生：思考得出在中，成立，
12、如前面检验。Rt ABC在锐角三角形中，如图 5 设，BCaCAbABc作：，垂足为ADBCD在中，Rt ABDsinADBABsinsinADABBcB在中，Rt ADCsinADCACsinsinADACCbCsinsincBbCsinsincb CB同理，在中， ABCsinsinac ACsinsinsinabc ABC在钝角三角形中，如图 6 设为钝角，CBCaCAbABc作交的延长线于ADBCBCD在中，Rt ADBsinADBABsinsinADABBcB在中，Rt ADCsinADACDACsinsinADACACDbACBsinsincBbACB sinsincb ACBBA
13、BCD（图 6）ABCD （图 5）同锐角三角形证明可知sinsinac ACsinsinsinabc ABACB教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabc ABC还有其它证明方法吗？学生：思考得出，分析图形（图 7） ，对于任意ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，111 222ABCSACBDCBAEBA CF而由图中可以看出：，sinBDBACABsinAEACBACsinCFABCBCsin,sin,sinBDABBAC AEACACB CFBCABC111 222ABCSACBDCBAEBA CF=111sinsin
14、sin222ACABBACCB CAACBBA BCABC=111sinsinsin222b cBACa bACBc aABC 等式中均除以111sinsinsin222b cBACa bACBc aABC 后可得， abc21sinsinsinBACABCACB abc即。sinsinsinabc BACABCACB教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。(图 7)ABCDEFbac（图（图7）在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积：，能sinsinAEcABCaABC1 2ABCSaAE否得到新面积公式学生：111sinsinsin222ABCSb cBACa bACBc a
15、ABC 得到三角形面积公式111sinsinsin222ABCSabCcaBbcA教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、sina Asinb B 都等于同一个比值 ，那么它们也相等，这个 到底有没有sinc Ckk什么特殊几何意义呢？学生：在前面的检验中，中，Rt ABC， 恰为外接接圆的直径，sinsinsinabccABCc即，所以作的外接圆，为2ckRABCOO圆心，连接并延长交圆于，把一般三BOOB角形转化为直角三角形。证明：连续并延长交圆于BOB， 90B ABBC ABCBO（图 8）在中，Rt B ABsinABB BB2sinsinABABB BRBC即2sincRC同理可证
16、：，2sinaRA2sinbRB2sinsinsinabcRABC教师：从刚才的证明过程中, ，显示正2sinsinsinabcRABC弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”2R、 “等积法” 、 “外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，cosa bab是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？学生：思考（联系作高的思想）得出：在锐角三角形中，作单位向量 垂直于ABCABBCAC j，ACACjABjBCj 即0cos(90)cos(90)cAaCsinsin0cAaC sinsinc
17、a CA同理：sinsinba BAsinsinsinabc ABC对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣ABC （图 9）j jj的同学回家再探索。设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。（四）利用定理，解决引例师生活动：教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。学生：马上得出在中，ABC18060 ,sinsincbBACCB sin600 sin45200 6sinsin60bCcmB （五）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性教
18、师：一般地，把三角形的三个角、和它们的对边 、ABCa、 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他bc元素的过程叫做解三角形。设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。（六）运用定理，解决例题师生活动：教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；si n si nbAaB如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。si nsi naABb师生：例 1 的处理，先让学生思考回答
19、解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。例 1：在中，已知，解三角形。ABC30A 45B 6acm分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素” ，第一步可由三角形内角和为求出第三个角C，再由正180弦定理求其他两边。例 2：在中，已知，解三角形。ABC2 2a 2 3b 45A 例 2 的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流学生：反馈练习（教科书第 5 页的练习）用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学” ，
20、“我要研究”的主动学习。（七）尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。学生：思考交流，归纳总结。师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（）及其证明思想2sinsinsinabcRABC方法。（2）正弦定理的应用范围：已知三角形中两角及一边，求其他元素；已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类讨论的数学思想。设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。（八）作业设计作业：第 10 页习题 1.1A 组第 1、2 题。思考题：例 2：在中，已知，解三ABC2 2a 2 3b 45A 角形。例 2 中分别改为，并解三角形，观察
21、2 3b 2 6b 5b 解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用（相关网址：）七、设计思路：七、设计思路：本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察实验归纳猜想证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。1、结合实例，激发动机数学源于现实，
22、从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。2、数学实验，验证猜想通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。3、证明猜想，得出定理引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。附一：附一
23、：实验报告单实验报告单组长:组员：试验目的研究三角形中各边和它对角的正弦值的比(，Aa sinBb sin )是否相等。Cc sin实验器材计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发）实验方法画一个任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。实验内容三边：a= b= c= 三角：A= B= C= 计算：= = = Aa sinBb sinCc sin（精确到小数点后两位）结论：点评：点评：本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三
24、角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察实验归纳猜想证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察实验猜想证明应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。