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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date电大-离散数学-本科-形成性考核册-作业(三)答案电大-离散数学-本科-形成性考核册-作业(三)答案11. 离散数学形成性考核作业离散数学形成性考核作业离散数学形成性考核作业离散数学形成性考核作业（三三三三） 集合论与图论综合练习集合论与图论综合练习集合论与图论综合练习集合论与图论综合练习本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第三次作
2、业，大家要认真及时地完成图论部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。一一一一、单项选择题单项选择题单项选择题单项选择题1若集合A2，a， a ，4，则下列表述正确的是( B )Aa， a A B a ?AC2A D?A2设B = 2, 3, 4, 2，那么下列命题中错误的是（ B ）A2BB2, 2, 3, 4?BC2?BD2, 2?B3若集合A=a，b， 1，2 ，B= 1，2，则（ B ）AB ? A，且BA BB A，但B?ACB ? A，但B?A DB? A，且B?A4设集合A = 1, a ，则P(A) = ( C )A1, a B?,1, aC?,1, a, 1, a
3、 D1, a, 1, a 5设集合A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系R =?a , bA , 且a +b = 8，则R具有的性质为（ B ）A自反的 B对称的C对称和传递的 D反自反和传递的6设集合A = 1，2，3，4，5 ，B = 1，2，3，R从A到B的二元关系，R =?aA，bB且1=?ba则R具有的性质为（ ）A自反的 B对称的 C传递的 D反自反的注意：此题有误！自反性、反自反性、对称性、反对称性以及传递性指某一个集合上的二元关系的性质。7设集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = ，S = ，则S是R的（ C ）闭包A自反 B传递 C对称 D以上都不对8非空
4、集合A上的二元关系R，满足( A )，则称R是等价关系A自反性，对称性和传递性 B反自反性，对称性和传递性C反自反性，反对称性和传递性 D自反性，反对称性和传递性22. 9设集合A=a, b，则A上的二元关系R=，是A上的( C )关系A是等价关系但不是偏序关系 B是偏序关系但不是等价关系C既是等价关系又是偏序关系 D不是等价关系也不是偏序关系10设集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如右图所示,若A的子集B = 3 , 4 , 5，则元素3为B的（ C ）A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不对11设函数f：R R，f (a) = 2a + 1；g：R
5、R，g(a) = a 2则（ C ）有反函数Ag?f Bf?g Cf Dg12设图G的邻接矩阵为?0101010010000011100000100则G的边数为( D )A5 B6 C3 D413下列数组中，能构成无向图的度数列的数组是( C ) A(1, 1, 2, 3) B(1, 2, 3, 4, 5) C(2, 2, 2, 2) D(1, 3, 3)14设图G，则下列结论成立的是 ( C )Adeg(V)=2?E? Bdeg(V)=?E?CEvVv2)deg(= DEvVv=)deg(解；C为握手定理。15有向完全图D， 则图D的边数是( D )A?E?(?E?1)/2 B?V?(?V?
6、1)/2C?E?(?E?1) D?V?(?V?1)解：有向完全图是任意两点间都有一对方向相反的边的图，其边数应为D，即)1(2?=VVPv16给定无向图G如右图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ A ）Ab, d BdCa, c Dg, e17设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( A )Aev2 Bve2 Cev2 Dev224135 agbdfce33. 18无向图G存在欧拉通路，当且仅当( D )AG中所有结点的度数全为偶数BG中至多有两个奇数度结点CG连通且所有结点的度数全为偶数DG连通且至多有两个奇数度结点19设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G
7、的( A )条边，才能确定G的一棵生成树A1mn?+ Bmn? C1mn+ D1nm?+20已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为 B A8 B5 C4 D 3二二二二、填空题填空题填空题填空题 1设集合AB=,12312，则AB= 1，2，3=A ，AB= B ，A B= 3 ，P(A)-P(B )= 3,1,3,2,3,1,2,3 2设A, B为任意集合，命题A?B=?的条件是 BA? 3设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 n2 4设集合A= 1，2，3，4，5，6 ，A上的二元关系AbabaR=,且1=?ba，则R的集合表示式为 5
8、,6,6,5,4,5,5,4,3,4,4,3,2,3,3,2,1,2,2,1? 5设集合A = 1，2，3，4，5 ，B = 1，2，3，R从A到B的二元关系， R =?aA，bB且2a + b4 则R的集合表示式为1,3,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1? 6设集合A=0,1,2,B=0,2,4,R是A到B的二元关系， ,BAyxByAxyxR 那么R1483684631?=?=?，所以，解：RR8设集合A=a,b,c，A上的二元关系 R=,，S=, 则(R?S)1=111,)(,?=?=?=?RScbcaSRbcacSR所以解：44. 9设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=, ,
9、 , ，则二元关系R具有的性质是 反自反性 10设集合A = 1 , 2 , 3 , 4 上的等价关系R = ，IA那么A中各元素的等价类为 1=2=1,2, 3=4=3,4 11设A，B为有限集，且|=m，|=n,那末A与B间存在双射，当且仅当 nmBA=即, 12设集合A=1, 2,B=a, b，那么集合A到B的双射函数是.)2(,)1(),(;)2(,)1(),(agbgxgbfafxf=即即 13已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 14设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集是 f15设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度
10、数之和大于等于 1?n ，则在G中存在一条汉密尔顿路16设无向图G是哈密顿图，则V的任意非空子集V1，都有 )(1VGW? ?V1?17设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 等于出度18设完全图Kn有n个结点(n2)，m条 边，当 为奇数n 时，Kn中存在欧拉回路19图G（如右图所示）带权图中最小生 成树的权是 1220连通无向图G有6个顶点9条边，从G中删去 4 条边才有可能得到G的一棵生成树T 三、判断说明题1设A、B、C为任意的三个集合，如果AB=AC，判断结论B=C 是否成立？并说明理由 解：不一定成立。反例：A=1，2，3，B=1，C=32如果R1和R2是A上的自反关系，判断结
11、论：“R-11、R1R2、R1R2是自反的” 是否成立？并说明理由 是自反的。，那么，从而，上的自反关系，必有是和解：结论都成立。2121112121112121RRRRRRRIRRIRIRIRIARRAAAAA? a bf ce d 18469527768792212355. 3设R，S是集合A上传递的关系，判断R S是否具有传递性，并说明理由 不具传递性。，但，反例：不一定具有传递性。上的传递关系，是，解：221331111221221331111221321?=?=?=SRSRASRASR4若偏序集的哈斯图如右图所示，则集合A的最小元为1，最大元不存在解：结论正确。5若偏序集的哈斯图如右
12、图所示，则集合A的极大元为a，f；最大元不存在解：结论正确。6图G(如右图)能否一笔画出？说明理由若能画出，请写出一条通路或回路1543425321evdvcvnvhvfvgvbvavv写一条回路如下：此图是欧拉图。解：能一笔画出。因为7判断下图的树是否同构？说明理由同构。与可见，；，；，下：它们的结点度数序列如同构。与不同构；与不同构；与解：)()(331111)(331111)(241111)()()()()()()(cbcbacbcaba8给定两个图G1，G2（如下图所示），试判断它们是否为欧拉图、哈密顿图？并说明理由.,2211?ebbaaccddggffeGGGG回路如下，是哈密顿图
13、，有哈密顿不是欧拉图，但不是哈密顿图。路。都是偶数，具有欧拉回通的且每个结点的度数是欧拉图。因为它是连解：v1v2v3v5v4dbacefghn 图G abcdefg图G2图G1acbedf (a)(b)(c)66 9判别图G(如下图所示)是不是平面图，并说明理由去掉交叉点。请画图。分别向外拉出，就可以边解：是平面图。可以将?314151,vvvvvv10在有6个结点，12条边的简单平面连通图中，每个面有几条边围成？为什么？条边围成。且每个面都有个面。应有，由欧拉定理知，条边的简单平面连通图个结点，解：画出一个38,812622,2126=+?=+?=+?evrrev四、计算题1设4,2,5,
14、2,1,4,1,5,4,3,2,1=CBAE，求： （1）(AB)C； （2）P(A)P(C)； （3）AB5,4,25,24)3(4,1,14,2,4,2,4,1,4,1,)()()2(5,3,15,3,11)(1(=?=?=BACPAPCBA解：2设集合Aa, b, c，B=b, d, e，求（1）BA； （2）AB； （3）AB； （4）BA bAB=)1(解： edcbaBA,)2(= caBA,)3(=? edcacaedAB,)4(=3设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6（1）写出关系R的表示式；（
15、2）画出关系R的哈斯图；（3）求出集合B的最大元、最小元解：（1）,12,1,11,1,10,1,9,1,8,1,7,1,6,1,5,1,4,1,3,1,2,1,1,1?=R ,8,4,4,4,12,3,9,3,6,3,3,3,12,2,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2? 12,12,11,11,10,10,9,9,8,8,7,7,12,6,6,6,10,5,5,5,12,4?v1 v2 v3 v6 v5 v477 解：（2）画出哈斯图（见课堂答疑）解：（3）B=2，4，6，B的最小元为2，B没有最大元。4设集合Aa, b, c, d上的二元关系R的关系图如右图所示（1）写出R的表达式
16、；（2）写出R的关系矩阵；（3）求出R2?=?=?=ddcaaaRMddcbcaaaRR,)3(1000000001000101)2(,12）解：（5设A=0，1，2，3，4，R=|xA，yA且x+y0，S=|xA，yA且x+y=3，试求R，S，RS，R-1，S-1，r(R)，s(R)，t(R)，r(S)，s(S)，t(S)6设图G=，其中V=a1,a2, a3, a4, a5,E=，（1）试给出G的图形表示；（2）求G的邻接矩阵；（3）判断图D是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？7设图G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v2)，(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4
17、)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) （1）试给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数（4）画出图G的补图的图形解：（1）画出G的图形?=0000010000010000110000110)2(RM8图G=，其中V=a, b, c, d, e, f ，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e),(c, e), (d, e), (d, f), (e, f) ，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值9已知带权图G如右图所示试 ad
18、bc 51063 47892188 （1）求图G的最小生成树；（2）计算该生成树的权值10设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二叉树；（2）计算它们的权值五、证明题1试证明集合等式：A (BC)=(AB) (AC)2证明对任意集合A，B，C，有CABACBA=)(3设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系4若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：SR也是A上的偏序关系5若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的 6设G是连通简单平面图，则它一定有一个度数不超过5的结点（提示：用反证法）7设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图8证明任何非平凡树至少有2片树叶-