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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date整理高中数学必备知识点大全高中数学必备知识点大全高中数学必备知识点大全一、 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体：。元素特点：互异性、无序性、确定性。关系子集。个元素集合子集数。真子集相等运算交集开集补集常见数集集合自然数集正整数集整集数有理数集实数集符号常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。四种命题原命题：若，则原命题与逆命题，否命题与逆否命
2、题互逆；原命题与否命题，逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题，否命题与逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。逆命题：若，则否命题：若，则逆否命题：若，则充要条件充分条件是的充分条件若命题对应集合，命题对应集合，则等价于等价于必要条件是的必要条件充要条件互为充要条件逻辑连接词或命题有一为真即为真，圴假时才为假。类比集合的并且命题均为真时才为真，有一为假即为假。类比集合的交非命题和为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补量词全称量词，含全称量词的命词叫全称命题，其否定为特称命题。存在量词，含存在量词的命词叫特称命题，其否定为全称命题。二、复数复数概念虚数单位规定：实数可以与它进行四则运算，并且运
3、算时原有的加、乘运算律仍成立。复数形如的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部，时叫做虚数，的时叫纯虚数。复数相等共轭复数实部相等，虚部互为相反数，即，则运算加减法乘法除法几何意义大多数复数问题，主要是把复数化成标准的类型来处理，若是分数形成，则首先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把看作成一个独立的字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把换成。三、算法、推理与证明算法逻辑结构顺序结构依次执行程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。条件结构根据条件是否成立有不同的流向循环结构按照一定条件反应执行某些步骤基本语句输入语句、输出语句、
4、赋值语句、条件语句、循环语句。推理与证明推理合情推理归纳推理由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。类比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性倒是为真的推理。数学证明直接证明综合法由已知导向结论的证明方法分析法由结论反推已知的证明方法间接证明主要是反证法、反设结论、导出矛盾的证明方法数学归纳法数学归纳法是以自然数的归纳公理估秋它的理论基础的。因此，数学归纳法的适用范围仅限于自然数有关的命题，分两步：首先证明当取第一个值（例如）时结论正确；然后假设当时结论正确，证明当时结论也正确。四、平面向量平面向量重要概念向量既有大小
5、又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。向量长度为0，方向任意的向量。【与任一非零向共线】平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量夹角起点放在一点的两向量所成的角，范围是，的夹角记为。投影叫做在方向上的投影。【注意：投影是数量】。重要法则定理基本定理不共线，存在唯一的实数对，使若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标。一般表示坐标表示共线条件，垂直条件各种运算加法运算法则的平行四边形法则、三角形法则算律与加法运算有同样的坐标表示。减法运算法则的三角形法则。分解数乘运算概念为向量，方向相同。方向相反，。算律与数乘运算有同样的坐标表示。数量积运算概念主要性
6、质算律与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。线段定比分点的向量表达式在中，若点是边上的点，且，则向量，当时，变为中线向量。三点共线定理平面内三点共线的充要条件是：存在实数使，其中，为平面内任意一点。向量与三角形的四心（1） 是的重心（其中三边），且，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。为所在平面内任一点，为重心。（2） 若为所在平面内一点，则的外心。（3） 若为所在平面内的一点，则是的重心。（4） 若点为所在平面内一点，则的内心。（5） 的外心，垂心，重心，则（6） 为内一点，若（7） 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角两边对应成比例。逆定
7、理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。【变式】若存在常数，满足，则点可能通过的内心。若点是的底边上的中点，满足，则点可能通过的外心。若存在常数是，满足，则点可能通过的填重心。若存在常数，满足，则点可能通过的垂心。五、函数、基本初等函数I的图像与性质函数概念及其表示概念本质：定义域内任何一个自变量对应唯的函数值。两函数相等只要定义域或对应法则相同即可。表示方法解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。性质单调性（1） 对定义域内一个区间是增函数是减函数
8、（2） 是增（减）函数的恒成立。（3）恒成立。偶函数在定义域关于坐标点对称的区间上具有相反的单调性、奇偶数在定义域关于坐标原点圣水称的区间上具有相同的单调性。奇偶性对定义域内任意，是偶函数是奇函数，偶函数图象关于轴对称，奇函数图象关于坐标原点对称。周期性对定义域内任意，存在非零常数（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（2）对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为.（3）若。则函数的一个周期为。两个函数的图象对称性（1）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（2）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（3）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（4）与关
9、于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。（5）与关于点对称。换种说法：与若满足，即他们关于点对称（6）与关于直线对称。单个函数的对称性（1） 函数满足时，函数的图象关于直线对称。（2） 函数满足时，函数的图象关于点对称。（3） 函数的图象与的图象关于直线对称。对称性与周期性的关系（1）函数满足，则函数是周期函数，则是一个周期。（2）函数满足时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心时，函数是周期函数，且对称中心距离两倍，是函数的一个周期），函数是以为周期的函数。（3）函数有一个对称中心和一个对称轴时，该函数也是周期函数，且一个周期是。（4）若定义上的函数的图象关于直线和点对称，则是
10、周期函数，是它的一个周期。（5 ）若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别）。（6）已知函数对任意实数，都有，则是以为周期的函数基本初等函数1指对幂的运算规则1.正数的正分数指数幂：；2.正数的负分数指幂：；3.0的正分数指数幂等于0:0的负分数指数幂没有意义。4.幂的运算性质：，其中.5.对数的概念如果，那么数叫作以作为底的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数。6.对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则如果且，那么；（2）对数的性质；（3）对数的重要公式换底公式：，推广指数函数单调递减，函数图象过定点（0.1）单调递增，六、函数与
11、方程、函数模型及其应用函数零点概念方程的实数根。方程的实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。存在定理对于在区间上连续不断，若，则在内存在零点。二分法方法对于在区间上连续不断且的函数。通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点。进而得到零点近似值的方法叫做二分法。步骤第一步确定区间，验证，确定精确度。第二步求区间的中点。第三步计算：（1）若，则就是函数的零点；（2） 若，则令（此时零点）；（3） 若，则令（此时零点）；（4） 判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）（4）。函数建模概念把实际间表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。
12、解题步骤阅读审题分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。解答模型利用数学方法得出函数建模的数学结果。解释模型将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。七、导数及其应用导数及其应用概念与几何意义概念函数在点处的导数。几何意义为曲线在点处的切线率。切线方程是，求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解。运算基本公式（为常数）；（；。运算法则复合函数求导法则。研究函数性质判断单调性的区别为单调递增区间；的区间为单调递增区间。求函数的单调区间步骤：（1）求的定义域（2）求出（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，
13、穿针引线。（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数单调递减区间。已知单调性求参数取值范围（1）对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导函数在该区间上的最值问题。（2）对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间有穿过轴的实根，结合导函数的图像求解。（3）对于函数在某个区间上存在单调递增或递减区间的问题，转化为导函数在此区间上大于零或小于零有解的问题。极值附近左负（正）右正（负）的为极小（大）值点。最值上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点和区间内的极大值的最大者，
14、最小值和区间端点和区间内的极小值的最小者。用导数法求给定区间上的函数的最值问题步骤：（1）求函数的导数；（2）求在给定区间上的单调性和极值；（3）求在给定区间上的端点值。（4）将的各极值与的端点值进行比较，确定的最大值与最小值。图像交点与零点探讨根的个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，从限制函数的极值找到问题的充要条件；如果是研究两个函数交点的个数，则可以用两个函数作差构造新函数，再转化为方程的根的问题求解；若零点问题可以转化为图像交点问题，则也可借助数形结合解决问题。含参调区间（1）是否有根。（2）有多根，并且含有参数时，要讨论各个根之间的大小关系（3）若要讨论在区间内的单调性，且的
15、根含有参数，要讨论根与区间的关系。含参不等式恒成立问题方法一：分离参数法解含参不等式恒成立问题用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要要就变量不等式的最值就可以解决问题，步骤如下：（1）分离参数转化为恒成立（2）转化为恒成立（3）求出在区间上的最大值（或最小值）。方法二：导数法有些含参不等式恒成立问题，在分离参数时需要讨论，或者即使分离出参数或者变量，但因参数的最值却难以求出，这时常单刀直入地利用导数法，借助导数，分析函数的单调性，通过单调性的分析确立函数值的变化情况，找到参数
16、满足的不等式。定积分（理科）概念在区间上是连续的，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点基本定理如果是上的连续函数，并且有，则性质简单应用区间上连续的曲线，和直线所围成的曲线边梯形的面积八、三角函数的图象与性质任意角的概念与弧度制1、角的概念（1）任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角。（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是。（3）象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角：如果角的终点在坐标轴上，那么
17、这个角不属于任何一个象限。2、弧度制（1）定义：在以单位为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角。（2）角度制和弧度制的互化：（3）扇形的弧长公示：，扇形的面积公示：。三角函数的图象与性质基本问题定义任意角的终边与单位圆交点于点时，由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正，对于第三、四象限为负；余弦值对于第一、四象限为正，对于第二、三象限为负；正切值对于第一、三象限为正，对于第二、四象限为负同角三角函数关系误导公式，“奇变偶不变，符号看象限”。三角函数的性质与图象值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴增减奇函数增减偶函数增奇偶数无图像交换平
18、移交换上下平移图象平移得图象，向上，向下左右平移图象平移得图象，向上，向下伸缩变换轴方向图象各点把横坐标变原原来倍得的图象。轴方向图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象。对称变换中心对称函数与函数的图象关于坐标原点对称；图象关于点对称图象的解析式是。轴对称函数与函数的图象关于轴对称；函数与函数的图象关于轴对称；图象关于直线对称图象的解析式是；的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦云轴下方的图象得到；的图象先保留原来在上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到。的图象先保留在轴右边的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称
19、图形得到。函数的图象变为的图象方法（先平移后伸缩和先伸缩后平移两种方法）已知解析式确定函数性质（先将函数化成为或1、关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若为奇函数，则（2）若为偶函数，则（3）若为奇函数，则（4）若为偶函数，则（5）若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数。2、关于三角函数周期性的几个结论：（1）函数（2）函数（3）函数3、关于三角函数对称性的重要结构（1）函数的对称轴求法：令得。对称中心法：，即对称中心为（2）函数的对称轴求法：令得，对称中心的求法：得，即对称中心为4、单调区的求法5、的不等式解法。根据的图像求其解析式；由最大最小值确定，由周期确定，由适合解析式的点坐标来确定（一
20、般带入“五点”中的某一个点）。在给定区间上的值域求法：（1） 先由的范围计算的范围（2） 把看成一个整个，由的图象得到的范围（即的范围）（结合图像理解）（3） 再把即当一个整体，得到的范围即的值域。三角函数最值类型九、三角恒等变换与解三角形变换公式正弦和差角公式倍角公式余弦正切三角函数求值同角求值所要求的角与所给的角是同一个角，直接利用直角三角形解决（注意角的象限），几何法算答案，代数法写过程。变角求值所给角与所求角不同，首先用所给角将所求角表示出来，再用三角公式展开，并算出所给角的其他三角函数值，带入计算即可。给值求角先得出要求角的三角函数值，然后根据所给角的范围确定角的值。三角恒等变换与解
21、三角形正弦定理定理射影定理：变形（外接圆半径）类型三角形两边一边对角、三角形两角与一边。余弦定理定理变形等。类型两边及一角（一角为夹角时直接使用，一角为一边对角时列方程）、三边。面积公式基本公式导出公式（外接圆半径）；（内切圆半径）若，则实际应用基本思想把要求解的量归入到可解的三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。常用术语仰角视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。俯角视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。方向角方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目
22、标的方向所成的角（一般是锐角，如北偏西30）。方位角某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。十、等差数列、等比数列数列、等差数列等比数列一般数列概念按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。通项公式数列中的项用一个公式表示，前项和简单的递推数列解法累加法型解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列等差数列，等比数列求解。累乘法型转化法待定系数法比较系数得出，转化为等比数列。等差数列概念满足（常数），递增，递减，常数数列。通项公式前项和公式等比数列概念满足，单调性由的正负，的范围确定。通项公式前项公式公比不等一-1时成等比数列证明
23、等差比数列（1）求递推公式（证谁求谁，独立出下角标最大项）（2）列出定义式（3）带入递推公式，化简整理（5）指出首项，公差或公比十一、数列求和及其数列的简单应用数列求和及数列的简单应用常用求和公式等差数列，特别等比数列自然数平方和自然数立方和常用求和方法公式法如常用裂项方法：令（为等比数列的公示）则通过待定系数法得出的值，然后累加可得和可由计算出来有两个限制数列,其中第一个数列中间每端等距的两项是相等的（）第二个数列中间两端等距的两项和为常数（即）令分组法如绝对值的前项和由正项开始递减等差数列的绝对值求和计算步骤如下：（1）首先找出零值或者符号由正变负的项（2）再对进行分类讨论，当时，；当时，
24、由负项开始递增等差数列的绝对值求和的计算步骤如下：（1)首先找出零值或者符号由负变正的项。（2）再对进行分类讨论，当时，；当时，裂项法如错位相减法为等差，为等比如倒序相加法如整列模型等差数列基本特征是均匀增加或者减少。等比数列基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。一个简单递推数列基本特征是指数增长的同时又均匀减少，如年收入增长率为20%，每年年底要拿出（常数）作为下年度的开销，即数列满足注：表中均为正整数。十二、不等式、线性规划不等式的性质（1）；两个实数的顺序关系：（2）；（3）；（4）；（5）；的充要条件是（6）一元二次不等式解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程
25、的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集。基本不等式二元一次一不式组二元一次不等式的解集是平面直角坐标系中表示某一厕所有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分。简单的线性规划基本概念约束条件对变量的制约条件。如果是的一次式，则称线性约束条件。目标函数求解的最优问题的表达式。如果是的一次性，则称线性目标函数。可行解满足线性约束条件的解（）叫可行解。可行域所有可行解组织的集合叫可行域。最优解使目标函数取得最大值
26、或最小值的可行解叫最优解。线性规划在线性条件约束下求线性目标函数的最大值或最大值的问题。4种基本类型问题解法不含实际背景第一步画出可行域.注意区域边界的虚实第二步根据目标函数几何意义确定最优解。第三步求出目标函数的最值。含实际背景第一步设置两个变量，建立约束条件和目标函数。注意实际问题对变量的限制第二步同不含实际背景的解法步骤。十三、空间几何体（其中为半径、为高、为母线等空间几何体三视图正视图光线从几何体的面前向后面正投影得到的投影图正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等；俯视图与正视图长对正。侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
27、直观图画法使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分面积关系水平放置的平面图形的面积为，使用斜二测画法画出的直线图的面积为，则。表面和体积表面积体积棱柱表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和 棱锥棱台圆柱圆锥圆台球十四、空间点、直线平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：空间点、直线、平面的位置关系基本公理公理1用途判断直线在平面内.公理2不共线确定平面确定平面。公理3确定两平面的交线。公理4两直线平行。位置关系线线共面和异面。共面为相交和平行，不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。点线面。线面，分别对应线面无公共点，一个公共点，无数个公共点
28、。面面。分别对应平面无公共点，两平面有无数个公共点。平行关系判断定理性质定理线面线线平行线面平行线面平行线线平行面面线面平行面面平行面面平行线线平行垂直关系线面线线垂直面面垂直线线垂直线线平行面面线面垂直面面垂直面面垂直线面垂直 空间角定义特殊情况范围线线角把两异面直线平移到相交时两相交互线所成的角两直线平行时角为0所成角为90时称两直线垂直线面角平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角线面平行或线在平面内时线面角为0线面垂直时线面角为90二面角在二事成的棱上一定向两个半平面内作垂直棱的垂线，这条射线所成线两个半平面重合时为0两个半平面成为一个平面时为180当二面角为90时称两个平面垂直空间距离
29、点面距从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。线面距和面面距转化为点面距线面距直线与平面平行时，直线上任一点到平面距离。面面距两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离。十五、空间向量与立体几何（理科）空间向量与立体几何空间向量重要概念共面向量一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。空间基底空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底。基本定理共线定理共线存在唯一实数，共面定理与、（不共线),共面存在实数对使基本定理不共面，空间任意向量存在唯一的,使方向向量所在直线与已知直线l平行或者重合的非零向量叫做直线l的方向向量。立体几何中的向量方法线面标志法向量所在直
30、线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。求平面的法向量（1）设法向量为，为方便计算，可令其中一个坐标为1；（2）在平面内找出连个不共线的向量及其坐标；（3）根据法向量与平面内两个不共线的向量数量积为零，列为方程组；（4）解方程组得出方向量的坐标。位置关系线线平行方向向量共线。线面平行判定定理：直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。面面平行判定定理：两个平面的法向量平行。线线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直判定定理：直线的方向向量与平面的法向量平行。面面垂直判定定理：两个平面的法向量垂直。空间角线线角两直线方向向量为，.线面角直线方向向量为，平面的法向量为，二面角两平面的法向
31、量分别为和，则.空间距离点线距直线的方向向量为，直线上任意一点为，点到平面的距离.两平行线距离转化为点线距。点面距平面的法向量为，平面内任一点为，点到平面的距离.线面距，面面距转化为点面距。建立空间直角坐标系和确定空间一点的坐标的方法（1）如果图形中有由同一点引出的三条线段两两互相垂直（如正方体，长方体），则以此点为原点，三条线段所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系（2）如果有某条直线或线段垂直某平面时（如直棱柱），常以垂足为坐标原点，以这条直线为轴（3）如果有两平面互相垂直时，常由一个平面內某点向交线作垂线，则此垂线垂直于另一平面，可以垂足为坐标原点，此垂线和交线作坐标轴（4）如果平面内有直
32、角时，常以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为轴，轴，总之，坐标系的建立，要有利于各点的坐标表示。探索性问题1.在某线段上找一点，使某结论成立，解方程步骤如下：（1）设（要注意的范围）（2）构造方程（3）解方程（组）2.在某平面上找一点，使某结论成立（1）设点（注意范围）（2）构造方程（3）解方程十六、计数原理与二项式定理（理科）排列组合二项式定理基本原理分类加法计数原理完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。分布乘法计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第1步有种
33、不同的方法做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。排列定义从个不同元素中取出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。排列数公式，规定。组合定义从个不同元素中，任意取出出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。组合数公式。性质；。排列组合解题策略1.排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略。（2）分类与分布有些问题的处理可
34、分成若干类，用加法原理，要注意每类文章的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理。（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数。（4）插空：把某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间。（5）捆绑：把相邻的若干元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列。（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型，如将12个完全
35、相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为，这也就是方程的正整数解的个数。2.圆排列（1）由的个元素中，每次取出个元素排在一个圆环上，叫做圆排列（或叫环状排列）。（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列。（3）定理：在的个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为。3.可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列。在个不同的元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么
36、第一，第二，第位是的选取元素的方法都是种，所以从个不同的元素中，每次取出个元素的可重复的排列数为。4.不尽相异元素的全排列如果个元素相同，又有个元素相同，又有个元素相同，又有个元素相同，这个个元素全部取得排列叫做不尽相异的个元素的全排列，它的排列数是5.可重组合（1）从个元素，每次取出个元素，允许所取的元素重复出现次的组合叫从个元素取出个有重复的组合。（2）定理：从个元素取出个元素有重复的组合数为：。二项式定理定理（叫做二项式系数）项的系数是指该项中除变量外的常数部分通项公式（其中）性质（1）二项开展式共有项。（2）二项开展式中首末两端等距离的两项式系数相等。（3）如果二项式的幂指数是偶数，则
37、中间一项的二项式系数最大是奇数，则中间两项的二项式系数与最大。（4）常数项，指数为零；有理项，指数为整数。（5）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法。系数和公式；十七、直线与圆的方程直线与圆的方程直线与方程概念倾斜角轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与轴平行或重合时倾斜角为斜率倾斜角为，斜率，在直线上。直线方程点斜式，在轴截距为时，在轴截距为时。两点式在，轴截距分别为，时。一般式，时斜率,纵截距距离公式平行当不重合的两条直线和的斜率存在时，；如果不重合直线和的斜率都不存在，那么它们都与轴垂直，则。垂直当两条直线和的斜率存在时，；若两条直线，中的一条斜率不存在，则另一条斜率为0时
38、，它们垂直。交点两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。距离公式点点距，两点之间的距离。点线距点到直线：的距离。线线距：到：的距离。圆与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。标准方程圆心坐标，半径，方程。标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为，半径。一般方程（其中）直径式方程以，为直径的圆的方程为相交相切相离直线与圆代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解几何法圆与圆代数法方程组有两解方程组有一组解方程组无解几何法或或【注：标准根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】十八、圆锥曲线的定义、方程与
39、性质圆锥曲线的定义、方程与性质定义标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。【，】轴轴坐标原点椭圆中 双曲线中双曲线平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。【】抛物线平面内到一个定点和一条定直线（定点不在定直线）距离相等的点的轨迹是抛物线。【焦点到准线的距离等于，,焦参数】轴【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】轴常用性质椭圆或双曲线上一点与两焦点构成的称为焦点三角形， （椭圆）（双曲线）抛物线的焦点弦：（为直线与对称轴的夹角）点，若将曲线方程中的，作如下变形：，得到一个新的方程当
40、点在曲线上时，此方程代表圆锥曲线上在点处的切线方程，当点在曲线外时，此方程代表从点作两天切线的切点,两点连线的切点弦方程与直线相交于两点，为的中点，则（若为双曲线，则把换为即可）椭圆（圆）与直线相交，相切，相离直线与抛物线相切过定点的两条动直线、与圆锥曲线分别交于，设、相交于点，相交于点，则当圆锥曲线为椭圆且不为坐标原点时，点的轨迹都是定直线（双曲线则把换为即可），当圆锥曲线为抛物线时，的轨迹都是定直线以椭圆上一定点为直角顶点的椭圆内接直线三角形的斜边必过定点，且定点恰在斜边的中点轨迹上，定点为以抛物线定点为直角顶点的椭圆内接直线三角形的斜边必过定点，且定点恰在斜边的中点轨迹上，定点为直角三角
41、形的直角顶点在中心，斜边的端点在椭圆上，则中心在斜边上的射影轨迹是圆焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆以焦点半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆简称“大圆”，与椭圆内切，）相切以焦点半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆简称“大圆”，与双曲线外切，）相切以焦点半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆椭圆，双曲线，抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数由焦点发出的光线经椭圆曲面反射后的光线必经过另一焦点由焦点发出的光线经双曲面反射后的光线所在的直线必经过另一焦点由焦点发出的光线经抛物面反射后的光线与轴平行椭圆上动点对直径端点的斜率之积为定值椭圆中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线焦点轨迹为与椭圆共顶点的双曲线椭圆的两焦点到任意一切线的距离之积为定值椭圆的两条正交切线的交点轨迹是圆注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐进线方程分别为，2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是。十九、圆锥曲线的热