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1、 有有A A，B B两种不同品牌的手表，它们的两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差日走时误差”分别为分别为X X，Y Y（单位：（单位：s s），），X X，Y Y的分布列如下：的分布列如下：01.03100.03101.03150.03100.03150.031X XY Y(1)(1)分别计算分别计算X X，Y Y的均值，并进行比较；的均值，并进行比较；(2)(2)这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同？不同？分析理解分析理解 根据根据X X，Y Y的分布列计算可以得到的分布列计算可以得到EX=EY=0EX=EY=0，也，也就是说这两种
2、表的平均日走时误差都是就是说这两种表的平均日走时误差都是0.0.因此仅因此仅仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更好好. .但进一步观察，我们可以发现但进一步观察，我们可以发现A A品牌的表的误品牌的表的误差只有差只有0.01s0.01s，而，而B B品牌的表的误差为品牌的表的误差为0.05s0.05s，A A品牌的表要好一些品牌的表要好一些. . 除了均值外，还有其他刻画随机变量特点的除了均值外，还有其他刻画随机变量特点的指标吗？指标吗？2.3.2 离散型随机变量的方差 1.1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标理解取有限个值的离散型随机变
3、量的方差及标准差的概念准差的概念. .（重点）（重点）2.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题一些实际问题（重点）（重点）3.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差方差的求法，会利用公式求它们的方差. .（难点）（难点）一、学习目标：一、学习目标：1 1minmin二、自学指导：二、自学指导：( (8 8min)min)从从P64P64P66P66例例4 4以上部分以上部分1.1.离散型随机变量的方差的定义，离散型随机变量的方差的定义，会根据离会根据离散散
4、型随机变量的分布列求出均值与方差型随机变量的分布列求出均值与方差. .2.2.掌握两点分布、掌握两点分布、二项分布二项分布的方差特点和计算公式的方差特点和计算公式3.3.离散型随机变量的方差的性质离散型随机变量的方差的性质 D D（Y Y）a2D D（X X），），4.4.会利用离散型随机变量的方差反映离散型会利用离散型随机变量的方差反映离散型随机变随机变量偏离均值量偏离均值的平均水平，解决一些相关的实际问题的平均水平，解决一些相关的实际问题三、自学检测：三、自学检测：6 6minminP68P68练习练习1 1，2 21.1.直接用公式：直接用公式：E(X)=2E(X)=22.2.直接用公式
5、：直接用公式：D D（X X）=c-E=c-E( (X)X)2 21=01=01.21.2301.25XDX21( )()niiiD xxE Xp探究点探究点1 1 离散型随机变量的方差的概念离散型随机变量的方差的概念0.100.100.270.270.310.310.200.200.090.090.030.03P P 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5X X1 1问题一：问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击中目标靶的环数中目标靶的环数X X1 1，X X2 2的分布列分别如下：的分布列分别如下：0.330.330.410.410.2
6、00.200.050.050.010.01P P 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5X X2 2如果仅从平均射击成绩比较，能否区分甲、乙两人如果仅从平均射击成绩比较，能否区分甲、乙两人的射击水平？的射击水平？ E(X E(X1 1) )E(XE(X2 2) ) 8 8，不能区分，不能区分. . 问题二：问题二：考察考察X X1 1和和X X2 2的分布列图，甲、乙两人的射击的分布列图，甲、乙两人的射击水平有何差异？水平有何差异？乙的射击成绩更集中乙的射击成绩更集中于于8 8环，相对较稳定环，相对较稳定. .5 6 7 8 9 10 X5 6 7 8 9 10 X1 1P P0.10.10.
7、20.20.30.3O O5 6 7 8 9 X5 6 7 8 9 X2 2 P P0.10.10.20.20.30.30.40.4O O问题三：问题三：从分布列图象观察随机变量相对于均值的偏从分布列图象观察随机变量相对于均值的偏离程度，只是一种直观的定性分析，有时难以区分，离程度，只是一种直观的定性分析，有时难以区分，理论上需要有一个定量指标来反映理论上需要有一个定量指标来反映. .类似样本方差，能类似样本方差，能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性？性？ 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为p
8、pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X称称DXX 为随机变量为随机变量X X的标准差的标准差. .2221122()()()()nnD XxE XpxE XpxE Xp为随机变量为随机变量X X的方差的方差. .n个积之和个积之和21()niiiDXxE Xp简记为：简记为：已知已知X的分布列为的分布列为则则D(X)等于等于() A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0X X-1-10 01 1P P0.50.50.30.30.20.2【即时训练即时训练】【解解】E(X)=10.500.310.2=0.3,D(X)=(10
9、.3)20.5(00.3)20.30.2(10.3)2=0.61.B想一想想一想：你能类比样本数据方差的计算公式，理：你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？解离散型随机变量方差的计算公式吗？提示提示 设设 x1、x2、xn为样本的为样本的 n 个数据个数据，xx1xnn，则该样本数据的方差则该样本数据的方差 s2i1n (xi x)21n，由于，由于 x相当于离散相当于离散型随机变量中的型随机变量中的 E(X)，而，而1n相当于每个数据出现的频率相当于每个数据出现的频率(概概率率)pi，故离散型随机变量，故离散型随机变量 X 的方差可定义为：的方差可定义为： D(
10、X)i1n (xiE(X)2pi(i1，2，n) 问题四：问题四：方差或标准差的大小变化，对随机变量方差或标准差的大小变化，对随机变量X X偏离于均值偏离于均值E(X)E(X)的平均程度产生什么影响？的平均程度产生什么影响？ 方差或标准差越小方差或标准差越小( (大大) )，表示表示随机变量随机变量偏离偏离于于均值的均值的平均程度平均程度越小越小( (大大). ). 问题五：问题五：随机变量的方差与样本数据的方差有何随机变量的方差与样本数据的方差有何联系和区别？联系和区别？联系：联系：都是反映离散程度和稳定性的定量指标都是反映离散程度和稳定性的定量指标. .区别：区别：随机变量的方差是常数，样
11、本的方差是随机随机变量的方差是常数，样本的方差是随机变量，随着样本容量的增加，样本方差愈接近总体变量，随着样本容量的增加，样本方差愈接近总体方差方差. . 问题一：问题一：若随机变量若随机变量X X服从服从两点分布两点分布 B(1B(1，p p) )，则，则D(X)D(X)等于什么？等于什么？E(X)E(X)p. p. D(X) D(X)p p(1(1p p) )(1(1p p) )E(X)E(X). . 探究点探究点2 2 特殊分布列的方差及离散型随机变量的特殊分布列的方差及离散型随机变量的方差的性质方差的性质 D(X) D(X)0-E(x)0-E(x)2 2(1(1p)p)+1-E(x)+
12、1-E(x)2 2p p p p2 2(1(1p)p)+1-p+1-p2 2p pp p(1(1p)p)p+(1-p)p+(1-p) p p(1(1p)p)E(X)E(X)2 2p. p. D(X) D(X)2 2p p(1(1p p) )(1(1p p)E(X). )E(X). 探究点探究点2 2 特殊分布列的方差及离散型随机变量的特殊分布列的方差及离散型随机变量的方差的性质方差的性质 D(X) D(X)0-E(x)0-E(x)2 2q q2 2+1-E(x)+1-E(x)2 22pq,2pq,+2-E(x)+2-E(x)2 2p p2 2 4p4p2 2q q2 2+(1-2p)+(1-2
13、p)2 22pq+2pq+(2-2p)(2-2p)2 2p p2 2 4p4p2 2q q2 2+(1-2p)+(1-2p)2 22pq+2pq+4(1-p)4(1-p)2 2p p2 2 2p2pq q2pq+(1-2p)2pq+(1-2p)2 2+2pq+2pq2pq2pq(4pq+1(4pq+14 4p+4pp+4p2 2) ) 2p2pq q2p(1-p)2p(1-p)问题二：问题二：若随机变量若随机变量X X服从服从二项分布二项分布 B(2B(2，p)p)，则，则D(X)D(X)等于什么？等于什么？X012 2p0022C p q1112C p q2202C p qX01knp00n
14、nC p q111nnC p qkkn knC p q0nnnC p q问题三：问题三：据归纳推理，若随机变量据归纳推理，若随机变量X X服从二项分布服从二项分布B(B(n n，p)p)，则，则D(X)D(X)等于什么？等于什么？E(X)E(X)n np. p. D(X)D(X)npnp(1(1p p) )(1(1p p) )E(XE(X) ). .问题四：问题四：若若Y YaXaXb b，其中，其中a a，b b为常数，则为常数，则D(Y)D(Y)与与D(X)D(X)有什么关系？由此可得什么结论？有什么关系？由此可得什么结论？问题四：问题四：若若Y YaX Xb b，其中，其中a，b b为常
15、数，则为常数，则D(Y)D(Y)与与D(X)D(X)有什么关系？由此可得什么结论？有什么关系？由此可得什么结论？D(D(aX Xb b) )a2 2D(X).D(X).D(Y)D(Y)a2 2D(X),D(X),归纳：一、离散型随机变量方差定义归纳：一、离散型随机变量方差定义1.1.两点分布两点分布 B(1B(1，p p) )，则则D(X)=(1-p)D(X)=(1-p)E(X)E(X)=(1-p)p=(1-p)p2.2.二项分布二项分布X XB(nB(n，p p) )，则则D(X)=(1-p)D(X)=(1-p)E(X)E(X)=(1-p)np=(1-p)np三、离散型随机变量方差的性质：三
16、、离散型随机变量方差的性质：若若y=y=ax+b,x+b,则则D(Y)=D(Y)=a2 2D(X)D(X)为随机变量为随机变量X X的方差，的方差，2221122( )()()()nnD xxE XpxE XpxE Xp21( )()(1,2, )niiiD xxE Xp in二、特殊分布列的方差二、特殊分布列的方差n n个积之和个积之和n个积之和个积之和简记为：简记为：【解析解析】由由m+2m=1m+2m=1得得 m= m= 【即时训练即时训练】已知某离散型随机变量已知某离散型随机变量X X服从的分布列如下表服从的分布列如下表, ,则则随机变量随机变量X X的方差的方差D(X)D(X)等于等
17、于_._.X X0 01 1P Pm m2m2m1.312201333 ，222122201.33339()()29E(X)= E(X)= 所以所以D(X)= D(X)= P66P66例例4 4随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数点数X X的均值、方差和标准差的均值、方差和标准差. .解：解：抛掷骰子所得点数抛掷骰子所得点数X X的分布列为的分布列为X X1 12 23 34 45 56 6P P616161616161; 5 . 3616615614613612611)(XE.71. 1)(;92. 261)5 . 36(61)5 . 35(6
18、1)5 . 34(61)5 . 33(61)5 . 32(61)5 . 31 ()(222222XDXD 已知已知X的分布列为的分布列为X101P求：求：(1)E(X)，D(X)；(2)设设Y2X3，求，求E(Y)，D(Y)【变式练习变式练习】1111(1)()1012363E X 解：2221111115()( 1)(0)(1)3233369D X 7(2)( )2()33E YE X2220( )()2()9D Ya D XD X121316P67P67例例5 5 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：下信息： 获得相应职位的概率获得相应职
19、位的概率P P1 1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.41 8001 8001 6001 6001 4001 4001 2001 200甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X X1 1/ /元元 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.42 2002 2001 8001 8001 4001 4001 0001 000乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X X2 2/ /元元获得相应职位的概率获得相应职位的概率P P2 2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：根据月工资的分布列，利用
20、计算器可算得根据月工资的分布列，利用计算器可算得1E(X )1 200 0.4 1 400 0.3 1 600 0.2 1 800 0.11 400 ，22122D(X )(1 200 1 400)0.4(1 400 1 400)0.3(1 600 1 400)0.2(1 800 1 400)0.140 000; 2E(X )1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.22 200 0.11 400 ，22222D(X )(1 000 1 400)0.4(1 400 1 400)0.3(1 800 1 400)0.2(2 200 1 400)0.1160 000. 因为因为E(XE
21、(X1 1)=E(X)=E(X2 2),D(X),D(X1 1) )D(XD(X2 2),),所以两家单所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散对集中，乙单位不同职位的工资相对分散. .这样，这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位就选择乙单位. .期望期望(1) ()E aXbaEXb期望反映了期望反映了X X取值取值的平均水平。的平均水平。方差方差意义意
22、义则则EX= np2(1)()D aXba DX(3)若若XB（n,p）则则 DX= np(1p)计算计算公式公式(3)若若XB（n,p）(2)若若X服从两点分布，服从两点分布，则则 DX=p(1-p)方差反映了方差反映了X取值的稳定取值的稳定与波动，集中与离散程度与波动，集中与离散程度(2)若若X服从两点分服从两点分布，则布，则 EX=p【提升总结提升总结】【综合应用综合应用】某一大学毕业生参加某一公司的笔试某一大学毕业生参加某一公司的笔试, ,共有共有5 5个问题需个问题需要解答要解答, ,如该同学答对每个问题的概率均为如该同学答对每个问题的概率均为 , ,且每个且每个问题的解答互不影响问
23、题的解答互不影响. .(1)(1)求该同学答对问题的个数求该同学答对问题的个数的期望与方差的期望与方差. .(2)(2)设答对一个题目得设答对一个题目得1010分分, ,否则扣否则扣1 1分分, ,求该同学得分求该同学得分的期望与方差的期望与方差. .23【解题指南解题指南】解答该解答该5 5个问题可以认为是个问题可以认为是5 5次独立重复试验次独立重复试验, ,答答对问题的个数对问题的个数服从二项分布服从二项分布, ,求求的期望与方的期望与方差可通过差可通过与与的线性关系间接求出的线性关系间接求出. .【自主解答自主解答】(1)(1)由题意知由题意知, ,解答这解答这5 5个问题个问题, ,
24、答对的个数答对的个数服从二项分布服从二项分布, ,即即B B 由二项分布的期望与方差的公式有由二项分布的期望与方差的公式有E(E()=)=npnp=5=5 D(D()=np(1-p)=5)=np(1-p)=5 (2)(2)因为该同学的得分为因为该同学的得分为,=10+(5-)=10+(5-)(-1)=11-5,(-1)=11-5,所以得分所以得分的期望为的期望为E(E()=E(11-5)=E(11-5)=11E()-5=11=11E()-5=11 -5= -5= 方差方差D D()=()=D D(11-5)=11(11-5)=112 2D D()=121()=121 2(5)3， ，21033
25、，22101.339( )953，101 210.99103【规律总结规律总结】离散型随机变量方差的性质应用及离散型随机变量方差的性质应用及运算的注意点运算的注意点(1)(1)简化运算简化运算: :当求随机变量当求随机变量的期望与方差时的期望与方差时, ,可首先分析可首先分析是否服从二项分布是否服从二项分布, ,如果服从如果服从, ,则用则用公式求解公式求解, ,可大大减少运算量可大大减少运算量. .(2)(2)性质应用性质应用: :注意利用注意利用E(a+bE(a+b)=)=aE()+baE()+b及及D(a+bD(a+b)=a)=a2 2D()D()求期望与方差求期望与方差. .1 1给出
26、下列四个命题：给出下列四个命题：离散型随机变量离散型随机变量的均值的均值E E( () )反映了反映了取值的概率的平均取值的概率的平均值；值；离散型随机变量离散型随机变量的方差的方差D D( () )反映了反映了取值的平均水平；取值的平均水平；离散型随机变量离散型随机变量的均值的均值E E( () )反映了反映了取值的平均水平；取值的平均水平；离散型随机变量离散型随机变量的方差的方差D(D() )反映了反映了取值取值偏离于偏离于均值的均值的平均程度平均程度则正确命题应该是则正确命题应该是( () )A A B B C C D DD DA A (, ),【解析】 根据已知得服从两点分布i=1 2
27、i由两点分布的均值和方差知E(i)=pi,D( )i=pi(1-pi), 因 为0p1p212, 所以E( )1=p1p2=E( 2),D( 1)-D( 2)=p1-21p-( )p2-=(p1-p2)()1 , 已知p1p2,p1+p21, 所以D(1)-D(2)0,即 D(1)D(2) 22p-12pp3.(2017全国卷全国卷)一批产品的二等品率为一批产品的二等品率为0.02,从这从这批产品中每次随机取一件批产品中每次随机取一件,有放回地抽取有放回地抽取100次次,X表表示抽到的二等品件数示抽到的二等品件数,则则DX=.【解析】【解析】XB(100,0.02),所以所以DX=np(1-p
28、) =1000.020.98=1.96.1.96112211229x,x1,5x2x,5x1,xx ,x2,4 解解 得得或或由由 于于所所 以以所所 以以 X X的的 分分 布布 列列 为为255.20155.2015年初雾霾天气影响了大半个中国年初雾霾天气影响了大半个中国, ,可以通过植可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量树的方式来抵消因出行产生的碳排放量, ,某居民非常某居民非常支持这一方案支持这一方案, ,计划在植树节期间种植计划在植树节期间种植n n棵树棵树, ,已知每已知每棵树是否成活互不影响棵树是否成活互不影响, ,成活率为成活率为p(0p1),p(0p1),用用表示表示
29、他所种植的树中成活的棵数他所种植的树中成活的棵数,的数学期望为的数学期望为E(E(),),方差为方差为D(D().).(1)(1)若若n=1,n=1,求求D(D() )的最大值的最大值. .(2)(2)已知已知E(E()=3,)=3,标准差标准差 求求n,pn,p的值的值. .3D2（ ） ，【解题指南解题指南】(1)(1)首先利用方差公式求出首先利用方差公式求出的方的方差差D(D(),),再求最值再求最值. .(2)(2)由期望与方差的计算公式建立由期望与方差的计算公式建立n,pn,p的方程组求的方程组求解解. .【解析解析】(1)(1)当当n=1,=0,1,n=1,=0,1,于是于是的分布
30、列为的分布列为所以所以E(E()=0)=0(1-p)+1(1-p)+1p=p.p=p.所以所以D(D()=(0-p)=(0-p)2 2(1-p)+(1-p)(1-p)+(1-p)2 2p p=p-p=p-p2 2 = = 即当即当p= p= 时时, ,D(D() )有最大值有最大值 . .0 01 1P P1-p1-pp p211(p)24 ，1214(2)(2)因为因为B(n,pB(n,p),),所以所以E(E()=)=np,D(np,D()=np(1-p),)=np(1-p),所以所以npnp=3, =3, 所以所以p= ,n=4.p= ,n=4.3np(1p)2，34【规律总结规律总结】
31、确定目标建立模型求最值确定目标建立模型求最值(1)(1)根据根据E(X),D(X)E(X),D(X)的计算公式建立关于的计算公式建立关于p p的目标的目标函数函数. .(2)(2)利用函数方法或基本不等式求最值利用函数方法或基本不等式求最值. .离散型随机变量方差的性质离散型随机变量方差的性质离散型随机离散型随机变量的方差变量的方差离散型随机变量方差的定义离散型随机变量方差的定义归纳求离散型随机变量方差归纳求离散型随机变量方差的步骤的步骤确定所有可能取值；确定所有可能取值；写出分布列；写出分布列；求出均值求出均值DXabaXD2)( (1)XDXpp若 服从两点分布，则 )1(),(pnpDXpnBX ，则，则若若由方差的定义求出由方差的定义求出D(X).D(X). 每个人都有潜在的能量，只是很容易被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨.