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1、2.1.3 空间中直线与平面之间的位置空间中直线与平面之间的位置关系关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系 1.了解直线与平面的位置关系了解直线与平面的位置关系,并学会用符号和图形表示它并学会用符号和图形表示它们们.2.了解两个平面有相交和平行两种位置关系了解两个平面有相交和平行两种位置关系,会用图形表示它会用图形表示它们们.课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P29) 1.直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系(完成下表完成下表 a=A 2.两个平面的位置关系两个平面的位置关系(完成下表完成下表)无公共点无公共点名名 师师 讲讲 解解 (学生用书学生用书P3
2、0) 1.空间中直线与平面位置关系的分类空间中直线与平面位置关系的分类直线与平面的位置关系有且只有三种直线与平面的位置关系有且只有三种:按公共点个数分类按公共点个数分类直线和平面平行直线和平面平行,直线和平面不平行直线和平面不平行直线和平面相交直线和平面相交.直线在平面内直线在平面内.按是否在平面内分类按是否在平面内分类:一一.直线在平面内；直线在平面内；二二.直线在平面外直线在平面外:1.直线和平面相交直线和平面相交, 2.直线和平面平行直线和平面平行.2.两个平面位置关系的画法两个平面位置关系的画法(1)两个平行平面的画法两个平行平面的画法画两个平行平面时画两个平行平面时,要注意把表示平面
3、的平行四边形画成对应要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行边平行,如图如图(a).(2)两个相交平面的画法两个相交平面的画法先画表示两个平面的平行四边形的相交两边先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图如图(b).再画出表示两个平面交线的线段再画出表示两个平面交线的线段,如图如图(c).过图过图(c)中线段的端点分别引线段中线段的端点分别引线段,使它们平行于图使它们平行于图(c)中表中表示交线的线段示交线的线段,如图如图(d).画出图画出图(d)中表示两个平面的平行四边形的第四边中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住被遮住的线的线,可以画成虚线可以画成虚线,也可以不画也可以不画),
4、如图如图(e).3.特别提醒特别提醒(1)在解答直线与平面的有关问题时在解答直线与平面的有关问题时,要想像所有可能情况要想像所有可能情况,思思考要全面考要全面.(2)平行平面具有传递性平行平面具有传递性,即即,.(3)本节内容可以以长方体为模型本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面抽象出直线与平面,平面与平面与平面的位置关系平面的位置关系.典典 例例 剖剖 析析 (学生用书学生用书P30) 题型一题型一 空间图形的画法空间图形的画法例例1:分别按下列条件画出直观图分别按下列条件画出直观图.(1)ab=P,a平面平面,b平面平面=A;(2)平面平面平面平面=l,a平面平面=A,a平面平面.
5、解解:根据题设及平面图形直观图的画法根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示得直观图如下图所示. 变式训练变式训练1:完成下列作图完成下列作图.(1)在图中画出两个平行平面在图中画出两个平行平面;答案：答案：(2)在图中画出两个相交平面在图中画出两个相交平面;答案：答案：(3)在图中画出三个平行平面在图中画出三个平行平面;答案：答案：(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交在图中画出一个平面与两个平行平面相交;答案：答案：(5)在图中分别画出三个两两相交的平面在图中分别画出三个两两相交的平面.答案：答案：题型二题型二 直线与平面间的位置关系直线与平面间的位置关系例例2:下列命题中正
6、确命题的个数为下列命题中正确命题的个数为( )直线直线l平行于平面平行于平面内的无数条直线内的无数条直线,则则l;若直线若直线a在平面在平面外外,则则a;若直线若直线ab,直线直线b ,则则a;若直线若直线ab,b 平面平面,那么直线那么直线a就平行于平面就平行于平面内的无内的无数条直线数条直线.A.1 B.2C.3D.4答案答案:A解析解析:对于对于,直线直线l虽与平面虽与平面内无数条直线平行内无数条直线平行,但但l有可能有可能在平面在平面内内(若改为平面若改为平面外的直线外的直线l与与内无数条直线都平内无数条直线都平行行,则必有则必有l),是假命题是假命题.对于对于,直线直线a在平面在平面
7、外外,包括两种情况包括两种情况a和和a与与相交相交,a与与不一定平行不一定平行,为为假命题假命题.对于对于,ab,b ,只能说明只能说明a与与b无公共点无公共点,但但a可能在平面可能在平面内内,a不一定平行于平面不一定平行于平面,也是假命题也是假命题.对于对于,ab,b .那么那么a ,或或a.a可以与平面可以与平面内的无数条直线平行内的无数条直线平行,是真命题是真命题.综上综上,真命题的个数真命题的个数为为1. 规律技巧规律技巧:解答本题关键在于两点解答本题关键在于两点:(1)弄清概念弄清概念;(2)要有一定要有一定的空间想象能力的空间想象能力. 变式训练变式训练2:过平面外两点作该平面的平
8、行平面过平面外两点作该平面的平行平面,可以作可以作( )A.0个个 B.1个个C.0个或个或1个个D.1个或个或2个个解析解析:当这两点的连线不与平面平行时当这两点的连线不与平面平行时,过这两点不存在与已过这两点不存在与已知平面平行的平面知平面平行的平面.当这两点的连线与已知平面平行时当这两点的连线与已知平面平行时,能能作一个平面与已知平面平行作一个平面与已知平面平行,故选故选C.答案答案:C题型三题型三 直线与平面相交的判定直线与平面相交的判定例例3:求证求证:两条平行线中的一条与已知平面相交两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也则另一条也与该平面相交与该平面相交.已知已知:直线直线a
9、b,a=P,求证求证:直线直线b与平面与平面相交相交.证明证明:如上图所示如上图所示,ab,a与与b确定一个平面确定一个平面,设为设为.a=P.平面平面和平面和平面相交于过点相交于过点P的一条直线的一条直线l.在平面在平面内内l与两条平行线与两条平行线a,b中一条直线中一条直线a相交相交.l必与必与b相交于相交于Q,即即bl=Q,又又.b与平面与平面相交相交.,bl 规律技巧规律技巧:证明直线与平面相交的方法有证明直线与平面相交的方法有:(1)反证法反证法,即否定即否定直线在平面内直线在平面内,否定直线与平面平行否定直线与平面平行,然后一一推出矛盾然后一一推出矛盾.(2)证明直线与平面只有一个
10、公共点证明直线与平面只有一个公共点.变式训练变式训练3:如果一条直线经过平面内的一点如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的又经过平面外的一点一点,则此直线和平面相交则此直线和平面相交.已知已知:a=A,Ba,B.求证求证:直线直线a与平面与平面相交相交.证明证明:如下图所示如下图所示,假设直线假设直线a与平面与平面不相交不相交.即即a或或a.若若a,这与已知这与已知a=A相矛盾相矛盾.若若a,这与这与Ba,B 相矛盾相矛盾.假设不成立假设不成立.直线直线a与平面与平面相交相交.易错探究易错探究例例4:如图如图,在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1的面的面A1C1上有一点上有一点P(P
11、B1D1),过过P点在平面点在平面A1C1上作一直线上作一直线l,使使l与直线与直线BD成成角角,这样的直线这样的直线l有有( )A.1条条B.2条条C.1条或条或2条条D.无数条无数条错解错解:因为因为BDB1D1,所以所以l与与B1D1所成的角所成的角,就是就是l与与BD所成所成的角的角.在平面在平面A1C1内以内以P为顶点为顶点,底边在底边在B1D1上作一个等腰上作一个等腰三角形三角形,使底角为使底角为,则两腰所在直线就与则两腰所在直线就与B1D1成等角成等角,所以所以这样的直线有两条这样的直线有两条.应选应选B.答案答案:B错因分析错因分析:错解中受定势思维的影响错解中受定势思维的影响
12、,只考虑了只考虑了时的一般情况时的一般情况,而忽略了特殊情况而忽略了特殊情况.当当时时, 这样的这样的直线只有一条直线只有一条.(0,)202 或(0,);2(2)02当时，这样的直线有两条当或时，这样的直线只有条.正解正解:(1)答案答案:C技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P31) 基础强化基础强化1.ab,且且a与平面与平面相交相交,那么直线那么直线b与平面与平面的位置关系是的位置关系是( )A.必相交必相交 B.有可能平行有可能平行C.相交或平行相交或平行D.相交或在平面内相交或在平面内答案答案:A2.若三个平面两两相交若三个平面两两相交,则它们交线的条数是则它们交线的条数是(
13、)A.1B.2C.3D.1或或3答案答案:D3.若两个平面平行若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线则分别在这两个平行平面内的直线( )A.平行平行B.异面异面C.相交相交D.平行或异面平行或异面答案答案:D4.已知直线已知直线a平面平面,直线直线b,则则a与与b的关系是的关系是( )A.相交相交B.平行平行C.异面异面D.平行或异面平行或异面答案答案:D5.过平面外一点过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是可作这个平面的平行线的条数是( )A.1条条B.2条条C.无数条无数条D.很多但有限很多但有限答案答案:C6.如果直线如果直线a平行于平面平行于平面,则则( )A.平面平面内有
14、且只有一条直线与内有且只有一条直线与a平行平行B.平面平面内有无数条直线与内有无数条直线与a平行平行C.平面平面内不存在与内不存在与a平行的直线平行的直线D.平面平面内的任意直线与直线内的任意直线与直线a都平行都平行答案答案:B7.已知已知m,n为异面直线为异面直线,m平面平面,n平面平面,=l.则则l( )A.与与m,n都相交都相交B.与与m,n中至少一条相交中至少一条相交C.与与m,n都不相交都不相交D.至多与至多与m,n中的一条相交中的一条相交答案答案:B8.简述结论简述结论,并画图说明并画图说明.直线直线a在平面在平面内内,直线直线b与直线与直线a相交相交,则直线则直线b与平面与平面的
15、位置的位置关系如何关系如何?解解:直线直线b与平面与平面的位置关系有两种的位置关系有两种:b ,b=A.能力提升能力提升9.如下图如下图,在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,指出指出B1C,D1B所在直所在直线与各个面所在平面的关系线与各个面所在平面的关系.解解:B1C所在直线与各面所在平面的关系是所在直线与各面所在平面的关系是:B1C在平面在平面BB1C1C内内,B1C平面平面AA1D1D.与平面与平面ABB1A1 平面平面CDD1C1,平面平面ABCD,平面平面A1B1C1D1都相交都相交.直线直线D1B与各个面都相交与各个面都相交.10.求证求证:过平面内一点过平面内一点,作
16、平面内一直线的平行线必在此平面作平面内一直线的平行线必在此平面内内.证明证明:设点设点A平面平面,a平面平面,Aa,过点过点A存在直线存在直线ba.设设a,b确定的平面为确定的平面为,则则A,且且a.平面平面 都是由点都是由点A和直线和直线a确定的平面确定的平面.与与重合重合,b,故结论成立故结论成立.品品 味味 高高 考考(学生用书学生用书P32) 11.(湖北高考湖北高考)已知已知a,b,c是直线是直线, 是平面是平面,给出下列命题给出下列命题:若若ab,bc,则则ac;若若ab,bc,则则ac;a,b,则则ab;若若a b异面异面,且且a,则则b与与相交相交;若若a b异面异面,则至多有
17、一条直线与则至多有一条直线与a b都垂直都垂直.其中真命题的个数为其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析解析:仅为真命题仅为真命题.答案答案:A12.(2008辽宁辽宁)在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E F分别为分别为棱棱AA1 CC1的中点的中点,则在空间中与三条直线则在空间中与三条直线A1D1 EF CD都相交的直线都相交的直线( )A.不存在不存在B.有且只有两条有且只有两条C.有且只有三条有且只有三条D.有无数条有无数条解析解析:过直线过直线A1D1可做无数个平面与直线可做无数个平面与直线EF、CD相交相交,则其则其交点的连线必与直线交点的连线必与直线A1D1相交相交,故可以有无数条直线与三故可以有无数条直线与三条直线同时相交条直线同时相交.答案答案:D