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1、名师精编欢迎下载解析几何 -专题复习考点 1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程例 1： （2010安徽高考理科19）已知椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴，焦点12,FF在x轴上，离心率12e。 (1)求椭圆E的方程； (2) 求12F AF的角平分线所在直线l的方程；(3) 在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。练习 1已知双曲线12222byax(a0,b0,0,021yy。（1）设动点P满足422PBPF, 求点 P的轨迹；（2）设31,221xx，求点 T 的坐标；（3）设9t, 求证：直线MN必过 x 轴上的一定点（其坐标与m无关） 。精
2、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师精编欢迎下载详细解答例 1（1）设椭圆E的方程为22221xyab（0ab） ，由题意12cea，22491ab，又222cab，解得：2,4,2 3cab椭圆E的方程为2211612xy（ 2）方法1：由（ 1）问得1( 2, 0)F，2(2,0)F，又2, 3A，易得12F AF为直角三角形，其中21213,4,5,AFF FAF设12F AF的角平分线所在直线l与 x 轴交于点M， 根据角平线定理可知：1212AFAFF MF M， 可得232F M，1(,0)2M直线l的
3、方程为：10213022xy，即21yx。方法 2：由（ 1）问得1( 2,0)F，2(2,0)F，又2,3A，1( 4, 3)AF，2(0, 3)AF，1212114( 4, 3)(0, 3)(1,2)535|AFAFAFAF，2lk，直线l的方程为：32(2)yx，即21yx。（3）假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令11(,)P xy、22(,)Q xy，且PQ的中点为00(,)R xyPQl，212112PQyykxx，又221122221(1)16121(2)1612xyxy，两式相减得 : 2222212101612xxyy21212121161612()121223
4、xxyyyyxx, 即0023xy（3） ，又00(,)R xy在直线l上，0021yx（4）由（ 3） （4）解得：002,3xy，所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾，故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点。练习 1. 解：双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师精编欢迎下载支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，ba3，离心率e2=22222cabaa 4， e 2，选 C。例 2：
5、（）因为63ca，且2c，所以223,1abac所以椭圆C的方程为2213xy.（）由题意知(0, )( 11)ptt由2213ytxy得23(1)xt所以圆 P的半径为23(1)t.由2| |3(1)tt，解得32t.所以点 P的坐标是（ 0，32）.（）由（）知，圆P 的方程222()3(1)xytt.因为点( , )Q x y在圆P 上。所以由图可知y2223(1)3(1)txtt。设cos ,(0,)t，则23(1)cos3sin2sin()6tt当3，即12t，且0 x，y取最大值2. 练习 2、解：（1）设椭圆方程为22221yxab（ab0） 因为33e，得2223ba又221
6、1b，则222,3ba故椭圆的标准方程是22132yx（2）由椭圆方程知，c1，所以焦点F（ 0，1） ，设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由AFFB，得（ x1，1y1） （x2，y21） ，所以 x1x2，1y1 （y21） 于是22212xx因为2114xy，2224xy，则 y12y2联立 y12y2和 1y1 （y21） ，得 y1 ， y21因为抛物线方程为y14x2，求导得 y 12x设过抛物线上的点A、B 的切线分别为l1，l2，则直线 l1的方程xyPMNO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12
7、 页名师精编欢迎下载是 y12x1（xx1） y1，即 y12x1x14x12直线 l2的方程是y12x2（xx2） y2，即 y12x2x14x22联立 l1和 l2的方程解得交点M 的坐标为1212(,)24xxx x因为 x1x2 x22 4y2 4 所以点 M12(, 1)2xx于是12(, 2)2xxFM，AB（x2x1，y2y1） 所以FMAB2221212()2xxyy12（x22x12） 2（14x2214x12） 0故2F M AB为定值 0练习 3、解：（1）由题意得212,121babba所求的椭圆方程为2214yx（2）不妨设21122(,),(,),( ,),M xy
8、N xyP t th则抛物线2C在点 P 处的切线斜率为2xtyt，直线 MN 的方程为22ytxth，将上式代入椭圆1C的方程中，得2224(2)40 xtxth，即222224 14 ()()40txt th xth，因为直线MN 与椭圆1C有两个不同的交点，所以有4221162(2)40thth，设线段 MN 的中点的横坐标是3x，则21232()22(1)xxt thxt，设线段 PA 的中点的横坐标是4x，则412tx，由题意得34xx，即有2(1)10th t，其中的22(1)40,1hh或3h；当3h时有220,40hh，因此不等式4221162(2)40thth不成立；因此1h
9、，当1h时代入方程2(1)10th t得1t，将1,1ht代入不等式4221162(2)40thth成立，因此h的最小值为1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师精编欢迎下载例 3： （1） 由题意知， 椭圆离心率为ca22，得2ac， 又22ac4 ( 2 1 )， 所以可解得2 2a，2c，所以2224bac，所以椭圆的标准方程为22184xy；所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144xy. （2）设点 P（0 x，0y） ，则1k=00
10、2yx，2k=002yx，所以12k k002yx002yx= 20204yx，又点 P（0 x，0y）在双曲线上，所以有2200144xy，即22004yx，所以12k k20204yx=1. （3）假设存在常数，使得ABCDABCD恒成立，则由（2）知121k k，所以设直线AB的方程为(2)yk x，则直线CD的方程为1(2)yxk，由方程组22(2)184yk xxy消 y 得：2222(21)8880kxk xk，设11(,)A xy，22(,)B xy，则由韦达定理得：21228,21kxxk212288,21kx xk所以 |AB|=2212121()4kxxx x=224 2(
11、1)21kk，同理可得|CD|=22121211()()4xxx xk=2214 2(1)121kk=224 2(1)2kk，又因为ABCDAB CD，所以有11|ABCD=22214 2(1)kk+2224 2(1)kk=22333 284 2(1)kk，所以存在常数3 28，使得ABCDAB CD恒成立。例 4： （1）设点 P（x，y） ，则： F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3 ，0） 。由422PBPF，得2222(2)(3)4,xyxy化简得92x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师精编欢迎
12、下载故所求点P的轨迹为直线92x。（2）将31,221xx分别代入椭圆方程，以及0, 021yy得： M （2，53） 、N（13，209）直线 MTA方程为：0352303yx，即113yx，直 线NTB 方 程 为 ：032010393yx， 即5562yx。联立方程组，解得：7103xy，所以点T 的坐标为10(7,)3。（3）点 T的坐标为(9,)m直线 MTA方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线 NTB 方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx，解得：2223(80)40(,)8080mmMmm、2223(
13、20)20(,)2020mmNmm。方法一：当12xx时，直线MN方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm令0y，解得：1x。此时必过点D（1，0） ；当12xx时，直线MN 方程为：1x，与 x 轴交点为D（1，0） 。所以直线MN 必过 x 轴上的一定点D（1，0） 。方法二：若12xx，则由222224033608020mmmm及0m，得2 10m，此时直线MN的方程为1x，过点 D（1，0） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师精编欢迎下载若12xx，则2 10m，直线 MD的斜率2222401080240340180MDmmmkmmm，直线 ND的斜率222220102036040120NDmmmkmmm，得MDNDkk，所以直线MN 过 D点。因此，直线MN必过x轴上的点（ 1，0） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页