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1、简单形式的柯西不等式简单形式的柯西不等式设设 为任意实数为任意实数. ., , ,a b c d()()2222abcd联联 想想由222abab 反映出的两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比它的推导过程考虑与下面式子（涉及到四个实数，并且形式上也与平方和有关）有关的有什么不等关系: .,222222222222cbdadbcadcba 得展开这个乘积 ,2222222222bcadbdaccbdadbca 由于 ,222222bcadbdacdcba 即 .,2222220bdacdcbabcad 因此而.,式式的的含含义义习习会会进进一一步步认认识识二二维维形形通通过过后后面面的的学学项
2、项式式式式中中每每个个括括号号内内都都是是两两.,.,4柯西不等式即二维或简单形式的的最简形式它是作用在数学和物理中有重要而且具有简洁、对称的美感形式上规律明显不仅排列个实数的特定数量关系式反映了inequalityCauchy柯柯西西不不等等式式于于是是我我们们有有式式中中的的等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当发发现现从从上上面面的的探探究究过过程程可可以以.,0 bcad.,122222等号成立时当且仅当则都是实数若简单形式的柯西不等式定理bcadbdacdcbadcba?的证明吗的证明吗你能简明地写出定理你能简明地写出定理思考思考1证法一：如图：证法一：如图：XoYA(a,b)B (c
3、,d)设设 是平面上任意的是平面上任意的 两个向量，两个向量， 的夹角为的夹角为( , ),( , )a bc d 与那么：那么：cos 上式两边同时取绝对值，得：上式两边同时取绝对值，得：| |cos|. 又又 ，|cos| 1所以：所以：| 显然，等号成立的条件是：向量显然，等号成立的条件是：向量 共线。共线。( , )( , )a bc d 与| 即：将将式用坐标表示，可得：式用坐标表示，可得：2222abcdacbd即：即： 22222abcdacbd证法（三）：证法（三）：（利用比较法）利用比较法） 22222abcdacbd2 2222 2222 2222a ca db cb da
4、 cabcd b d222222()0.a dabcdb cadbc所以：所以： 22222abcdacbd显然，上式当且仅当显然，上式当且仅当 时，时，“ = ” 号成立。号成立。 0adbc.柯西不等式的几何意义.0 ,之间的夹角为与有向量中设在平面直角坐标系如图dcbaxOy . |cos|,cos|, 所以我们有义的定内积根据向量数量积 ba, dc,xyO,|cos|1 因为. | 所以 得向量的坐标表示不等式二维用平面,.|两边平方2222dcbabdac .22222dcbabdac 得.,式式西西不不等等式式的的柯柯二二维维形形称称之之为为所所以以应应量量相相对对二二维维向向式
5、式与与. 0.,.,., 1|cos|,.,0,kcdkcdbcaddckbakkbcad故即使这时存在非零实数以上不等式取等号共线时和即向量则当且仅当量都不是零向和如果向量式取等号以上不等则中有零向量和如果向量 ., |,等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当则则个个向向量量是是两两设设式式的的向向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2二维形式的柯西不等式是向量二维形式的柯西不等式是向量形式的柯西不等式的坐标表示形式的柯西不等式的坐标表示 ?4,221121221121关系吗个实数蕴涵着何种大小这你能发现的边长关系根据的坐标分别为设点中系标坐角面直
6、在平如图观察yxyxPOPyxyxPPOxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,213 .图图,22122122222121yyxxyxyx容易发现的边长关系及三角形根据两点间距离公式以如图.,式式中中的的等等号号成成立立两两旁旁时时在在原原点点并并且且点点在在同同一一直直线线上上与与原原点点当当且且仅仅当当OPPOPP2121).(inequalityletriang 叫做二维形式的叫做二维形式的不等式不等式三角不等式三角不等式简单形式的柯西不等式的一些变式变式 1:a2b2 c2d
7、2|acbd|(当且仅当 adbc 时， 等号成立)变式 2：(ab)(cd)( ac bd)2.(a，b，c，dR，当且仅当 adbc 时，等号成立)变式 3:a2b2 c2d2|ac|bd|(当且仅当|ad|bc|时，等号成立) 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 22222|dcba 2222dcba. |bdacdbca 例 1:设,1,a bRab 求证:114ab .例题讲解例 2 已知 3x22y26，求证：2xy 11.例题讲解规律方法 1.二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强
8、记忆例如，(a2b2)(d2c2)(acbd)2是错误的，而应有(a2b2)(d2c2)(adbc)2.2柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号成立的条件是adbc，可以把a，b，c，d看作成等比，则adbc来联想记忆例 3 求函数 y5 x1 102x的最大值例题讲解规律方法2 利用柯西不等式求最值先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一例4 已知a，bR，且ab1.求证：(axby)2ax2by2.例题讲解 定理定理1:(简单简单形式的柯西不等式形式的柯西不等式) .,)()(,22222等号成立时当且仅当则都是实数若bcadbdacdcbadcba 定理定理2:(柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式) ./,仅当等号成立当且则是两个向量设小结：小结：定理定理3:(二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式) .,221221222221212211yyxxyxyxRyxyx那么设