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1、第二节复数(全国卷5年13考)【知识梳理知识梳理】1.1.复数的有关概念复数的有关概念(1)(1)定义定义: :形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数, ,其中其中a a叫叫做复数做复数z z的的_,b_,b叫做复数叫做复数z z的的_(i_(i为虚数单位为虚数单位).).实部实部虚部虚部(2)(2)复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的分类的分类: :(3)(3)复数相等复数相等:a+bi=c+di:a+bi=c+di_(a,b,c,dR)._(a,b,c,dR).(4)(4)共轭复数共轭复数:a+bi:a+bi与与c+dic+di共轭共
2、轭_(a,b,c,dR).(a,b,c,dR).(5)(5)模模: :若复数若复数z z在复平面内对应的向量为在复平面内对应的向量为 , ,则向量则向量 的模叫做复数的模叫做复数z=a+biz=a+bi的模的模, ,记作记作_或或_,_,即即|z|=|a+bi|= (a,bR).|z|=|a+bi|= (a,bR).a=ca=c且且b=db=da=c,b=-da=c,b=-dOZuurOZuur|a+bi|a+bi|z|z|22ab2.2.复数的几何意义复数的几何意义3.3.复数的四则运算复数的四则运算设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,a,b,c,dR.=c+di,
3、a,b,c,dR.【常用结论常用结论】(1)(1(1)(1i)i)2 2= =2i; =i; =-i.2i; =i; =-i.(2) i(2) i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i,nN=-i,nN* *. .(3)i(3)i4n4n+i+i4n+14n+1+i+i4n+24n+2+i+i4n+34n+3=0,nN=0,nN* *. .(4)|z|(4)|z|2 2=| |=| |2 2=z =|z=z =|z2 2|=| |.|=| |.1i1i1i1izz2z【基础自测基础自测】题组一题组一: :走出误区走出误
4、区1.1.判断正误判断正误( (正确的打正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)方程方程x x2 2-x+1=0-x+1=0没有解没有解. .( () )(2)(2)复数复数z=3-2iz=3-2i中中, ,虚部为虚部为-2i.-2i.( () )(3)(3)复数中有相等复数的概念复数中有相等复数的概念, ,因此复数可以比较因此复数可以比较大小大小. .( () )(4)(4)若若aC,aC,则则|a|a|2 2=a=a2 2. . ( () )提示提示: :(1)(1). .方程方程x x2 2-x+1=0-x+1=0有复数解有复数解. .(2)(2). .复数复数z=3
5、-2iz=3-2i中中, ,虚部为虚部为-2.-2.(3)(3). .虚数不能比较大小虚数不能比较大小. .(4)(4). . 若若aC,aC,则则|a|a|2 2是实数是实数, ,但但a a2 2未必是实数未必是实数, ,所以所以|a|a|2 2与与a a2 2不一定相等不一定相等. .2.2.复数复数 的共轭复数是的共轭复数是 ( () )A.2-iA.2-iB.2+iB.2+iC.3-4iC.3-4iD.3+4iD.3+4i25()2i【解析解析】选选C.C.因为因为 =(2+i)=(2+i)2 2=3+4i,=3+4i,所以复数所以复数 的共轭复数是的共轭复数是3-4i.3-4i.5
6、2i52i2i5 ，25()2i25()2i3.i3.i为虚数单位为虚数单位, ,若复数若复数(1+mi)(i+2)(1+mi)(i+2)是纯虚数是纯虚数, ,则实数则实数m m等于等于_._. 【解析解析】因为因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是纯虚数是纯虚数, ,所所以以2-m=0,2-m=0,且且1+2m0,1+2m0,解得解得m=2.m=2.答案答案: :2 2题组二题组二: :走进教材走进教材1.(20181.(2018全国卷全国卷)(1+i)(2-i)=)(1+i)(2-i)=( () )( (源于选修源于选修2-2P1
7、102-2P110例例3)3)A.-3-iA.-3-iB.-3+iB.-3+iC.3-iC.3-iD.3+iD.3+i【解析解析】选选D.(1+i)(2-i)=2-iD.(1+i)(2-i)=2-i2 2-i+2i=3+i.-i+2i=3+i.2.(2.(选修选修2-2P106A2-2P106A组组T5T5改编改编 ) )复数复数z=(x+1)+(x-2)i z=(x+1)+(x-2)i (xR)(xR)在复平面内所对应的点在第四象限在复平面内所对应的点在第四象限, ,则则x x的取值的取值范围为范围为_. _. 【解析解析】由题意可得由题意可得 所以所以-1x2.-1x2.答案答案: :(-
8、1,2)(-1,2)x10,x20, 考点一复数的概念考点一复数的概念【题组练透题组练透】1.1.已知已知i i是虚数单位是虚数单位, ,复数复数(2+i)(2+i)2 2的共轭复数的虚部的共轭复数的虚部为为( () ) A.4iA.4iB.-4B.-4C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选B.B.因为因为(2+i)(2+i)2 2=4+4i+i=4+4i+i2 2=3+4i,=3+4i,所以复数所以复数(2+i)(2+i)2 2的共轭复数为的共轭复数为3-4i,3-4i,虚部为虚部为-4.-4.2.(20182.(2018莆田模拟莆田模拟) )已知复数已知复数z z满足满足zi=-2-i(
9、izi=-2-i(i为虚数为虚数单位单位),),则则|z|=|z|=( () )A. A. B. B. C.2C.2D.D. 235【解析解析】选选D.D.因为因为zi=-2-i,zi=-2-i,所以所以z=-1+2i,z=-1+2i,所以所以|z|= .|z|= .53.3.已知已知tR,itR,i为虚数单位为虚数单位, ,复数复数z z1 1=3+4i,z=3+4i,z2 2=t+i,=t+i,且且z z1 1zz2 2是实数是实数, ,则则t t等于等于( () )3443ABC.D4334.【解析解析】选选D.D.因为因为z z1 1=3+4i,z=3+4i,z2 2=t+i,=t+i
10、,所以所以z z1 1zz2 2=(3t-4)+(4t+3)i,=(3t-4)+(4t+3)i,又又z z1 1zz2 2是实数是实数, ,所以所以4t+3=0,4t+3=0,所以所以t=- .t=- .344. 4. 若若z z1 1=(m=(m2 2+m+1)+(m+m+1)+(m2 2+m-4)i(mR),z+m-4)i(mR),z2 2=3-2i,=3-2i,则则“m=1”m=1”是是“z z1 1=z=z2 2”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件【解析解析
11、】选选A.A.由由 解得解得m=-2m=-2或或1,1,所以所以“m=1”m=1”是是“z z1 1=z=z2 2”的充分不必要条件的充分不必要条件. .22mm 13mm42 ， ，【规律方法规律方法】解决复数概念问题的方法及注意事项解决复数概念问题的方法及注意事项(1)(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题的实部与虚部应该满足的条件问题, ,只需把复数化为代只需把复数化为代数形式数形式, ,列出实部和虚部满足的方程列出实部和虚部满足的方程( (不等式不等式) )组即可组即可. .(2)(2)解题时一定要先
12、看复数是否为解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的形式的形式, ,以确定实部和虚部以确定实部和虚部. .考点二复数的几何意义考点二复数的几何意义【典例典例】(1)(1)设复数设复数z z1 1,z,z2 2在复平面内的对应点关于虚在复平面内的对应点关于虚轴对称轴对称,z,z1 1=2+i(i=2+i(i为虚数单位为虚数单位),),则则z z1 1z z2 2= =( () )A.-5 A.-5 B.5B.5C.-4+i C.-4+i D.-4-iD.-4-i(2)(2)设复数设复数z=(x-1)+yi(x,yR),z=(x-1)+yi(x,yR),若若|z|1,|
13、z|1,则则yxyx的概的概率为率为 ( () )3111AB4221111C.D422【解析解析】(1)(1)选选A.A.因为复数因为复数z z1 1,z,z2 2在复平面内的对应点在复平面内的对应点关于虚轴对称关于虚轴对称,z,z1 1=2+i,=2+i,所以所以z z2 2=-2+i,=-2+i,所以所以z z1 1z z2 2=(2+i)(-2+i)=-5.=(2+i)(-2+i)=-5.(2)(2)选选C.C.由由|z|1|z|1可得可得(x-1)(x-1)2 2+y+y2 21,1,所以点所以点(x,y)(x,y)表示表示以以(1,0)(1,0)为圆心为圆心, ,半径为半径为1 1
14、的圆及其内部的圆及其内部, ,满足满足yxyx的部的部分为如图阴影所示分为如图阴影所示, ,由几何概型概率公式可得所求概率为由几何概型概率公式可得所求概率为: :22211111114242P.142 【互动探究互动探究】 把本例把本例(1)(1)改为改为: :设复数设复数z z1 1和和z z2 2在复平面内的对应点关在复平面内的对应点关于坐标原点对称于坐标原点对称, ,且且z z1 1=3-2i,=3-2i,则则z z1 1z z2 2=_.=_. 【解析解析】因为因为z z1 1=3-2i,=3-2i,由题意知由题意知z z2 2=-3+2i.=-3+2i.所以所以z z1 1z z2
15、2=(3-2i)(-3+2i)=-5+12i.=(3-2i)(-3+2i)=-5+12i.答案答案: :-5+12i-5+12i【规律方法规律方法】解决复数的几何意义问题主要用到方程解决复数的几何意义问题主要用到方程及不等式思想、数形结合思想及不等式思想、数形结合思想(1)(1)已知复数对应点的位置求参数范围已知复数对应点的位置求参数范围, ,可建立不等式可建立不等式求解求解. .(2)(2)已知复数对应的点进行运算时已知复数对应的点进行运算时, ,可建立方程待定系可建立方程待定系数求解数求解. .(3)(3)研究复数模的问题研究复数模的问题, ,可利用数形结合法可利用数形结合法, ,考虑模的
16、几考虑模的几何意义求解何意义求解. .(4)(4)若复数若复数z=x+yi(x,yR),z=x+yi(x,yR),则则|z|=r,|z|=r,点点Z Z在以在以(0,0)(0,0)为为圆心圆心,r,r为半径的圆上为半径的圆上. .【对点训练对点训练】1.1.已知已知i i是虚数单位是虚数单位, ,复数复数z= (aR)z= (aR)在复平面内对在复平面内对应的点位于直线应的点位于直线y=2xy=2x上上, ,则则a=a= ( () )A.2A.2B. B. C.-2C.-2D.-D.- 1ai1212【解析解析】选选B.z= B.z= 其对应的点的坐标为其对应的点的坐标为 又该点位于直线又该点
17、位于直线y=2xy=2x上上, ,所以所以a= .a= .2221aia1iaia1a1a1，22a1()a1 a1，122.2.若复数若复数z z满足满足|z-i| (i|z-i| (i为虚数单位为虚数单位),),则则z z在复平在复平面内所对应的图形的面积为面内所对应的图形的面积为_._. 2【解析解析】设设z=x+yi(x,yR),z=x+yi(x,yR),由由|z-i| |z-i| 得得|x+|x+(y-1)i| ,(y-1)i| ,所以所以 , ,所以所以x x2 2+ +(y-1)(y-1)2 22,2,所以所以z z在复平面内所对应的图形是以点在复平面内所对应的图形是以点(0,1
18、)(0,1)为圆心为圆心, ,以以 为半径的圆及其内部为半径的圆及其内部, ,它的面积它的面积为为2.2.答案答案: :222222xy 1（ ）22考点三复数的四则运算考点三复数的四则运算【明考点明考点知考法知考法】 复数的四则运算在高考题中是必考知识点复数的四则运算在高考题中是必考知识点, ,试题常试题常以选择题、填空题形式出现以选择题、填空题形式出现, ,考查复数四则运算与复数考查复数四则运算与复数的相关概念、几何意义以及三角、向量、方程等知识的相关概念、几何意义以及三角、向量、方程等知识的综合应用的综合应用. .解题过程中常渗透函数与方程的思想解题过程中常渗透函数与方程的思想. .命题
19、角度命题角度1 1四则运算与复数的相关概念的综合四则运算与复数的相关概念的综合【典例典例】(1)(1)若复数若复数 是纯虚数是纯虚数, ,则实数则实数a=a=( () )A.-2A.-2B.4B.4C.-6C.-6D.6D.6a3i12i(2)i(2)i为虚数单位为虚数单位, ,则复数则复数 的模为的模为_._.24i3i【解析解析】(1)(1)选选D.D.因为因为 是纯虚数是纯虚数, ,所以所以 =0=0且且 0,0,所以所以a=6.a=6.a3ia3i 12ia62a3i12i12i)12i55（ )( ）（ ( ）a652a35(2) (2) =1-i,=1-i,其模为其模为 答案答案:
20、 : 24i24i 3i10 10i3i3i 3i10（ )( ）（ )( ）22112.（ ） 2【一题多解微课一题多解微课】解决本题解决本题(2)(2)还可以采用以下方法还可以采用以下方法: : 【解析解析】 答案答案: : 222224i|24i|24|2.3i|3i|31（ ）（ ）2【状元笔记状元笔记】复数概念与运算的综合问题复数概念与运算的综合问题: :复数的运算与复数概念的复数的运算与复数概念的综合题综合题. .先利用复数的运算法则化简先利用复数的运算法则化简, ,一般化为一般化为a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的形式的形式, ,再结合相关定义解答再结合相关定义解答. .
21、命题角度命题角度2 2四则运算与复数几何意义的综合四则运算与复数几何意义的综合【典例典例】(1)(1)若若i i为虚数单位为虚数单位, ,图中复平面内点图中复平面内点Z Z表示表示复数复数z,z,则则 表示的复数对应的点是表示的复数对应的点是 ( () )A.EA.EB.FB.FC.GC.GD.HD.Hz1 i(2)(2)已知复数已知复数z z满足满足 =|2-i|,=|2-i|,则则z z的共轭复数对应的的共轭复数对应的点位于复平面内的点位于复平面内的 ( () )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限z1 i【解析解析】(1)(1)
22、选选D.D.由题图可知复数由题图可知复数z=3+i,z=3+i,所以所以 = =2-i,= =2-i,对应点的坐标为对应点的坐标为(2,-1),(2,-1),所以表示复数的点为所以表示复数的点为H.H.z3i3i 1i1 i1 i1 i 1i（)( ）（)( ）42i2(2)(2)选选D.D.因为因为 所以所以z= + i,z= + i,则则z z的共轭复数的共轭复数 - i- i对应的点对应的点( ,- )( ,- )位于复位于复平面内的第四象限平面内的第四象限. . z|2i|51i ，555555【状元笔记状元笔记】复数的运算与复数几何意义的综合题复数的运算与复数几何意义的综合题. .先
23、利用复数的运先利用复数的运算法则化简算法则化简, ,一般化为一般化为a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的形式的形式, ,再结合复再结合复数的几何意义解答数的几何意义解答. .命题角度命题角度3 3四则运算与三角、向量、方程等的综合四则运算与三角、向量、方程等的综合【典例典例】(1)(1)在复平面内在复平面内,O,O是原点是原点, , 表示的复数分别为表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,-2+i,3+2i,1+5i,那么那么 表示的复数为表示的复数为 ( () )A.2+8iA.2+8iB.2-3iB.2-3iC.-4+4i C.-4+4i D.4-4iD.4-4iOA OC A
24、Buuu r uuu r uur， ，BCuur(2)(2018(2)(2018唐山模拟唐山模拟) )若若1+ i1+ i是关于是关于x x的实系数方程的实系数方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的一个虚数根的一个虚数根, ,则则b=_,c=_.b=_,c=_.2【解析解析】(1)(1)选选D.D.设设B B对应的复数为对应的复数为a+bi(a,bR),a+bi(a,bR),则由题意可得则由题意可得 即即1+5i=a+bi-(-2+i)=a+2+(b-1)i,1+5i=a+bi-(-2+i)=a+2+(b-1)i,所以所以a+2=1,b-1=5,a+2=1,b-1=5,所以所以a=-1
25、,b=6,a=-1,b=6,故故B B对应的复数为对应的复数为-1+6i.-1+6i.那么那么 表示的复数为表示的复数为3+2i-(-1+6i)=4-4i.3+2i-(-1+6i)=4-4i.AB OB OAuur uur uuu r，BCuur(2)(2)因为实系数一元二次方程因为实系数一元二次方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的一个虚根的一个虚根为为1+ i,1+ i,所以其共轭复数所以其共轭复数1- i1- i也是方程的根也是方程的根, ,由根与系数的关系知由根与系数的关系知, , 所以所以b=-2,c=3.b=-2,c=3.答案答案: :-2-23 312i12ib 12i
26、12ic（ )( ) ，（ )( ) ，22【状元笔记状元笔记】对于复系数对于复系数( (系数不全为实数系数不全为实数) )的一元二次方程的求解的一元二次方程的求解方法方法, ,判别式不再成立判别式不再成立. .因此求此类方程的解因此求此类方程的解, ,一般都是一般都是将实根代入方程将实根代入方程, ,用复数相等的条件进行求解用复数相等的条件进行求解. .【对点练对点练找规律找规律】1.(20181.(2018黄山模拟黄山模拟) )设设i i是虚数单位是虚数单位, ,若若z=cos +z=cos +isin ,isin ,且其对应的点位于复平面内的第二象限且其对应的点位于复平面内的第二象限,
27、,则则位于位于( () )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限【解析解析】选选B.B.因为因为z=cos +isin z=cos +isin 对应的点的对应的点的坐标为坐标为(cos ,sin ),(cos ,sin ),且点且点(cos ,sin )(cos ,sin )位于第二象限位于第二象限, ,所以所以 所以所以为第二象限角为第二象限角. .cos0 sin0 ，2.2.已知已知f(x)=xf(x)=x2 2,i,i是虚数单位是虚数单位, ,则在复平面内复数则在复平面内复数 对应的点在对应的点在( () )A.A.第一象限第一
28、象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限f1i3i（ ）【解析解析】选选A.A.由题可知由题可知 所以其在复平面内所以其在复平面内对应的点的坐标为对应的点的坐标为 , ,该点在第一象限该点在第一象限. .22f1i1i12ii3i3i3i（ ）（ ） 222i2i3i26i13i3i3i1055（ ） ，1 3()5 5，3.(20173.(2017天津高考天津高考) )已知已知aR,iaR,i为虚数单位为虚数单位, ,若若 为实数为实数, ,则则a a的值为的值为_._. ai2i【解析解析】因为因为aR,aR, = = 为实数为实数, ,所以所以-
29、=0,- =0,所以所以a=-2.a=-2.答案答案: :-2-2aiai 2i2a 1a2 i2i2i 2i5（ )( ） ( ) （ )( ）2a 1a2i55a25数学能力系列数学能力系列1818复数运算中的运算求解能力复数运算中的运算求解能力【能力诠释能力诠释】运算求解能力指会根据法则、公式进行运算求解能力指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理正确运算、变形和数据处理. . 复数运算问题中复数运算问题中, ,应注意应注意以下两点以下两点: : (1)(1)设设z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),利用复数相等和相关性质将复利用复数相等和相关性质将复数问题实数化数问
30、题实数化. .(2)(2)在复数代数形式的四则运算中在复数代数形式的四则运算中, ,加、减、乘运算按加、减、乘运算按多项式运算法则进行多项式运算法则进行, ,除法则需分母实数化除法则需分母实数化. .【典例典例】 已知已知i i是虚数单位是虚数单位, , =_.=_. 2018621i()1i1i(【解析解析】原式原式= = =i=i1 0091 009+i+i6 6 =i=i4 4252+1252+1+i+i4+24+2=i+i=i+i2 2=-1+i.=-1+i.答案答案: :-1+i-1+i2 100961009621i2() )i1i1i2i(【技法点拨技法点拨】复数代数形式运算问题的
31、解题策略复数代数形式运算问题的解题策略(1)(1)复数的乘法复数的乘法: :复数的乘法类似于多项式的乘法运算复数的乘法类似于多项式的乘法运算, ,可将含有虚数单位可将含有虚数单位i i的看作一类同类项的看作一类同类项, ,不含不含i i的看作另的看作另一类同类项一类同类项, ,分别合并即可分别合并即可. .(2)(2)复数的除法复数的除法: :除法的关键是分子分母同乘以分母的除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数共轭复数, ,解题中要注意把解题中要注意把i i的幂写成最简形式的幂写成最简形式. .【即时训练即时训练】已知复数已知复数z= z= 是是z z的共轭复数的共轭复数, ,则则z =_.z =_. 23iz13i，（ ）z【解析解析】由由z= z= 得得 = = 所以所以z = z = 答案答案: : zz3i31i44213i， （ ）31i44，3131i) (i)4444g(311.1616414