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1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. OAMxyNB分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. 设设XOA=例例1
2、、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. OAMxyNB解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即为点即为点M M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. . sinbycosax()为参数消去参数得消去参数得: :,bya12222x
3、即为点即为点M M的轨迹普通方程的轨迹普通方程. .1 .参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程.cosxasinyb2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab另外另外, 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .xbYya焦点在 轴参数方程参数方程2、双曲线的参数方程baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosasec ,
4、asec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通 常 规 定且，。【练习练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)
5、(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3 sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是是参数参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为），短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），离心率是），离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时
6、，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29422yx例例3、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX练习练习3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:,ABCABP解 椭圆参数方程 设点P(3cos,2sin) S面积一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求点到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值 面积最大4这时点 的坐标为(, 2)