上海市建平中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx

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1、 上海市建平中学 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题= 3+ 4i （i 为虚数单位），则| z |=_1已知复数 z( )1,2x - y - 2 = 0垂直的直线方程为_.2过点C，且与直线( )= 1+ i2i3已知复数 z（ 是虚数单位），则复数 z 的虚部为_.- A B C DB C DC 所成的角的大小为_.与4正方体 ABCD中，异面直线1111113= 3z + =5若复数 z 与其共轭复数 满足 z， + = 2，则z z_.zzx2= -8x- =1 m的左焦点重合，则实数 的值为6已知抛物线 y2的焦点与双曲线y2m

2、_.xy227已知椭圆 + = 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上的点 满足1F F1P9 42PF = 2 PFF PF 的大小为_.，则1212-2i =1（i 是虚数单位），则 z -1的取值范围是_.8已知复数 满足 zz= 68 = ， C90ABC9已知 Rt ABC中， AC，所在平面外一点 到PBC此三角形三个顶点的距离都是 7，则点 到平面 ABC的距离是_.P/ab/a，则a10已知a ，b ， 表示直线， 表示平面，给出下列命题：若aca，aa，aa c b c，a ，则 ；若a bb ；若b， a b ，则a ；若b a ，则a b .其中正确的命题是_.（写出所有正确

3、命题的编号）( )2x+ 3yyxy 6= 9，则x+-11已知实数 ， 满足的取值范围是_.2x2+ y2x22( )- y =1 a 0上在第一象限内的点， 为其右焦点，点 关于12设 A是双曲线A2Fap p,12 6q BF原点O的对称点为 ，若 AF，设ABF = q ，且，则a 2的取值范B围是_. 二、单选题13已知a ，b 是两条直线，则“a ，b 没有公共点”是“a ，b 是异面直线”的（）A充分非必要条件C充要条件B必要非充分条件D既非充分又非必要条件( )( ) ( )+1 + z -1 = 0 n N14若复数 z 满足 z2n2n* ，则 z 必为（）A实数B纯虚数C

4、0D任意复数- A B C DBCC B115在正方体 ABCD中，点 在侧面P及其边界上运动，并且总是11111保持AP BD，则动点 的轨迹是（P）1A线段B线段 BCC线段 B CD平面 BCC BBC111 1= x +32216已知曲线C ： y与曲线C ： ax+ y = 9恰好有两个不同的公共点，则12a实数 的取值范围是（）( )-,-1 0,1B( -1, 1A ( )-1, 0 1,+C-1,1)D三、解答题AB = 2= 3 .PA17如图，四边形 ABCD为矩形，PA 底面 ABCD，=1 ，BC（1）求证：CD 平面 PAD；（2）求直线和平面 PAD所成角的大小.P

5、C( )3( )= 2- 3a +1 i（a R ，i 是虚数单位）.=+ a -3 i z18已知复数 z，21a+ 22- z（1）若 za在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 的取值范围；12（2）若虚数 是实系数一元二次方程 xz2 - 6 + = 0x m的根，求实数 的值.m119如图，PA 平面 ABC， ABC 是边长为 2 的正三角形， = ，AH 平面PA2，PBC垂足为点 ， E 是 BC 的中点.H （1）求异面直线 AE 与所成的角大小；PC（2）求证： 不可能是的垂心（三角形三条高的交点）.PBCH20过抛物线C ： y2方）.= 8xx的焦点 F 的直线交抛物线

6、于点 A、 两点（点 A在 轴上B（1）若（2）当AF = 4，求点 A的坐标；OF OFAF BF+AF BF时，求的值；( )D4,0（3）对于 轴上给定的点x，若过点 和 两点的直线交抛物线C 的准线于点DB，问直线是否经过一定点，如果存在，求出此定点.APPx2+ y =1x21已知椭圆C ：轴上方）.的右焦点为 F ，短轴的两个端点分别为A， （ A在B24 （1）求 ABF 的面积；（2）直线l 交椭圆C 于 ，Q 两点， F 为PQA的垂心，求直线l 的方程.P4（3）已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，直线 与圆 ： 2l llO x + y =2相交于B121M 、 N

7、两点，直线 与椭圆 相交于另一点 R ，求lC面积的最大值.RMN2 参考答案15【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】= 3+ 4i因为复数 z，所以|z |= 3 + 4 = 5.22故答案为 5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数z = a + bi(a,b R)的模| |=z+ .a b22+ y - 3 = 02 x【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】x - y - 2 = 0解：因为所求直线与直线垂直，-1所以所求直线的斜率为 ，( )C 1,2因为所求直线过点，所以所求直线方程为y -

8、2 = -(x -1)，即x+ y - 3 = 0，+ y - 3 = 0故答案为： x【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题32【分析】= 2i利用复数的平方运算可得 z，即可得答案；【详解】( )z = 1+ i 2 = 2i ， 复数 z 的虚部为 2， 故答案为：2.【点睛】本题考查复数的虚部概念，属于基础题.460【分析】A D AC，A DCB C DC与A DC1如图所示，连接，则即为异面直线所成角利用11111111为正三角形，即可得出【详解】A D / /B CA D DC与A DC即为异面直线B C1解：如图所示，直线，所以直线所成的角111111

9、DC与所成角1A DC1为正三角形，1A DC = 6011故答案为：60.【点睛】本题考查正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查推理能力与计算能力.52【分析】 + = 3z = a +bi a,bR)(a2b2先设，根据题意，得到，再由复数的除法运算和加减运算，2a = 2 3+化简 z，即可得出结果.z【详解】设z = a +bi(a,bR)，则 z = a -bi ，= 3又 z， + = 2，z z + = 3a2b2所以 ，2a = 2( )( )( )a + bi a -bi( )3 a -bi3 a -bi3z + = a + bi += a + bi += a

10、 + bi + a -bi = 2a = 2.因此za + b22故答案为：2 .【点睛】本题主要考查复数的运算，涉及复数模的运算，共轭复数的概念等，属于基础题.63【分析】根据抛物线方程写出焦点坐标，再由题意，列出方程求解，即可得出结果.【详解】( )-2,0，= -8x因为抛物线 y的焦点为2x2= -8xy 的左焦点重合，- =1又抛物线 y的焦点与双曲线22m( )+1= -22=3，则m ；所以 m故答案为：3 .【点睛】本题主要考查由双曲线的焦点求参数，熟记双曲线和抛物线的焦点即可，属于基础题型.p72【分析】PF , PFFPF的大小.结合已知条件，利用椭圆的定义求【详解】，利用

11、勾股定理判断出1212 x2y2+ =1 a = 3,b = 2,c = a -b = 5, F F = 2c = 2 5 .依题意椭圆的229 412= 2PF PFPF = 4, PF = 2所以 12，解得， PF + PF = 2a = 612122+ PF = 4 + 2 = 20 = F F2 ，所以 PF222121 2pF PF =是直角三角形，且F PF1.所以三角形故答案为：2212p2【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.5 -1, 5 +18【分析】z-1表示圆上的满足z -2i =1的复数在复平面内表示以(0, 2)为圆心， 为半径的圆，则(0, 2) (1,

12、0)和 之间的距离，即可得答案1点到(1,0)【详解】的距离，求出点解：由复数的几何意义可知，满足z -2i =1的复数在复平面内表示以(0, 2)为圆心， 为半1z -1表示圆上的点到(1,0)径的圆，则的距离，之间的距离为 5 ，(0, 2) (1,0)和因为点 z -1 5 1, 5 1- +，所以的取值范围为5 -1, 5 +1故答案为：【点睛】此题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题92 6【分析】= PC -CD作出图象，易得 PD2【详解】，即可得答案；22取的中点 D ，连结CD ，ABAC = 6 ，C = 90 ， D 为直角三角形的外心，BC=

13、，8CD DA DB ，= 5=点 到此三角形三个顶点的距离都是 7，P点 在底面的射影为底面的外心，即为点D ，PABC，= 49 - 25 = 24，PD 平面= -PD2 PC2 CD2点 到平面 ABC的距离P，2 6故答案为：.2 6【点睛】本题考查点到面的距离计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意三角形外心的性质运用.10 【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理分析判断即可【详解】/b/b解：对于，当a a ， a 时，直线a ， 可以相交，也可能平行，也可能异面，所以错误；a对于，若b a ，a b ，则直线a 有可能在平面 内，所以错误； c b c， ，

14、则直线a ，b 可以相交，也可能平行，也可能异面，所以错对于，若a误；对于，由线面垂直的性质定理可知是正确的，故答案为：【点睛】此题考查线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题 11 1,2【分析】( )2( )P x, yy- 6 = 9上任意一点，构造直线 x+ 3 = 0设为圆xy，分别求得点 到P2x + 3y2PM= 2 sin POM直线的距离， 到原点的距离 PO，将问题转化为PM P求POx2+ y2解.【详解】如图所示： ( )2( )P x, yy+- 6 = 9设为圆x上任意一点，2x + 3y+ 3y = 0点 到直线 xP的距离为 PM=，2点 到原点

15、的距离为 PO = x + y ，P22x + 3y2PMPO= 2 sin POM所以，x2+ y2( )2当圆xy= 9与直线相切时，y = kx+- 626= 3，1 +k 2解得 k = 3，所以POM 最小值为30 ，最大值为90，1 sin POM 1，即1 2 sin POM 2所以，2x + 3y 的取值范围是 1,2 ，x2+ y2 故答案为： 1,2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.2 3-1,112 3【分析】AF = m, AF = n- =，则 n m2a，由已知条件可得设双曲线的左焦点为 ，设F1m +

16、n = 4c ，进而得=，而222222mn = 2(c - a ) = 2b =1，从而得 S2AOF11p p,= c sin 2 ，所以可得a =q- ，再由1q S可求得结果222sin 2q12 6AOF【详解】AF = m, AF = n- =，则 n m2a，设双曲线的左焦点为 ，设F BF因为点 关于原点O的对称点为 ，且 AF，ABF = qAB= OB = OF = OF = c = a +1 = 2q所以 OA， AOF2所以 m + n = 4c ，222(m - n) + 2mn = 4cmn = 2(c - a ) = 2b =1，所以22 ，即2221=所以 S因

17、为 S，21AOF1= c sin 2q，所以 2c =2，2sin 2qAOF1a =-1，sin 2q所以因为2p p,p pq2q,，所以，12 66 3132 331 sin 2 2，所以所以q，所以22sin 2q2 3312 3-1-11，所以-1 a2 1，sin 2q3 2 3-1,1故答案为： 3【点睛】此题考查双曲线定义的应用，考查三角形面积公式的应用，考查了三角函数，属于中档题13B【分析】根据异面直线的定义及充分条件、必要条件的概念求解即可.【详解】a b a b因为 ， 没有公共点， ， 可能平行也可能异面，所以“ ， 没有公共点 成立推不出 ， 是异面直线 ，a b

18、”“ a b”反之，“ ， 是异面直线 可以推出 ， 没有公共点 成立，a b”“ a b”所以“ ， 没有公共点 是 ， 是异面直线 的必要不充分条件，a b” “ a b”故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，异面直线的概念，属于中档题.14B【分析】z = a +bi(a,bR)，根据题意得到z +1 = z -1=0，再判断b0，即设复数，求出a可得出结果.【详解】z = a +bi(a,bR)，设复数( ) ( )( ) ( )z +1 = - z -12n ，+1 + z -1 = 0由 z2n2n得2n( ) ( )z +1 2n = - z -1 2n( )

19、( )z +1 2n = z -1 2n则，即，z+1 = z -1a +1+bi = a -1-bi，+1 = z -1所以 z2n2n ，则，即( )( )+1 + b = a -1 + b，2因此 a222( )( )+1 + b = a -1 + ba = 0 =，所以 z bi ；所以 a222 ，解得2( ) ( )= 0z ，+1 + -1 =1+1= 2 0 不满足题意，所以b0若 z，则 z2n2n = bi因此 z为纯虚数.故选：B.【点睛】本题主要考查复数系方程解的问题，考查复数模的运算，熟记复数模的计算公式即可，属于常考题型.15C【分析】如图，BD 平面，又点 在侧面

20、PBCC B及其边界上运动，故点 的轨迹为面P ACBACB11111BCC B1与面的交线CB11【详解】AC, AB , B CABCD - A B C D解：如图，连接，在正方体中，有BD 平面，ACB11111111BCC B1又点 在侧面P及其边界上运动，1BCC B的交线CB ，所以点 的轨迹为面P与面ACB1111故选：C【点睛】此题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征，考查空间想象能力，属于中档题16C【分析】y = x +3，y 0时，y x 3 y 0时，y= -x - 3，利用绝对值的几何意义，由，可 得9必交于点(0, 3)，再无其它交点，把Cy = x +3C与曲线

21、：ax + y =22则可得曲线 ：12y x 3222+代入方程ax y=9(1+ a)y - 6ay + 9a - 9 = 0，分类讨论，可得结论，得【详解】 y = x +3，y 0时， y x 3 y 03，且 是方程的根，所以 D9(a -1)1+ a 0a 时，方程两根异号，满足题意，-1 0a + 2+ 2 0()-2a -1- z =+ a -3a - 4 i（1）由已知求出z，由题意得a，解不等式2a+ 212a-3a - 4 02可得答案；（2）利用根与系数的关系可求得结果【详解】()-2a -1- z =+ a -3a - 4 i解：（1）由题意得， z，2a+ 212-

22、 z因为 z在复平面内对应的点落在第一象限，12-2a -1 0a + 2( )a -+ 2 02,-1所以 a，解得a-3a - 4 026+ z = 6= -1 =13=13，即m .（2）由题意得 z，故a，所以 z z111a+ 21【点睛】此题考查复数的加减运算，考查共轭复数，考查根与系数的关系的应用，属于基础题619（1）arccos；（2）证明见解析.4【分析】（1）取 PB 中点 F ，连接 EF ，由题意，得到AEF即为异面直线与 PC所成AEAF cosAEF的角或其补角；根据题中数据，求出 AE ， AF ， EF ，得出，即可求出结果；（2）先假设 是 PBC 的垂心，

23、连接 BH 并延长交 PC于 D 点， 根据线面垂直的判定定H AC理和性质，得出 AB，即 ABC 为直角三角形，推出矛盾，即可证明结论成立.【详解】（1）取 PB 中点 F ，连接 EF ， AF ，/PC因为 E 是 BC 的中点，则 EF，所以AEF即为异面直线与 PC所成的角或其补角.AE因为是边长为 2 的正三角形，所以=AC2 CE2-= 3 ；ABCAE又 PA 平面 ABC，所以 PA AC ， PA AB ，11211PC2 + 2 = 2= 2= PB =2 + 2 = 2因为 PA，所以AF22， EF22，222AE2+ EF2- AF236因此cosAEF =，2A

24、E EF2 646所以异面直线 AE 与 PC所成的角大小为arccos.4 PC（2）假设 是 PBC 的垂心，连接 BH 并延长交 PC于 D 点，则 BHH， AH 平面PBC， PC 平面PBC， AH PC. BH = H AH AHB BH ，又 AH所以 PC 平面 AHB，又 AB 平面 AHB，所以 PC，平面平面 AHB， AB；又 PA 平面 ABC， PA AB ，= P ， PA 平面 PAC ， PC 平面 PAC ， AB 面 PAC ，因为 PA PCAB AC，因为 AC 平面 PAC ，因此 ABC 为直角三角形，与 ABC 是正三角形矛盾，所以 不可能是

25、的垂心.HPBC 【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，考查线面垂直的判定与性质，涉及反证法的应用，属于常考题型.( )1,0.( )2,420（1）；（2）1；（3）过定点，A【分析】( )( )A x , y y 0= + 2 = 4AF x（1）设标；，则由抛物线的定义可得，从而可求得 点会A1111( ) ( )ppA x , yB x , y= + = +，则 AF xx2 BF = x + = x + 2（2）设，而2211221122OF OF+AF BFOF = 2，然后代入中化简，结合抛物线的定义化简即可；( ) ( )A x , yB x , y 4 ，所以l，由题意知直

26、线BD与 轴不垂直，所以xx：（3）设，11222BDy ( )24yy =x - 4P-2,2，从而可得点 12 ，进而可求出直线的方程：APx - 48- y218y( )= 0x，可求得 的值y- y =x - xy1，令y -81211【详解】( )( )( )2,4.A x , y y 0AF x= + 2 = 4x= 2，故 A解：（1）设，则，得11111( ) ( )（2）由 F(2,0)，设直线 AB 为x my=+ 2，设A x y,，,B x y，112228m = 8 + =y yyx-8my -16 = 0由 ，得 y2，则12x = my + 2y y = -161

27、2 ppOF = 2 AF，= x + = x + 2 BF = x + = x + 2，显然所以，221122( )()2m y + y +816 m +122222OF OF+=+=+= ( )=112()AF BF x + 2 x + 2 my + 4 my + 4 m y y + 4m y + y +1616 m +12212121212( ) ( )A x , yB x , y 4 ，所以l与 x 轴不垂直，所以x，由题意知直线BD（3）设，：11222BDy ( )y =x - 42.x - 428y - my - =816 0y y= -16，设l：x= my + 2，代入y =

28、 x，得2，所以2AB1 2y24 又抛物线的准线方程为 x= -2，y y1= -16，所以-2, ，所以P18- y22124y12- y8yyx- y 8-8y( )1y11y - y =x - xy= 0，所，令k=1=，所以l：pp1- xy -81y2-81yAPAP22-2 -11118y -8y -8 y( )1, 0.22218x = -y + x = -+=1x以18y1，所以直线 AP 与 轴交于一定点8111【点睛】此题考查抛物线的几何性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题16516 1313: y = 3x -21（1） 3 ；（2）l；（3

29、）.【分析】（1）由椭圆方程可知a,b,c，直接根据三角形面积公式计算；+ x x x，利用垂（2）设lPQ： y= 3x + m ，联立椭圆方程，由根与系数的关系得x，1212m;心可知 =0 ，即可求出AQ FP（3）分 斜率不存在，存在两种情况分类讨论，当斜率不存在时直接计算，当斜率存在时l1BR且斜率为 0，直接计算，当斜率存在且不为 0 时，计算 MN ，表示三角形面积，由 基本不等式求最值即可.【详解】1OA = OB =1 OF，= 3，得 S= AB OF = 3（1）因为.2ABF( )( ) ( )P x , yQ x , y3,0，（2）设，F11223 k = -AF，

30、3= 3 k.PQ设lPQ： yx m ，= 3 +D 0 13m2y = 3x + m8 3m13x +8 3mx + 4m - 4 = 0 x + x = -由 22x213+ y =1122 44m2-4=x x131 2( )(AQ x y), -1 ， FP = x - 3, y ，=2211( )( ) ( )( )( ) AQFP = x x - 3 + y y -1 = x x - 3 + 3x + m 3x + m-1211221124m - 48 3m( )( )2( )= 4x x + 3 m -1 x + x + m - m = 4+ 3 m -1 -+ m - m =

31、 02213131 212165( )-1 m 1 m = -消去 m，165: y = 3x -l（3）当 斜率不存在时， 与椭圆 相切于点 ，不符题意ll.CB12y = -1 x = 3 MN = 2 3，l10BA = 2 当 斜率为 时， ，+ y = 4x22= 2 3 S.MNR1= kx -1，原点到 的距离为 d=当 的斜率存在且不为 0 时，设 ：ll y1l1，1k2 +1 4k + 3由圆的弦长公式得 MN =2 4 - d = 2，2k +12l l1，21: y = - x -1l2.k18ky = - x -1x = -kk + 42由 ，4 - kx22+ y =1y =2 4k + 4