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1、 河南省新乡市 2020-2021 学年高二上学期期末考试数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题$x 0, x - 2x - 7 01命题“”的否定是（ ）2000$x 0, x - 2x - 7 0$x 0, x - 2x - 7 0ABD20200000x 0, x - 2x - 7 0x 0, x - 2x - 7 0C22 =x | -3 2x -11 , B = x 2x - x2 0=，则 A B （2已知集合 AA(0, 2） C-1,0)B0,1D(0,1x2y2F, F- =13设 为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若|= 7 ，则PFP4 12112| PF |
2、=（ ）2A1B11C3 或 11D1 或 153 log 34“ x”是“ x”的（）22A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件, N,5如图，在四面体OABC 中， M分别是OA OB 的中点，则MN= （ ）111A OB + OC - OA2221B OA21C OB21D OA211- OC - OB2121+ OC + OA2121+ OC - OB226现有下面三个命题 p :常数数列既是等差数列也是等比数列；1p : $x R ， x 020；20p :3椭圆离心率可能比双曲线的离心率大.下列命题中为假命题的是（ ） p(p ) (p )A pBD
3、1213(p ) p(p ) (p )C1323- A B C D,的底面是边长为 1 的正方形，高为 2， M N 分别是四边7长方体 ABCD1111BB C C1A B C D1的中心，则向量的夹角的余弦值是（ ）形和正方形与DNBM11117 10305 3434103 1010ABCD6b - a +1b - a 0,b 0) 的左、右焦点分别是 F121a2M , N| MF |=| F F |2 MF = NF，则双曲线 的离曲线C 的左支于两点，若，且C21211心率是（ ） 4353325ABCD2二、填空题a a + a = 24a 13设等差数列的首项为-2，若，则的公差
4、为_n412nDABC, , ,sin A = 3sin B， = 5，且14在中，角 A B C 的对边分别为a b c ，若c5cosC =_a，则6x -3 0x, y0 y a ，且目标函数 zx y 的最大值为 16，则a= 2 + =15设满足约束条件x + y 0_16设椭圆 Exy22的一个焦点为 F(1,0)为椭圆 E 内一: + =1(a b 0)，点 (-1,1)Aa2b2PA + PF = 9点，若椭圆 E 上存在一点 ，使得，则椭圆 E 的离心率的取值范围是P_三、解答题 S ,S = 2a -2, b为等差数列，a n的前 项和为17已知等比数列nnnnnb = a
5、 ,b + b =10.3226a ,b （1）求数列的通项公式；nn（2）求数列a (2b -3 )n的前 项和 .TnnnB - CB - C318在锐角DABC中，2sincosB C+ 2cos sin=.222（1）求角 A；= 7, AC = 2DABC的面积.（2）若 BC，求- ABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面垂直，19如图，在四棱锥 EABEAB/ /CD ， F,G,M 分别为线段 BE, BC, AD=1，的中点， AE CDAD= 2 ， AB.AB = 3，且 AE / /（1）证明： MF 平面（2）求 EG 与平面CDE所成角的正弦值.: y = 2 px
6、( p 0)CDE；的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为45的直线与抛物20已知抛物线C2= 2线C 相交于 ，Q 两点，且线段 PQ 被直线 y平分.Pp（1）求 的值； PQPQ 相切的（2）直线l 是抛物线C 的切线， A为切点，且l圆的标准方程.，求以 A为圆心且与- A B C D21如图，在各棱长均为 4 的直四棱柱 ABCD中，底面为菱形，ABCD1111， BE = 3EBBAD = 60 ， 为棱BB上一点 且.E11BDD B ；1（1）求证：平面 ACE 平面1（2）求二面角 - 的余弦值.C AE Bxy (b)2222已知椭圆 + =1 a b 0F F的左右焦点分别为
7、 、 ，上顶点为M ，若直12a221的斜率为 ，且与椭圆的另一个交点为 ，MFND的周长为4 2线F MN21（1）求椭圆的标准方程；1（2）过点 的直线 （直线 的斜率不为 ）与椭圆交于 、 两点，点 在点 的上FllQQPP12= S3方，若 S，求直线l 的斜率DF NQDF MP11 参考答案1C【解析】$x 0, x - 2x - 7 0因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“20”的否定是00x 0, x - 2x - 7 0“”，故选 C.22D【解析】 2 0 = | 0 2x xA =x | -3 2x -11 =x | -1 x 1 , B = x 2x - x A B
8、= x | 0 x 1故选 D3C【解析】PF - PF = 2a = 4，且 PF= 7 , PF = 3PF c - a = 4- 2 = 211或 ，符合，12122PF = 3 11故或 ，故选 C.24A【解析】33= log 2 = log 8 log 3“ x5A”是“ x”的充分不必要条件。选 A。2【解析】( )11111= ON -OM = OB + OC - OA = OB + OC - OA因为 MN，故选 A.222226C【解析】p :常数数列既是等差数列也是等比数列为假命题（常数为零时），p 为真命题，11p : $x R ，x 0为真命题， p 为假命题；因为椭
9、圆的离心率小于1 ，双曲线的离心20202 p率对于1 ，所以 p 为假命题，为真命题，故选 C.337B【解析】1x, y, zDA, DC, DD1为D xyz ， BM-则= - ,0,1 ,以轴建立空间直角坐标系21- + 27 101 14cos BM, DN =DN = , ,2 ，故选 B.302 2141 1+ + 44 4+18A【详解】b a,b - a 0，b - a +111 ( ) b - a =1+ 2 = 3+ b - a = 1+ b - a 1+2b - a +1,b - ab - ab - a- a=1b a 的最小值为3 .+ -当b时等号成立，即b -
10、a故选：A.【点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.9D【解析】( )a = 2S ， a= 2S相减得a= 3a n 2a= 1得出a= 2,a a3由n+1nnn-1n+11221n1,n =11,n =11a = ，= 1 1 n-2( )2 3 ,n 2an, 2-2nn n2 3 1 111
11、 111 0 1 18 + +.+a a=1+.+ 2 3 3 3 a12201 191- 131 3171 19 =1+=1+ 1- =- 12 2 23 4 4 3 181-3故选 DaS点睛：已知数列的 与 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要nn注意 n 的范围，有的时候要检验 n=1 的时候，本题就是检验 n=1,不符合，通项是分段的.10B【解析】( ) ( )A x , y ,B x , yA, B= -2D E,设，分别过作直线x的垂线，垂足分别为，1122( )13 + 2 = + 2 = 4xx2yx221PA = AB ,x=，故选 B.1， 又1 ，
12、解得2y y3 =41 3= xy2212211D【解析】CCC C CsinC - cosC =1- cos 2sin cos - 2cos2 -1 =1- cos由22222C CC C cos2cos -2sin -1 = 0, cos 022221234CC12CCsin -cos = -，两边平方得sinC =，由sin -cos2= -可得222pp3CCC7sin cos ,0 ,0 C 1,e =又e，故选 B.3【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a,c，从而求出e
13、;a,c构造的齐次式，求出e ;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据双曲线的定义利用勾股定理找出a,c之间的关系，求出离心率e 132【解析】 a + a = 2a = 24 a =12,a - a = 7d =14,d = 2a22，即的公差为 ，故答案为 .4128881n143【解析】a2+ b2- c210b2-5 5= ,sin A = 3sin B,所以根据正弦定理可得 = 3 ,a b cos =C=2ab6b26b =1,a = 3，故答案为3 .1510【解析】 x -3 00 y ax + y 0z = 2x + yz = 2x
14、+ y，由图可知，当直线作出约束条件表示可行域，平移直线( )A 3,a6 + a =16,a =10，故答案为10 .过点时， 取得最大值为z【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数的约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.1 1 , 165 4【解析】( )F -1, 0PF + PF = 2aPF = 2a - PF ，即 ，又椭圆 上存在一点 使得设
15、，则EPPA + PF = 9, PA + PF = PA + 2a - PF = 9，即 PA - PF = 9-2a，- AF PA - PF AF -1 PA - PF 1，a ，解得-1 9- 2 1，即1141 1 4 a 5, c =1, e ,，故答案为.55 4= 217（1） an+1n=(2n-3)2 +6= +1（2）T,b nnnn【解析】试题分析：(1)分类讨论 n =1和 n 2 两种情况可得数列 的通项公式为 = 2 ，据此计算aannn可得b = n +1；n)(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列2 -3 的前 项和a bnnn( )T = 2n -3 2
16、1 + 6n.n+试题解析：（1）当 =1时， = ，2na1当 时， a = S - S2= 2 - 2a ，即a a ，= 2nannn-1nn-1nn-1 所以 a 是以2 为首项，2 为公比的等比数列，即 = 2 ，annn 又b = a =4,b + b = 2b =10b = n +1.，所以32264n( ) ( )2b -3 = 2n -1 2（2）因为 a，nnn( )n=12+32 +52 + + 2n-1 2所以T，23n( ) ( )2T =12 +32 + + 2n-3 2 + 2n-1 223nn+1，n()( )由-得 -T =2 + 2 2 + 2 + 2 -
17、2n -1 2 ，23nn+1n( )= 2n -3 2 + 6 .所以Tn+1np3 32=18（1） A；（2）=.S3DABC【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和正弦函数加法定理推导出B - CB - C32sincos+ 2cosBsinC = sinB + C = sinA =A由此能求出角 222pBC = 7, AC = 2= 利用余弦定理求出（2）由， AAB=3，由此能求出ABC 的面积3试题解析：B - CB - C32sincos+ 2cosBsinC =（1）因为，2223，2( )sin B - C + 2cosBsinC =所以33( )sinBcosC - c
18、osBsinC + 2cosBsinC = sin B + C =，即sinA =则由，22pDABC为锐角三角形得 A=.312（2）在DABC中， a BC b AC a2 b2 c2=, =, = + - 2 cos 7 = 4 + 2 - 22 bc A ，即，cc化简得c2 - 2c - 3 = 0 ，解得c= 3（负根舍去），13 32= bcsinA =所以 S.2DABC619（1）见解析；（2）.16 【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理以及线面平行的判定定理可得FG、MG与平面平面CDE平行，从而可得平面MGF / / 平面CDE，进而根据面面平行的性质可得MF /
19、 / 平面CDE； 底面 ABCD，（2）因为底面 ABCD与侧面 ABE 垂直，且 AE AB，所以，先求出EG 的方向向量，再根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面CDE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.AE - xyz以 A为坐标原点，建立空间直角坐标系A试题解析：（1）证明：因为 F,G,M分别为线段BE, BC, AD/ /的中点， AB CD ，所以FG / /CE ， MG / /CD，又 FGMG = GMGF / / 平面CDE，所以平面/ / 平面CDEMGF ，所以 MF因为 MF 平面.（2）解：因为底面 ABCD与侧面 ABE 垂直，且 AE AB ，
20、所以 AE 底面 ABCD.- xyz以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A，( ) ( )5 3( )E 1,0,0C 0,2, 3D 0,1, 3 G0, ,， ，则，2 2( )= -1,1, 35 3( )= 0,1,0所以 DC，ED， EG = -1, ,2 2y = 0 n DC= 0( )n = x, y, z设是平面CDE的法向量，则，即 ，n ED = 0-x + y + 3z = 0( )n = 3,0,1故可取.3n EG62设 EG 与平面CDE所成角为q ，则，sin =q2 8 16n EG 6故 EG 与平面CDE所成角的正弦值为.16= 2y .(
21、 -1) + ( + 2) = 220（1） p.（2） x22【解析】 = 2( ) ( )y21pxP x , yQ x , yy + y = 4试题分析：（1）设，则，由1 ，得= 2px112212y222y - y2 p2p=tan45 =1 = - +可得结果；（2）设直线l 的方程为 y x b，代=12，x - xy + y14122( )x- 2b + 4 x +b = 0= 4x入 y2，得 22，根据判别式为零求出圆心坐标，利用点到直线距离公式1 求出圆的半径，从而可得圆的标准方程. p F,0 ，试题解析：由题意可知 2( ) ( )P x , yQ x , yy +
22、y = 4.设，则112212 = 2y y-2py21px2p4=tan45 =1= 2.=（1）由1 ，得12，即 p= 2pxx - xy + y1y221222= -x + b= 4x ，代入 y2（2）设直线l 的方程为 y( )x2 - 2b + 4 x +b2 = 0，得( )D = 2b + 4- 4b = 0l 为抛物线 的切线，2，C2( )A1,-2= -1，解得b.1+ 2 -1= 2， 到直接 PQ 的距离 dA2( ) ( )-1+ y + 2= 2.22所求圆的标准方程为 x3 392621（1）见解析；（2）.【解析】 BD试题分析：（1）由底面 ABCD为菱形
23、，可得 AC，根据直棱柱的性质可得BB AC，1 由线面垂直的判定定理可得 AC 平面 BDD B ，从而根据面面垂直的判定定理可得平面11ACE 平面 BDD B ；（2）设 AC 与 BD 交于点O，AC 与 B D 交于点O ，以O为原点，1111111x、y、zOA、OB、OO 分别为-轴，建立空间直角坐标系O xyz ，分别根据向量垂直数量1积为零列方程组求出平面 ACE与平面 ABE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，- AE - B可得二面角C试题解析：（1）证明：底面 ABCD为菱形， AC- A B C D BB 的余弦值. BD.BB AC.在直四棱柱 ABCD中，底
24、面 ABCD， 111111 BD = B， AC 平面BDD B ，1 1 BB1又 AC 平面ACE，平面 ACE 平面 BDD B .11、O B、OO（2）解 ：设 AC 与 BD 交于点O， AC 与 B D 交于点O ，以O为原点，OA111111( )x、y、z-2 3,0,0，A分别为轴，建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示，则( )( ) ( )C -2 3,0,0 ， E 0,2,3 ， D 0,-2.4 ，1( ) ( )( )= 0,-4,1，AE = -2 3,2,3 ， AC = -4 3,0,0 ， ED则1()n = x , y , z设则为平面 ACE的法
25、向量，111n = -2 3x + 2y + 3z = 0AE111，AC n = -4 3x = 01( )n = 0,-3,2.= 2取 z，则1 AB ，取 AB 的中点 F ，连接 DF ，则 DF( )DF=3,3,0易证 EF 平面 ABE ，从而平面 ABE 的一个法向量为.n m3 3926cosn,m = -，n m3 3926- AE - B 为锐角，二面角C - AE - B由图可知，二面角C的余弦值为. 【方法点晴】本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应
26、点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.14x222（1）+=1；（2）-.y222【分析】（1）由椭圆的定义得出D的周长为4 = 4 2 可求出a 的值，又由直线MF的斜率得F MNa21b=1c，可求出 、 的值，从而得出椭圆的标准方程；b出cx= my -1，的方程与椭圆方程联立，求出点 的坐标，设直线 的方程为（2）将直线MFNl1( ) ( )P x , yQ x , y设点、，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意分1122y
27、 = -2ym，代入韦达定理可求出实数 的值，即可得出直线 的斜率析得出l.21【详解】DF MN（1）根据题意，因为的周长为4 2，所以 =44 2a = 2，即，a1b=1，MF由直线的斜率1 ，得1cx2= c =12因为 a = b + c ，所以b，所以椭圆的标准方程为 + =1；222y2 = +1y x（2）由题意可得直线MF= +1方程为 y x ，联立得，得 x2 x ，3 + 4 = 0x211+ =y2 24 1NF12= S3- ,-=N1，因为 S解得 ，所以，3 3MF 3DF NQDF MP111 122 1NF QF sin QF N =MF PF sin PF
28、 MQF = 2 PF，即 ，所以3 2111111 11当直线 的斜率为0 时，不符合题意；l( ) ( )x = my -1，设点 P x , y、Q x , y，故设直线l 的方程为1122y = 2 yy = -2y，由点 在点Q 的上方，且P，则有2121 =-1x my( )联立，所以 m + 2 y - 2my -1= 022，x2+ y =12 22m1+ y =y y = -由韦达定理得 y，+ 2m + 212m2122-2m+ 2y =81m221471m2=( )2消去 得2，所以，得 m2 = ， m = ，y 122m+ 27m+22y =22+1m21471471
29、142又由画图可知m =不符合题意，所以m = -，故直线l 的斜率为 = -m【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中的三角形面积比的计算，解题时要结合已知条件将三角形的面积比转化为共线向量来处理，并结合韦达定理进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相
30、应的角和距离.14x222（1）+=1；（2）-.y222【分析】（1）由椭圆的定义得出D的周长为4 = 4 2 可求出a 的值，又由直线MF的斜率得F MNa21b=1c，可求出 、 的值，从而得出椭圆的标准方程；b出cx= my -1，的方程与椭圆方程联立，求出点 的坐标，设直线 的方程为（2）将直线MFNl1( ) ( )P x , yQ x , y设点、，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意分1122y = -2ym，代入韦达定理可求出实数 的值，即可得出直线 的斜率析得出l.21【详解】DF MN（1）根据题意，因为的周长为4 2，所以 =44 2a = 2，即，a1b=1，MF由直线的斜率1 ，得1cx2= c =12因为 a = b + c ，所以b，所以椭圆的标准方程为 + =1；222y2 = +1y x（2）由题意可得直线MF= +1方程为 y x ，联立得，得 x2 x ，3 + 4 = 0x211+ =y2 24 1NF12= S3- ,-=N1，因为 S解得