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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学开放题赏析数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向, 其解法敏捷且具有肯定的探干脆,这类题型按解题目标的操作模式分为: 规律探究型 , 问题探究型 , 数学建模型 , 操作设计型 ,情形讨论型 . 假如未知的是解题假设 , 那么就称为条件开放题 ; 假如未知的是解题目标 , 那么就称为结论开放题 ; 假如未知的是解题推理 , 那么就称为策略开放题 . 当然 , 作为数学高考题中的开放题其“ 开放度” 是较弱的 , 如何解答这类问题 , 仍是通过如干范例加以讲解 . 题目 1：假如一个四周体的三个面是直角三角形,那么,第四个面可能是：直
2、角三角形；锐角三角形；钝角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形；请说出你认为正确的那些序号；解 分三种情形第一种情形 从同一顶点动身的三个面都是直角三角形,且都以该顶点为直角顶点,如图 1；设 AD 、BD 、CD 的长分别是a、b、c,b2c2,c2a2ADB= ADC= BDC=900,AB ,BC, AC 的长分别为a2b 2在 ABC 中,由余弦定理2 2 2AB AC BC Acos BAC=2 AB ACa2 2 2 2 2 2a b a c b c =2 AB AC b c= a 20 B.1 CAB ACBAC 是锐角,同理ABC 、 ACB 也是锐角 ABC 是锐角
3、三形；正确；当 a=b=c 时 ABC 是等边三角形,正确；其次种情形 如图 2, ADB= ADC= DBC=90 0AAD BD,AD DC ,AD 面 DBC aBD 是 AB 在平面 DBC 上的射影；由三垂线定理知,BCAB b D c 第四个面ABC 是直角三角形；正确；AB C0 .2第三种情形 如图 3, ADC= BDC= ACB=90aD名师归纳总结 Bb .3cC 第 1 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 AD 、BD 、CD 的长分别为 a、b、c,就 AC2=a2+c2, BC2=b2+c2,2AB2=AC
4、2+BC2=a2+b2+2c在 ABD 中,由余弦定理得cos ADB=AD2BD2AB2a2b2a2b22c2c20 2ADBD2ababADB 900, ABD 是钝角三角形,正确；ABC 可以是等腰直角三角形,明显在其次种情形下,AB 和 BC 可以相等, 所以三角形正确,从而也正确；故答案是；注 此题是一道高考模拟试题,是一道考查同学空间想象才能、探究才能的好试题；其中第三种情形简单被忽视,标准答案中也没有“ 钝角三角形”；（注 第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形 ABD ,使 ADB 是钝角,然后过 D 作直线 DC 垂直于面 ABD ；以 AB 为直径作一球,就 D 必在
5、球的内部,设 C 是直线 DC 与球面的一个交点,就ACB 是直角,图 3 的四周体存在） ；题目 2：设a n是由正数组成的等比数列,（I）证明：lgS nlgSn2lgSn+1 ；2Sn是其前 n 项和；（II ）假设存在常数C0,使得lgSnclgSn2clgS n1c成立？并证2明你的结论； （1995 年全国高考题）解：（I）证明略得出 Sn2 Sn+2Sn+1；lgS n2clgS n1c 就有（II ）假设存在常数c0,使得lgS nc2Snc0 Sn+1c0 Sn+2c0 SncSn+2c=Sn+1c2 由得 SnSn+2Sn+1 2= c Sn+Sn+22Sn+1 由重要不等
6、式及知 Sn+Sn+2 2Sn+1=（Snc） +（Sn+2c） 2（Sn+1c）2S nc S n2c 2 S n1c 0由于 c0,故式右端非负,即名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - SnSn+2Sn+1 20；而由（ I）的证明可知SnSn+2Sn+1 20,产生了冲突；故不存在常数,c 0,使 lg S n c lg S n 2 c lg S n 1 c 2评析 这是一个台阶试题,在求解第（II ）小题时,必定要用到第（I）题结论,也就是说第（ I）题经过证明之后的结论将在解答第（II ）小题时作为条件使用,
7、而第（II ）小题中到底中是否存在常数 c0？最终要看假设存在之后,是否与第（I）小题冲突；题目3；设等比数列 a n 的公比为 q ,前 n 项和为 S ,是否存在常数 c ,使数列 Sn c也成等比数列？如存在,求出常数c ；如不存在,请 说 明 理 由. 名师归纳总结 但讲解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 第 3 页,共 16 页设存在常数 c , 使数列Snc成等比数列 . S nc S n2c S n1c 2S nS n22 Sn1c 2 S n1S nS n2i 当q1时,Snna 1代入上式得a 12n n2 a 12n12ca 1 a n1nn2
8、 即a 12=0 a 10, 于是不存在常数c ,使Snc成等比数列 . ii 当q1时,S na 1qn, 代 入 上 式 得1qa 12qn1q2ca 1qn 1q2,ca 11. 1q2 1qq- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综 上 可 知 , 存 在 常 数ca11,使Snc成等比数列 . q等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易遗忘公比q1的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 . 条件探干脆开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目；这类问题大致可分为：其一是条件未知,需要探注；其二是条件不足,要求寻求充分条件；解
9、答这类问题,一般从结论动身,设想出合乎要求的一些条件,逐一列出,逐一推导,从中找出满意结论的条件；题目 4：某挑选题已知条件缺漏,原题为：已知 、 均为锐角,且 sin sin=1 ,2_,就 tg（ ）的值为（）7 3 7 3A 、B、C、D、3 7 3 7其中 为缺少部分,试依据所附答案为（C）,推断并补足所缺的条件；分析：依据所附答案知 tg（ ）=7 ,3解得 tg 7,或 tg 1,2 2 7由已知 sin sin 12即 2 cos sin 1,2 2 2如 tg 7,2就得 2 cos cos 1,2 2 2 7即 cos +cos =1,2 7此与 、 均为锐角冲突；名师归纳总
10、结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如tg21,77就得 2 cos cos2 2 2即 cos +cos = 7 ,2这一结果与另一已知条件 sin sin =1 在形式上了比较接近；2故所缺失的条件可能为 cos +cos = 7 ；2评析 此类题可仿照分析法的解题方法,将结果加入条件, 逆推导出需要寻求的条件,但一般情形下答案不惟一；方法探干脆开放型问题这是一类条件、结论都不明确的问题,使得解题方法是开放的,需要探究出合适的解题方法,又需要进行严格的推理论证；题目 5：已知 f（ ）=sin2 +sin2（ + ）+si
11、n2（ + ）,其中 、 适合 0 的常数,试问 、 取何值时, f（ ）的值恒为定值； （日本御茶水女子高校入学试题）分析一：要使f（ ）的值不随 的变化而变化,即函数f（ ）为常值函数,就可赋予特别的自变量值探求；名师归纳总结 解一：令 =0,6 2f（0）=sin 2 +sin得 22 c o s22 c o s6f （0） +f2=2m,解f612 s i n64f212 c o s依题意可设f（ 0）=f6=f=m,（m 为常数）,就由得 m=3 ；2第 5 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再代入 f（0）=f6=f2=32
12、解得3,2 3；分析二要使f（ ）的值不随 变化而变化,可以通过分别主变量的方法,视主变量的系数为零,这样就可以把问题转化；解二：f31cos22cos2cos2cos22=31cos22cos2coscos2sinsin22=3112coscoscos2sincossin222f（ ）恒为定值,即f（ ）的值与 无关；1+2cos（ + ）cos（ ）=0 sin（ + ）cos（ ）=0 sin（ + ）=0 考虑到 0 ,有 0 + 2 , + = =3cos（ ）=12 0,、联立可得：3,2 3；题目 6 某机床厂今年年初用98 万元购进一台数控机床,并立刻投入生产使用,方案第一年修
13、理、保养费用 12 万元,从其次年开头,每年所需修理、保养费用比上一年 增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额 为 y 万元 . （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；名师归纳总结 （2）从第几年开头,该机床开头盈利（盈利额为正值）；第 6 页,共 16 页 3 使用如干年后,对机床的处理方案有两种： i 当年平均盈利额达到最大值时,以30 万元价格处理该机床； ii 当盈利额达到最大值时,以12 万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由. 讲解本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中常常遇到的问题. - - - - -
14、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）y50x 12xxx1 4 982得 =2x240x98. ）40229812（ 2）解不等式2x240x980, 1051x1051. xN,3 x 17. 故从第 3 年工厂开头盈利. （3）i y2x4098402x98xxx当且仅当2x98时,即 x=7 时,等号成立 . 12 7+30=114 万元 . x到 2022 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利ii y=-2x2+40x-98= -2（x-10 ）2 +102 ,当 x=10 时, ymax=102. 故到 2022 年,盈利额达到最大值,工厂共获利102
15、+12=114 万元 .名师归纳总结 解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具. m 成 25题目 7 已知函数 f x=x14 x-2 21 求 f x 的反函数 f-1 x; 2 设 a1=1,a11=- f-1 an nN, 求 an; n3 设 Sn=a1 2+a2 2+ +an2, bn=Sn+1- Sn是否存在最小正整数m, 使得对任意nN, 有 bn立？如存在,求出m的值；如不存在说明理由. 讲解本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有肯定的典型性和探干脆. 1 y=x14, 2x0. 2 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
16、 - 2 1141 , 121=4. an2 a na n12 a n 12 是公差为 4 的等差数列 . a na1=1, 12 = 12 +4 n-1=4 n-3. a n a 1an0 , an= 1 . 4 n 33 bn=Sn+1- Sn=an+1 2= 1 , 由 bn 25 对于 nN成立 . 4 n 1 25 4 n 1255 , 4 n 1m5, 存在最小正数 m=6, 使得对任意 n N有 bn m 成立 . 25为了求 an , 我们先求 12 , 这是由于 12 是等差数列 , 试问 : 你能够想到吗 . 该题是a n a n构造等差数列的一个典范 . 题目8 已知数列
17、 a n 中 , a 1 ,1 且点 P a n , a n 1 n N 在直线 x-y+1=0 上. （1）求数列 an 的通项公式；（2）如函数 f n 1 1 1 1 n N , 且 n 2 ,n a 1 n a 2 n a 3 n a n求函数 fn 的最小值；S 13 设b n1,Sn表示数列 bn 的前 n 项和 . 试问 : 是否存在关于n 的整式 gn, 使得anS 21S n1 g n对于一切不小于2 的自然数n 恒成立 .如存在 ,S 3S n写出 gn 的解析式 , 并加以证明 ; 如不存在 , 说明理由 . 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索. 名师
18、归纳总结 （1）anan110第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 1a210 ,a2a31,0. an1an10,以上各式相加,得a 1ann1,0ana 1n1n .（2）fnn11n121, 2nfn1 n12n131211212, 2 nnnfn1 fn11212n11212212n1102 nnnnfn 是单调递增的,故fn的最小值是f27.12（3）bn1s n111, n2ns nsn11n2,即nsnn1 s n1sn1,1nn1s n1 n2 s n2s n21 . 2 s 2s 1s 1,1ns ns 1s
19、1s 2s n1n,1s 1s 2s n1ns nns n1n n2 ,gnn.故存在关于n 的整式gnn,使等式对于一切不小2 的自然数 n 恒成立 . 事实上 , 数列 an 是等差数列 , 你知道吗？题目 9 深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的 85%和 15%；据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色,并对证人的辨别才能作了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事名师归纳总结 嫌疑 . 请问警察的认定对红色出租车公正吗？试说明理由. 第 9 页
20、,共 16 页讲解设该城市有出租车1000 辆,那么依题意可得如下信息：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证人所说的颜色（正确率 80%）真 蓝色 红色 合计实 蓝色（ 85%）680 170 850 颜 红色（ 15%）30 120 150 色 合计 710 290 1000 从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,且它的确是红色的概率为 1200 . 41,而290它是蓝色的概率为 1700 . 59 . 在这种情形下,以证人的证词作为推断的依据对红色出租290车明显是不公正的 . 此题的情形清爽 , 涉及到新教材中概率的学问 , 上述解法中的列表
21、技术显示了肯定的特殊性 , 在数学的应试复课中好像是很少见的 . 题目 10 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践,对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查讨论,得到如下两个不同的信息图：（ A）图说明：从第1 年平均每个养鸡场出产1 万只鸡上升到第6 年平均每个养鸡场出产 2 万只鸡 ; （ B）图说明：由第1 年养鸡场个数30 个削减到第6 年的 10 个. 请你依据供应的信息解答以下问题：（ 1）其次年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？（ 2）哪一年的规模最大？为什么？名师归纳总结 从而讲解（1）设第 n 年的养鸡场的个数为a ,平均每个养鸡场出产鸡b 万只,第 10
22、 页,共 16 页由图（ B）可知 , 1a =30,a610 ,且点n ,a n在始终线上,n,13,24,5,6,an344 n ,n,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ;6,3,4,56 ,由图（ A）可知 , b 1,1b 6,2且点n ,b n在始终线上,n,12 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是abnn54 n=,12 ,3 ,4 5,6,;a2b 231 . 2（万只）261.2（万只）,26 个,b 25其次年的养鸡场的个数是 26 个,全县出产鸡的总只数是 31.2 万只；（2）由 a n b n 2 n 9 231 1 , 当 n
23、 2 时 , a n b n max a 2 b 2 31 . 2（万只）,5 4 4其次年的养鸡规模最大,共养鸡 31.2 万只 . 有时候我们需要画出图形 , 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息 , 这正反映了一个事物的两个方面 . 看来 , 读图与识图的才能是需要不断提升的 . 题目 11 已知动圆过定点 P（1, 0）,且与定直线 l : x 1 相切,点 C在 l 上. （ 1）求动圆圆心的轨迹 M的方程；（ 2）设过点 P,且斜率为3的直线与曲线 M相交于 A,B两点 . （ i ）问：ABC能否为正三角形？如能,求点 C的坐标；如不能,说明理由；（ ii ）当 ABC为钝角三
24、角形时,求这种点 C的纵坐标的取值范畴 . 讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系,是解析几何中的存在性问题 . （1）由曲线 M是以点 P 为焦点,直线l 为准线的抛物线,知曲线M的方程为y24x. （2）（i ）由题意得,直线AB的方程为y3 x1 ,由y243x1 ,消 y 得yx ,.3 x210x30,解出x 11,x 2.33于是 , A点和 B 点的坐标分别为A1,233,B（3,23）,|AB|x 1x221633假设存在点C（ 1,y）,使 ABC为正三角形,就|BC|=|AB| 且|AC|=|AB| ,即有名师归纳总结 31 2y23216 3242y233
25、2,23y24x112y22162333由得2 4y232233,23 3143.解得y39第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于y143不符合,所以由,组成的方程组无解. 9故知直线l 上不存在点C,使得ABC是正三角形 . （ii ）设 C（ 1,y）使 ABC成钝角三角形,y由y,13x1 ,得y2.3x即当点 C的坐标是（ 1,23）时,三点A,B,C共线,故y23. |AC2 |112y2322843yy2,3393|BC|2312y2322843yy2,|AB|2162256. 39 i 当|BC2 |AC|2|A
26、B2 |,即2843yy228433yy2256,99即y23 时,CAB为钝角 . 9ii 当|AC2 |BC2 |AB2 |,即28433yy22843yy2256,99即y103 时CBA为钝角 . 3iii当|AB2 |AC2 |BC2 |,即2562843yy22843yy2,993即y243y40 ,y220. 该不等式无解,所以ACB不行能为钝角 . 333故 当 ABC 为 钝 角 三 角 形 时 , 点C的 纵 坐 标y的 取 值 范 围 是103或y293y23. 3需要提及的是 , 当 ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个, 需要我们进行一一探讨 . 题目 12已
27、知fx是定义在 R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,bR都满意关系式fabafbbfa . （ 1）求 f （0）,f （1）的值；名师归纳总结 （ 2）判定fx的奇偶性,并证明你的结论；第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）如f2,2unf2nnN,求数列 un 的前 n 项的和 Sn. n讲解此题主要考查函数和数列的基本学问,考查从一般到特别的取特值求解技巧. （ 1）在fabafb bfa中, 令ab0,得f0f000f00f00. 在fabafbbfa中 , 令ab1 ,得f 1f11 1f1 1f1,有f 1
28、0. （ 2）fx是奇函数 , 这需要我们进一步探究. 事实上f 1f12f1f1,0f1 0,fxf1xfx xf1fx,故fx为奇函数 . （2）从规律中进行探究, 进而提出猜想 . 由f a2afaafa2af a,fa3a2fa af a23 a2f a, 名师归纳总结 f推测f annan1f a. n=k+1 时,. 第 13 页,共 16 页于是我们很易想到用数学归纳法证明. 1当 n=1 时,f a11a0fa ,公式成立； 2 假设当 n=k 时,fakkak1f a成立,那么当akfa ,公式仍旧成立 ak1akfa af akakfa kakfa k1综上可知,对任意nN
29、,fannan1fa成立 . 从而unf2n1n1f1. n22f22,f 1f212f11f2,0222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故f1 21f2 n1,unn1 21 2n1nN,. 42111 211.S n1nN2122名师归纳总结 - - - - - - -题目 13如a10、a11,an112annn1,2,a1 求证：an1an； 2令a11,写出a2、a3、a4、a5的值,观看并归纳出这个数列的通项公式2an； 3证明：存在不等于零的常数p,使ananp是等比数列,并求出公比q 的值 . 讲解1 采纳反证法 . 如an1an,即
30、12annan, 解得an0,.a从而anan1a2a10, 1与题设a10,a11相冲突,故an1an成立 . 2 a11、a22、a34、a48、a516, 235917an22n11. n1（3）由于an11p2panp又ana11pananpq, an2ann所以2p2qanp 12q0, 由于上式是关于变量an的恒等式,故可解得q1、p1. 2我们证明相等的问题太多了, 好像很少见到证明不相等的问题, 是这样吗 . 题目 14 如图,已知圆 A、圆 B的方程分别是x22y225,x22y21,44第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 动圆 P 与圆 A、圆 B均外切,直线l 的方程为：xaa12（1）求圆 P的轨迹方程,并证明：当a1时,点 P 到点 B的距离与到定直线l 距2离的比为定值；（2） 延长 PB与点 P的轨迹交于另一点Q,求 PQ 的最小值；