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1、代数及其运算一、选择题（共13题）1（2019海南）当m1时，代数式2m+3的值是（）A1B0C1D2解：将m1代入2m+32（1）+31；故选：C2（2019天水）已知a+b=12，则代数式2a+2b3的值是（）A2B2C4D312解：2a+2b32（a+b）3，将a+b=12代入得：212-32故选：B3（2019常德）观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，根据其中的规律可得70+71+72+72019的结果的个位数字是（）A0B1C7D8解：701，717，7249，73343，742401，7516807，个位数4个数一循环，（2019+1）
2、4505，1+7+9+320，70+71+72+72019的结果的个位数字是：0故选：A4（2019十堰）一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，若第n个数为57，则n（）A50B60C62D71解：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，可写为：11，（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为111，210，39，48，57，66，75，84，93，102，111，第n个数为57，则n1+2+3+4+10+560，故选：B5.（2019枣庄）如图，小正方形是按一
3、定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）ABCD解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D6（2019连云港）计算下列代数式，结果为x5的是（）Ax2+x3Bxx5Cx6xD2x5x5解：A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；B、xx5x6，故选项B不合题意；C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；D、2x5x5x5，故选项D符合题意故选：D7（2019安徽）计算a3（a）的结果是（）Aa2 Ba2Ca4Da4解：a3（a）a3aa4故选：D8（2019桂林）下列计算正确的是（）Aa2a3a6Ba
4、8a2a4Ca2+a22a2D（a+3）2a2+9解：A、a2a3a5，故此选项错误；B、a8a2a6，故此选项错误；C、a2+a22a2，正确；D、（a+3）2a2+6a+9，故此选项错误；故选：C9（2019鸡西）下列各运算中，计算正确的是（）Aa2+2a23a4Bb10b2b5C（mn）2m2n2D（2x2）38x6解：A、a2+2a23a2，故此选项错误；B、b10b2b8，故此选项错误；C、（mn）2m22mn+n2，故此选项错误；D、（2x2）38x6，故此选项正确；故选：D10.（2019临沂）下列计算错误的是（）A（a3b）（ab2）a4b3B（mn3）2m2n6Ca5a2a3
5、Dxy2-15xy2=45xy2解：选项A，单项式单项式，（a3b）（ab2）a3abb2a4b3，选项正确选项B，积的乘方，（mn3）2m2n6，选项正确选项C，同底数幂的除法，a5a2a5（2）a7，选项错误选项D，合并同类项，xy2-15xy2=55xy2-15xy2=45xy2，选项正确故选：C11.（2019荆门）下列运算不正确的是（）Axy+xy1（x1）（y+1）Bx2+y2+z2+xy+yz+zx=12（x+y+z）2C（x+y）（x2xy+y2）x3+y3D（xy）3x33x2y+3xy2y3解：xy+xy1x（y+1）（y+1）（x1）（y+1），A正确，不符合题意；x2+
6、y2+z2+xy+yz+zx=12（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2，B错误，符合题意；（x+y）（x2xy+y2）x3+y3，C正确，不符合题意；（xy）3x33x2y+3xy2y3，D正确，不符合题意；故选：B12.（2019烟台）南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）01（a+b）1a+b（a+b）2a2+2ab+b2（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4
7、+b5则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A128B256C512D1024解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）929512故选：C13.（2019资阳）4张长为a、宽为b（ab）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2若S12S2，则a、b满足（）A2a5bB2a3bCa3bDa2b解：S1=12b（a+b）2+12ab2+（ab）2a2+2b2，S2（a+b）2S1（a+b）2（a2+2b2）2abb2，S12S2，a2+2b22（2abb2），整理，得（a2b）20，a2b0，
8、a2b故选：D2、 填空题(共7题)1（2019广东）已知x2y+3，则代数式4x8y+9的值是 解：x2y+3，x2y3，则代数式4x8y+94（x2y）+943+921故答案为：212.（2019永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15a0+a1x+a2x2+
9、a15x15依上述规律，解决下列问题：（1）若s1，则a2 ；（2）若s2，则a0+a1+a2+a15 解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，（a+b）2的第三项的系数为：1，（a+b）3的第三项的系数为：31+2，（a+b）4的第三项的系数为：61+2+3，发现（1+x）3的第三项系数为：31+2；（1+x）4的第三项系数为61+2+3；（1+x）5的第三项系数为101+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+（n2）+（n1），s1，则a21+2+3+14105故答案为：105；（2）（s+x）15a0+a1x+a2x2+a15x15当x1时，a0+a1+a2
10、+a15（2+1）15315，故答案为：3153（2019徐州）若ab+2，则代数式a22ab+b2的值为 解：ab+2，ab2，a22ab+b2（ab）2224故答案为：44（2019天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个解：由图可得，第1个图象中的个数为：1+314，第2个图象中的个数为：1+327，第3个图象中的个数为：1+3310，第4个图象中的个数为：1+3413，第2019个图形中共有：1+320191+60576058个，故答案为：60585（2019青岛）问题提出：如图，图是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸
11、片，图是一张ab的方格纸（ab的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成ab个边长为1的小正方形，其中a2，b2，且a，b为正整数）把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：把图放置在22的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对于22的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法探究二：把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在32的方格纸中，共可
12、以找到2个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有248种不同的放置方法探究三：把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法探究四：把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其
13、中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法问题解决：把图放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）问题拓展：如图，图是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为a，b，c（a2，b2，c2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了abc个棱长为1的小立方体在图的不同位置共可以找到 个图这样的几何体解：探究三：根据探究二，a2的方格纸中，共可以找到（a1）个位置不同的 22方格，根据探究一结论可知，每个22方格中有4种放置方法，所以在a2的方格纸中，共可以找到（a1）4（4a4）种不同的放置
14、方法；故答案为a1，4a4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有312条边长为2的线段，所以在a3的方格中，可以找到2（a1）（2a2）个位置不同的22方格，根据探究一，在在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a2）4（8a8）种不同的放置方法故答案为2a2，8a8；问题解决：在ab的方格纸中，共可以找到（a1）（b1）个位置不同的22方格，依照探究一的结论可知，把图放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a1）（b1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图示是棱长为2的
15、正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a1）、（b1）、（c1）条边长为2的线段，所以在abc的长方体共可以找到（a1）（b1）（c1）位置不同的222的正方体，再根据探究一类比发现，每个222的正方体有8种放置方法，所以在abc的长方体中共可以找到8（a1）（b1）（c1）个图这样的几何体；故答案为8（a1）（b1）（c1）6. （2019台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎按照这样的
16、方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个解：210370，第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下21070140个金蛋，重新编号为1，2，3，140；1403462，第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下1404694个金蛋，重新编号为1，2，3，94；943311，第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下943163个金蛋，6366，砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个故答案为：37.你能比较数20182019和20192018的大小吗？为了解决这个问题，可以先将它们一般化，即比较n
17、n+1和（n+1）n的大小（n为正整数）然后从分析n1，n2，n3这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想得出结论【观察比较】通过计算、比较下列各组数中两个数的大小（在横线上填“”“”或“”）：12 21；23 32；34 43；45 54；56 65【归纳猜想】观察分析上面的结论，猜想nn+1与（n+1）n的大小（直接写出结论）；【实际运用】根据上面归纳猜想得到的结论，可以判断20182019 20192018（在横线上填“”或“”）解：【观察比较】分别计算每一项可得：1221，2332，3443，4554，5665，故答案为，；【归纳猜想】当n1，n2时，nn+1（n+1）n；当n3
18、时，nn+1（n+1）n；【实际运用】当n2018时，2018201920192018故答案为3、 解答题(共3题)1（2019张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中a11，a23，公差为d2根据以
19、上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，的公差d为 ，第5项是 （2）如果一个数列a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，所以a2a1+da3a2+d（a1+d）+da1+2d，a4a3+d（a1+2d）+da1+3d，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+（ ）d（3）4041是不是等差数列5，7，9的项？如果是，是第几项？解：（1）根据题意得，d1055；a315，a4a3+d15+520，a5a4+d20+525，故答案为：5；25（2）a2a1+da3a2+d（a1+d）+da1+2d，
20、a4a3+d（a1+2d）+da1+3d，ana1+（n1）d故答案为：n1（3）根据题意得，等差数列5，7，9的项的通项公式为：an52（n1），则52（n1）4041，解之得：n20194041是等差数列5，7，9的项，它是此数列的第2019项2（2019安徽）观察以下等式：第1个等式：21=11+11，第2个等式：23=12+16，第3个等式：25=13+115，第4个等式：27=14+128，第5个等式：29=15+145，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明解：（1）第6个等式为：211=16+166，故答
21、案为：211=16+166；（2）22n-1=1n+1n(2n-1)证明：右边=1n+1n(2n-1)=2n-1+1n(2n-1)=22n-1=左边等式成立，故答案为：22n-1=1n+1n(2n-1)3（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法：设S1+2+22+22017+22018则2S2+22+22018+22019得2SSS220191S1+2+22+22017+22018220191请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+29 ；（2）3+32+310 ；（3）求1+a+a2+an的和（a0，n是正整数，请写出计算过程）解：（1）设S1+2+22+29则2S2+22+210得2SSS2101S1+2+22+292101；故答案为：2101（2）设S3+32+33+34+310 ，则3S32+33+34+35+311 ，得2S3113，所以S=311-32，即3+32+33+34+310=311-32；故答案为：311-32；（3）设S1+a+a2+a3+a4+.+an，则aSa+a2+a3+a4+.+an+an+1，得：（a1）San+11，a1时，不能直接除以a1，此时原式等于n+1；a不等于1时，a1才能做分母，所以S=an+1-1a-1，即1+a+a2+a3+a4+.+an=an+1-1a-1