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1、 2018 学年第二学期期末考试高二年级数学试卷一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分x2+ y =11.椭圆的焦点坐标是_.23( ) 2,0【答案】【分析】从椭圆方程中得出a 、b 的值，可得出 的值，可得出椭圆的焦点坐标.c= 3 b =1 =【详解】由题意可得a，- = - =2，ca b23 1 2( ) 2,0( )x2 2,0.+ y =1因此，椭圆的焦点坐标是，故答案为：23【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出a 、b 、 的值，c同时也要确定焦点的位置，考查计算
2、能力，属于基础题.( )z 1+i = 22.若复数 满足z，则 的实部是_.z【答案】1【分析】( )z 1+i = 22=由得出 z，再利用复数的除法法则得出 的一般形式，可得出复数 的实部.zz1+ i( ) ( )2 1-i2 1-i( )Q z 1+i = 22【详解】，z =( )( )=1-i，因此，复数 的实部z1+ i 1+ i 1-i2为1，故答案为：1.【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.- 1 - 3.球 表面积是其大圆面积的_倍【答案】4的【分析】设球的半径为 R ，可得出球
3、的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为R ，则球的表面积为4p R ，球的大圆面积为pR ，22因此，球的表面积是其大圆面积的4 倍，故答案为：4 .【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.棱长为的正四面体的高为_.22 33【答案】【分析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径r ，再利用公式 =2 r2-可得出正h四面体的高.【 详 解 】 设 正 四 面 体 底 面 三 角 形 的 外 接 圆 的 半 径 为 r ， 由 正 弦 定 理 得22 2 6=362r = 2 ， =，rsin 60o332632 332 33因此，正
4、四面体的高为h = 2 - r = 2 - =，故答案为：.2【点睛】本题考查正四面体高 计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.1 6+5.展开二项式 x，其常数项为_.x 【答案】20【分析】- 2 - 1 6x利用二项展开式通项，令 的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式 x+展x 开式的常数项.1 1 k66-2k = 0+T = C x = C x【详解】二项式 x展开式的通项为，令，6 k- -6 2kkkx k+1 x 66得 k= 3.1 6+C = 20 ，故答案为：20所以，二项式 x展开式的常数项为.3x 6x【点
5、睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.从 、 、2 、3、4 中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200 ，共有_01不同的可能【答案】36【分析】由题意得知，三位数首位为2 、3、4 中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.【详解】由于三位数比200 大，则三位数首位为2 、3、4 中的某个数，十位数和个位数没有限制，= 312 = 36因此，符合条件的三位数的个数为C A，故答案为： .361234【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排
6、列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.圆锥的母线长是【答案】 3p，高是，则其侧面积是_.23【分析】计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.- 3 - ( ) ( )【详解】由题意知，圆锥的底面半径为r =3 - 222=1，ppp因此，圆锥的侧面积为S = 1 3 = 3 ，故答案为： 3 .【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.x2y2- =18.双曲线的虚轴长为 ，其渐近线夹角为_.23 b2【答案】60【分析】计算
7、出 的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.bx2y2- =1= =的虚轴长为2b 2 ，得b 1，【详解】由题意知，双曲线3 b23= x ，两条渐近线的倾斜角分别为30 、150 ，所以，双曲线的渐近线方程为 y3因此，两渐近线的夹角为60 ，故答案为：60 .【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.( )9.在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为 1,2,3 和(-2,3,-1)，则该二面角的大小为_（结果用反三角函数表示）1【答案】arccos
8、14【分析】q设锐二面角的大小为 ，利用空间向量法求出qq 的值，从而可求出 的值.cos(1,2,3)(-2,3,-1)1cosq=q【详解】设锐二面角的大小为 ，则，( )( )141 + 2 + 3 -2+ 3 + -1222222- 4 - 11 = arccos ，故答案为：arccosq.1414【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.10.现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号 、 、3，从中任取3个12小球，颜色编号均不相同的情况有_种【答案】6【分析】A1A3B B B2设红色的三个球分别为 、
9、、 ，黄色的三个球分别为 、 、 ，蓝色的三个球分别A132为C 、C 、 ，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.C312A1A3B B B2【详解】设红色的三个球分别为 、 、 ，黄色的三个球分别为 、 、 ，蓝色的三A132(A ,B ,C )、个球分别为C 、C 、 ，现从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有：C121233(A ,B ,C ) () (、) (、) (、)A ,B ,CA ,B ,C2A ,B ,C3A ,B ,C1、，132132132321因此，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有6种，故答案为：6.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问
10、题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.( ) ( )P s,t Q u,v，s + t 2z1z+ =11.已知点，u v 1，复数 、 在复平面内分别对应点222= z + z、Q ，若 z，则 z 的最大值是_.P12【答案】3【分析】x + y 2Q内，点 在圆 x y2+ =12由题意可知，点在曲线上，利用三角不等式得出Pz = z + z z + z = OP + OQ，可求出 z 的最大值.1212x + y 2Q内，点 在圆 x y2+ =1上，如下图所示：2【详解】由题意知，点 在曲线P- 5 - z = z + z z + z
11、 = OP + OQ = OP +1 2+1= 3由三角不等式得，1212当点 为正方形的顶点，且点P、OQ 方向相反时， z 取最大值3，故答案为：3.OP【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.paba- AB -内，且 POB=12.已知点O在二面角的棱上，点 在半平面P，若对于半12pab大小的取值的集合- AB -b平面 内异于O的任意一点Q ，都有 POQ，则二面角12为_. 【答案】 90 o【分析】画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.
12、a【详解】如下图所示，过点 在平面 内作 PC AB ，垂直为点 ，CPpaba- AB -=点O在二面角的棱上，点 在平面 内，且 POB，P12- 6 - pbPOQ 若对于平面 内异于点O的任意一点Q ，都有.12因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，bb平面 ，PC 即 POB 是直线 PO与平面 所成的角，bab- AB -的大小是90PC 平面 ，所以，平面a 平面 ，所以，二面角a. 故答案为： 90 o .【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.二、选择题（本大题满分20 分）本大题共
13、有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得 5 分13.“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A. 杨辉B. 刘微C. 祖暅D. 李淳风【答案】C【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.14.
14、已知 n，mN *， n m ，下面哪一个等式是恒成立的（）n!n!=AmnA. CC. CB.D.m(n - m)!m!n+ C = CC + C = Cmm-1m-1n+1m-m 1m 1+n+1nnnn【答案】B- 7 - 【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.n!( ) ，A 选项错误；m! n - m !C =【详解】由组合数的定义可知mnn!( ) ，B 选项正确；n - m !A =由排列数的定义可知mn+ C = C由组合数的性质可知C，则 C、D 选项均错误.故选：B.rr+1r+1n+1nn【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组
15、合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.15.在复数范围内，多项式4x2+1可以因式分解为（）i i 1 1 4 x -x +4 x -x +A. B. 2 2 2 2 C. i 2 i D. 1 2 1 x -x +x -x +2 2 【答案】A【分析】将代数式化为4x +1 = 4x - i ，然后利用平方差公式可得出结果.222iii2Q 4x +1= 4x -i = 4 x - = 4 x +x -【详解】 ，故选：A.22224 2 2 【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.( ) ( )2 px16.已知抛物线 y2A x
16、 , yB x , y、（ p 是正常数）上有两点，焦点 ，F1122p2=甲： x x；41 2= - p乙： y y1；22- 8 - 3OB = - p4丙：OA；2112+=FA FB p丁：.以上是“直线 AB 经过焦点 F ”的充要条件有几个（）A. 0B.C. 2D.31【答案】B【分析】x = my +t设直线 AB 的方程为，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线 AB 经过焦点 F ”的充要条件的个数.( )x = my +tx，则直线 AB 交 轴于点T t,0，且抛物线的焦点F【详解】设直线 AB 的方程为
17、p,0的坐标为 . 2 =y2 2px将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立x - - =，消去 得， y 2 pmy 2 pt 0 ，2= my +tx+ y = 2 pm y y = -2 pt.由韦达定理得 y，121 2( ) ( )22p，得t = ，2yy214p222y y-2pt4p2p2= t =对于甲条件， x x124p2241 2甲条件是“直线 AB 经过焦点 F ”的必要不充分条件；p= -2 pt = - p2 ，得t =对于乙条件， y y1，此时，直线 AB 过抛物线的焦点F ，22乙条件是“直线 AB 经过焦点 F ”的充要条件；uur u uur对于丙条件，
18、OA33OB = x x + y y = t - 2pt = - pt - 2pt + p = 0，即2222441 21 2p3p=或t =解得t，所以，丙条件是“直线 AB 经过焦点 F ” 必要不充分条件；22对于丁条件，111111+FA FB=+=+ppppx +x +my + t +my + t +22221112- 9 - ( ) ( )( ) ( )m y + y + 2t + pm y + y + 2t + p=1212pppp ( )my + t + my + t + m y y + mt + y + y + t + 22 2 2 2 1212122pm + 2t + p2
19、pm + 2t + p222=p ，pp2p2-2m pt + m t +2pm + t +p m + t +222 2 2 2 p2p= 化简得t，得t，所以，丁条件是“直线经过焦点 ”的必要不充分条件.AB F242综上所述，正确的结论只有 个，故选：B.1【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）( )w 1+ 2i = 4+3i5z= + w- 2，求一个以 为根的zw17
20、.已知复数 满足（ 为虚数单位），iw实系数一元二次方程- 6x +10 = 0【答案】 x2【分析】( )5w 1+ 2i = 4+3i求出复数 z= 3+i= + - 2ww求出复数 ，再 由 zw，计算出其复数 ，z先由( )( )x - z x - z = 0可得出以复数 为根的实系数方程为z，化简后可得出结果.( )( )( )( )1+ 2i 1- 2i4 + 3i 1- 2i4 + 3i1+ 2i4 5i 6i- - 2( )+ 2i = 4+3iw= 2 -i，w 1【详解】由，得5( )( )( )2 -i 2 + i5 2 + i55z = + w- 2 =+ 2-i -
21、2 =+1= 2+ i +1= 3+ i， = - .z 3 iw2 -i z = z = 3 +1 =10z + z = 6， z，222( ) ( )( )x - z x - z = 0x - z + z x + z z = 0，因此，以复数 为一个根 实系数方程为z，即即 x2- 6x +10 = 0.- 10 - 【点睛】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.x2 y ()( )c,02+a2 b2=1 a b 0F218.在平面直角坐标系中，椭圆C :，右焦点 为（1）若其长半轴长为2 ，焦距为2 ，求其标准方程a+cF2（2
22、）证明该椭圆上一动点 到点 的距离d 的最大值是Px2y2+ =1【答案】（1）；（2）见解+析.4 3【分析】（1）由题设条件可得出a 、c 的值，进而可求出b 的值，由此得出椭圆C 的标准方程；( )( )()b2a2P x , y -a x a=a x ，并代-（2）设点，将该点代入椭圆 的方程得出 y2C2200000入 d 的表达式，转化为关于 的函数，利用函数的性质求出d 的最大值.x0= 2 2c = 2，则c =1，b = a - c = 3 【详解】（1）由题意，a，222x2y2椭圆的标准方程为 + =4 31；( )()( )P x , y -a x a Q F c,0（
23、2）设，0002( )( )b2c2d = x - c + y = x - 2cx + c +a - x =x - 2cx + a22020222022a2a20000ca2ca2c2， 当 x = -a时，= +a c = +=x -0da0acmaxa【点睛】本题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用，在处理与椭圆上一点有关的最值问题时，充分利用点在椭圆上这一条件，将问题转化为二次函数来求解，考查函数思想的应用，属于中等题.- 11 - ( ) ()x x -1 L x - m +1m!=，其中 xR=19.推广组合数公式，定义C，m N*，且规定C 1mx0x（1）求C 的值；3-15( )
24、 C3f x = ( ) 0（2）设 x，当 x 为何值时，函数x 取得最小值？1C2xC3( )2【答案】（1）-680；（2）当x = 2时，x 取得最小值.C1x【分析】（1）根据题中组合数的定义计算出C 的值；3-15( ) 12f x =x + - 3（2）根据题中组合数的定义求出函数 ，然后利用基本不等式求出函数6 x( )y = f x的最小值，并计算出等号成立对应的x 的值.( )( )( )-15 -16 -17= -680；【详解】（1）由题中组合数的定义得C3-153!( )( )x x -1 x - 2 1 ( )C2 3f x = ( ) = x + -3x（2）由题
25、中组合数的定义得6x26 x C21x2 0+ 因为 x，由基本不等式得 x2 2 ，当且仅当时，等号成立，x = 2xC3( )2所以当时，x 取得最小值x = 2C1x【点睛】本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等题.20.被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方ABCD - A B C D灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为 的正方体4中，1111()P i =1,2, L ,24点为棱上的四等分点.i- 12 - （1）求该方灯体的体积；PP1
26、 2P P 的所成角；6 11（2）求直线和（3）求直线 P P 和平面 PP P 的所成角9131 2 918833【答案】（1）；（2）60 ；（3）arcsin.3【分析】（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；y为 轴，x（2）以 A为原点， AB 为 轴，AA 为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间ADz1PP1 2P P 的所成角；6 11向量法求出直线和（3）求出平面 PP P 的法向量，利用空间向量法求出直线P P 和平面 PP P 的所成角的正1299 131 2 9弦值，由此可得出 P P 和平面 PP P
27、 的所成角的大小.9 131 2 9ABCDA B C DP (i =1,2, L ,24)为棱上的四【详解】（1） 在棱长为 的正方体4中，点1111i等分点，1 1188；31 1 1= - =该方灯体的体积：V 4 4 4 83 2y为 轴，x（2）以 A为原点， AB 为 轴，AA 为 轴，建立空间直角坐标系，ADz1uuur， PP1 2uuuru( ) ( ) ( ) ( )( )1,1,0 ， P P( )-0,1, 1 ，P 3,0,4 P 4,1,4 P 0,3,41P 0,4,311=、266 11u uur uuuruPP P P12cosq=16 11=PP1 21设直
28、线和P P6 11的所成角为q ，则uuur uuuru P P，PP1 26 11直线 PP1 2和 P P 的所成角为60 ；6 11- 13 - uuuru， P Puuur0,0, 2 ， PP( ) ( )，()( )= -1,0, 1 ，P 4,0,39P 4,0,113=-（3）9 131 9( )n= x, y, zPP P2 9设平面的法向量，1 = -n PP= x - z = 01 9n PP = x + y = 01 2yx( )= -，得 n 1, 1,1 ，=1则 ，得，取 x= xzuuuru rP P n23P P9PP P1 2 9a的所成角为 ，则sina=
29、9uuP Pu13=ru r=设直线和平面， n 2 3 3139 133 直线 P P 和平面 PP P 的所成角为arcsin9131293【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.x2 y (a b2)2- =1 a,b 0的左、右焦点分别为 F 、F ，直线l 过 F 且与双曲线交于 、A21.双曲线1222两点BpDF AB，（1）若l 的倾斜角为， a= 3是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；( )21uuru uuru u uurF A+ F B AB = 0=
30、3 b =1，若l，（2） a斜率存在，且，求l 的斜率；11a b22（3）证明：点 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值P是该点在已知双曲a + b22线上的必要非充分条件- 14 - x2y27-=1；（2）【答案】（1）；（3）见解+析.3 6 + 6 27【分析】b2x = cDF AB是等腰直角三角形，可得出= （1）将代入双曲线的方程，得出 y，由a1b22c = 3代入可得出b 的值，由此可得出双曲线的标准方程；，再将 aa( )y = k x - 2（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线l 的方程为，将该直线的方程与双曲( )uuru uuru u uurF A+ F
31、B AB = 0线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段 AB 的中点 M 的坐标，由得11uuru uuruF A = F BF M1 AB-，利用这两条直线斜率之积为 1，求出实数k 的值，可出，转化为11得出直线l 的斜率；( )P x , y ，双曲线的两条渐近线方程为bx ay = 0（3）设点，利用点到直线的距离公式、00双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.pb2= 3，可得直线l : x= 【详解】（1）直 线 的倾斜角为 ，a，代入双曲线方程可得 y，l= c2ab2DF AB= = - = -是等腰直角三角形可得2c，即有2 3c b c a c 3 ，22221a
32、x2y2-=1；解得c = 3 + 6 ， = - = +b c a 6 6 2，则双曲线的方程为2223 6 + 6 2= 3 b =1，（2）由a，可得c= 3+1 = 2 ，( )y = k x - 2直线l 的斜率存在，设为k ，设直线方程为，( ) ( )( )uuru uuru u uurF A1uuru uuru uuru uuru uuru uuru- F A+ F B AB = F A + F B F B - F A = F B22= 0=，可得 F A F B ，111111111( )y = k x - 2- =，联立双曲线方程 x 3y 3 ，由22( )1- 3k x
33、 +12k x -12k - 3 = 0可得，22226k2k12k22+ x =ABM,可得 x，线段的中点 为 ，3k -1 3k -13k -112222- 15 - 2kF M l1kk = -1，由，可得6k + 6k - 2F M122( )( )77D =144k + 4 12k + 3 1-3k 0= 解得k，满足，故直线 的斜率为；422l77( )P x , y ，双曲线的两条渐近线为bx ay = 0（3）证明：设，00b x - a ybx - ay bx + ay2 2220220a b=可得 到渐近线的距离的乘积为P，0000a + ba + bb + ab + a
34、22222222x20y2b x - a y = a b- = 1 ，即为，可得222202 20a b22x y2x2y22- =1- = -1上，可得 在双曲线P或a b2a b222a b22即有点 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值P是该点在已知双曲线上的a + b22必要非充分条件【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.- 16 -x2y27-=1；（2）【答案】（1）；（3）见解
35、+析.3 6 + 6 27【分析】b2x = cDF AB是等腰直角三角形，可得出= （1）将代入双曲线的方程，得出 y，由a1b22c = 3代入可得出b 的值，由此可得出双曲线的标准方程；，再将 aa( )y = k x - 2（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线l 的方程为，将该直线的方程与双曲( )uuru uuru u uurF A+ F B AB = 0线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段 AB 的中点 M 的坐标，由得11uuru uuruF A = F BF M1 AB-，利用这两条直线斜率之积为 1，求出实数k 的值，可出，转化为11得出直线l 的斜率；( )P x , y ，双曲线的两条渐近线方程为bx ay = 0（3）设点，利用点到直线的距离公式、00双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.pb2= 3，可得直线l : x= 【详解】（1）直 线 的倾斜角为 ，a，代入双曲线方程可得 y，l= c2ab2DF AB= = - = -