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1、 20182019 学年度下学期期末测试题高二数学（文）一、选择题（单选题；每题 5 分，共 60 分） A = 1,2,3 , =2 =B x | x 9，则 A B1.已知集合A. - 2,-1,0,1,2,3【答案】D- 2,-1,0,1,21,2,3B.C.D. 1, 2 = 1,2,3，所以-3 x 3=- 试 题分析 ：由 x 9 得， 所以 B x | 3 x 3，因为A2 A B = 1,2，故选 D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.( )i 2+3i =2.A. 3- 2i3+
2、 2i-3- 2i-3+ 2iD.B.C.【答案】D+ 3i) = -3+ 2i= -1，可直接计算得i(2分析：根据公式i2+ 3i) = 2i + 3i = -3+ 2i详解：i(2，故选 D.2点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略i2= -1中的负号导致出错.| x-1|1”，则“ 2 x 0”是“3.设 xR- A. 充分而不必要条件C. 充要条件B. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件- 1 - 【答案】B分析：分别解
3、不等式，求出 x 的范围，取值范围小的条件可以推出取值范围大的条件，反之则不成立.- x 0 x 2 x -1 1 -1 x -11 0 x 2， ，详解：解不等式：2显然前面命题范围大，所以后者可以推出前者，前者不能推出后者，所以前面命题为后面命题的必要不充分条件.故选 B.点睛：本题意在考察充分必要条件的判断，如果是范围问题，注意小范围为大范围的充分不必要条件.a = log 74.设，b 2 ，c 0.8 ，则 （=）3.11.13 a cc b aA. bB. a c bC.D.c a 2 ；c 0.8= 0.8 1；=1.13.10333 a a ，所以C A= ，则C 45 或13
4、5 ；= 45= - - = 时， B 180 30 45 105 ；当C当C=135时， B =180- 30- 135 =15.=所以 B 105 或 .15故选：D.【点睛】解三角形过程中涉及到多解的时候，不能直接认为所有解都合适，要通过给出的条件判断边或角的大小关系，从而决定解的个数， - 2 + 5 0x y+ 3 06.已知 x,y满足约束条件 x,则 z=x+2y的最大值是y 2A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D - 2 + 5 0x y+ 3 0表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线x + 2y = 0 ,可 x画出约束条件y 2x - 2y + 5 = 0=
5、2-的 交 点与 y( 1, 2 )= +时 , z x 2y 取 得 最 大 值 ， 为知 当 其 经 过 直 线z = -1+ 2 2 = 3 ,故选 D.max- 3 - 【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：画出约束条件对应的可行域；将目标函数视为动直线,并将其平移
6、经过可行域,找到最优解；将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值( ) ( )= 1,-2 , AD = 2,1，则7.在平面直角坐标系 xoy 中， 四边形是平行四边形， ABABCDAD AC =（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A因为 AC= AB + BC = AB + AD = (3,-1)，所以AD AC 2 3 1 5 = - = ，应选答案 A。p8.要得到函数 y = si（n 4x - ）的图象，只需要将函数 y = sin4x 的图象（ ）3- 4 - pA. 向左平移 个单位12pB. 向右平移 个单位12pC. 向左平移 个单位3pD. 向右平移 个单位3【
7、答案】Bpp= sin4( x - )12p = sin 4x -y = sin 4x -因为函数 y，要得到函数 的图象，只需要3 3 p的图象向右平移 个单位。12= sin4x将函数 y本题选择 B 选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同 PFPF F = 60，2 19.已知 F ， F 是椭圆C 的两个焦点， 是C 上的一点，若 PF，且P1212则C 的离心率为3A. 1-23-12 - 3D. 3 1-B.C.2【答案】DPF = mF F , PF
8、，再结合椭圆定义可求离心率.分析：设详解：在，则根据平面几何知识可求2121DF PF=中， F PF 90 , PF F 60= 121221PF = m2c= F F = 2m, PF = 3m设，则，21212a = PF + PF = ( 3 +1)m又由椭圆定义可知12- 5 - c 2c2m则离心率e = = 3 -1，a 2a ( 3 +1)m故选 D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦
9、定理以及椭圆的定义.10. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）y = cos x=y ln x= sin xA.B. yC.D.y = x2 +1【答案】A由选项可知， B,C 项均不是偶函数，故排除 B,C ，A,D项是偶函数，但 D 项与 x 轴没有交点，即 D 项的函数不存在零点，故选 A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.11.中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为A.C.B. 5665D.22【答案】Db由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为 y=- x,ab-2=- 4,a- 6 - a=2b.设 b=k,则 a=2k,
10、c=k,5ce= =a5k5=.2k2( )( )f x = kx-ln x+12.若函数在区间 1,上单调递增，则实数 的取值范围是（k）( -,-2( -,-1)1,+)D. +2,C.A.B.【答案】D( )( )f x = kx-ln x+单调递增，【详解】试题分析：，函数在区间 1,( )( )+在区间 1,1,+ 上恒成立在区间，而上单调递减， )1,+ 的取值范围是故选：D考点：利用导数研究函数的单调性.二、填空题（每题 5 分，共 20 分）= 2 =4， ABC 60 ，以该菱形的 个顶点为圆心的扇形的13.如图，在菱形中， ABABCD半径都为 .若在菱形内随机取一点，则该
11、点取自黑色部分的概率是_13【答案】1-p6= 22sin60 = 2 3.在菱形 ABCD 中，AB=2，ABC=60，S0ABCD- 7 - p2p31 22 1=以 A 和 C 为圆心的扇形面积和为以 B 和 D 为圆心的扇形面积和为22 3pp1 1=2 33p菱形内空白部分的面积为 .2 3 -p 6 - 3p=则在菱形内 随机取一点，该点取自黑色部分 概率是2 363的故答案为：1-p 614.垂直于直线 y = x +1且与圆x+ y =1相切于第一象限的直线方程是_22+ y - 2 = 0【答案】 xby = -x + b(b 0) ，与圆相切，所以d=1,b = 2，所以
12、yx 2 ，即= - +设直线方程2x + y - 2 = 0 ，填 x + y - 2 = 0 。【点睛】直线与圆相切，一般用圆心到直线的距离等于半径。a b g, ,是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m,n15.设是两条不同的直线，aaa b b g agn / /a， ，m ,n / / n/ / , / / ,mm，则m； 若，则/ /，其中正确命题的序号是_.；若 m / /aa g b ga b , 则 m/ n；若，则【答案】【分析】利用线面平行性质以及线面垂直的定义判断真假；利用面面平行的性质以及线面垂直的性质判断真假；可借助正方体判断真假.aa b =l ，则有 n /
13、/l ；又因为 ma ，所以b【详解】因为 n / / ，过 n 作平面 ，使得m l ，又因为n / /l ，所以 m n，故正确；- 8 - a b b g/ / , / /a g g，故正确；m a/ /m因为，所以；又因为，所以例如：正方体上底面的对角线分别平行下底面，但是两条对角线互相不平行，故不正确；a b g, ,a b b g，但 与 相交，故不g,a选正方体同一顶点处 三个平面记为，则 有正确.的故填：.【点睛】判断用符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系的正误：（1）直接用性质定理、判定定理、定义去判断；（2）借助常见的空间几何体辅助判断（正方体等）.16.更相减损术是出
14、自 九章算术 的一种算法 如图所示的程序框图是根据更相减损术= 91 b = 39，写出的，若输入a则输出的值为_，【答案】13a = 91,b = 39，执行程序框图，第一次；第二次a= 52,b = 39a =13,b = 39；第三次输入a =13,b = 26 ；第四次a =13,b =13,a = b13.，满足输出条件，输出的a 的值为13，故答案为三、解答题（共 70 分）a n的前n 项和，已知a = -7 S = -1517.记 S 为等差数列n，13a n（1）求的通项公式；- 9 - SS（2）求 ，并求 的最小值nn【答案】（1）a =2n9，（2）S =n 8n，最小
15、值为162nn分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）S根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整n数求函数最值.详解：（1）设a 的公差为 d，由题意得 3a +3d=15n1由 a =7 得 d=21所以a 的通项公式为 a =2n9nn（2）由（1）得 S =n 8n=（n4） 1622n所以当 n=4 时，S 取得最小值，最小值为16n点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100 个芒
16、果，其质量分别在100,150) 150,200) 200, 250) 250,300) 300,350) 350, 400)（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.(1) 经计算估计这组数据的中位数；250,300) 300,350)，芒果中随机抽取 个，再从这6个中随机6(2)现按分层抽样从质量为抽取3个，求这3个芒果中恰有 个在300,350)内的概率.1- 10 - 3【答案】(1)268.75；(2) .5【分析】（1）根据频率分布直方图，找到频率总和为0.5时对应的质量，这个质量大小就是中位数；（2）250,300) 300,350)和 中的芒果数；然后对每个芒果进行标记，
17、采用枚先用分层抽样计算出举法列出所有情况，最后用古典概率模型计算目标事件概率.【 详 解 】（ 1 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 ， 前 三 组 频 率 之 和 为 ：0.00250+0.00250+0.00350 = 0.35，第四组频率为： 0.008 50= 0.4； 所以中位(0.5 - 0.35)50 + 250 = 268.75数为：；0.4250,300) 300,350)和（2）抽取的 6 个芒果中，质量在内的分别有 4 个和 2 个.设质量在250,300)A, B,C, D ，质量在300,350)内的 4 个芒果分别为 内的 2 个芒果分别为a,b(A, B
18、,C) (A, B,D) (A, B,a) (A,B,b)， ， ， ，. 从这 6 个芒果中选出 3 个的情况共有(A,C, D) (A,C,a) (A,C,b) (A, D,a) (A, D,b) (A,a,b) (B,C,D) (B,C,a)，(B,C,b) (B, D,a) (B, D,b) (B,a,b) (C, D,a) (C, D,b) (C,a,b)，(D,a,b) ，共 计 20 种，其中恰有一个在300,350)(A, B,a) (A,B,b) (A,C,a)， ，内的情况有，(A,C,b) (A, D,a) (A, D,b) (B,C,a) (B,C,b) (B, D,a
19、) (B, D,b) (C, D,a)，12 3= =20 5(C, D,b)P共计 12 种，因此概率.【点睛】利用频率分布直方图求数据的中位数：（1）确定频率总和为0.5时所在的区间段；（2）-=a确定前面几段的频率总和，用0.5 (前几段频率总和) a ；（3）利用组距 = ，然后中位b=数 频率总和为0.5时所在的区间段左端点值+ b .ABC - A B C= 2 3 AC = 2AB = 4，BAC = 60 19.如图，在直三棱柱中，AA1111( )1B C 1ABC证明：平面；1( )2C - ABB的体积求三棱锥11- 11 - 【答案】（1）见解+析；（2）4.试题分析：
20、 AB，根据余弦定理可证得BC AB，从而可得 AB 平面BCC B1 1（1）由题意可得 BB，1AB B C 平面ABC于是可得，然后根据线面垂直的判定可得B C1（2）利用等积法，根111=V= V据V求解C -ABBC -AA B3ABC-A B C1 1 111111试题详细分析： 平面ABC（1）由题意得 BB，1 平面ABC又 AB BB， AB1在DABC中，由余弦定理得1BC = AB + AC - 2AB AC cos60 = 4+16 - 224 =12 ，2222 AB + BC = AC ，222ABC = 90，故 BC AB，BC BB = B又，1 平面BCC
21、B AB11 平面BCC B1 1 B C，1AB B C1 B C, BC AB = B又 BC，111- 12 - B C 平面ABC111= V31 1=V= 22 32 3 = 43 2（2）由题意得VC -ABBC -AA BABC-A B C1 1 111111= 2 py ( p 0)20.已知直线l 过抛物线C ：x2的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2 .(1)求抛物线C 的方程;(2)若点，过点(-2,4)的直线与抛物线C 相交于A, 两点，设直线PA 与 的斜率B PBP(2,2)k k分别为k 和k .求证： 为定值，并求出此定值.121 2【
22、答案】（1）x2= 2y ；（2）见解+析.试题分析：（1）由直线l 过抛物线C ：x2= 2 py ( p 0) 的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，= 2=l 与抛物线两交点间的距离为 可得抛物线的通径为2 p ，可得抛物线的方程为x 2y ；22( )y -4 = k x + 2（2）设直线l 的方程为：2 = 联立2，与抛物线x 2y 可得x 2kx - 4k -8 = 0，-根据韦达定理以及斜率公式，消去参数 ，可得kk k = -1.1 2= 2=试题详细分析：（1）由题意可知，2 p ，抛物线的方程为x 2y .2( )P 2,2( )y -4 = k x + 2（2）已知点，设直线
23、l 的方程为：( )( )+ 2 + 2k x + 2 + 2y1x - 2- 2 k xy - 2( ) ( )=k =2=A x , yB x , y ，则k2，1，2，x - 2x - 2x - 2112211122( )( )( )( )+ + + + k x 2 2 k x 2 2+ + k x x 2 x x+4 2k x x 4 4+ +( ) 2k k =1 2=1( )(2)1 21212x - 2 x - 2x x - 2 x + x + 4121 212( )-4 = k x + 2yy联立抛物线x= 2y 与直线的方程消去 得x - kx - k - =24 8 022
24、x + x = 2k x x = -4k -8 k k = -1.k k，代入 可得可得，121 21 21 2k k-因此 可以为定值，且该定值为 1.1 2【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求抛物线及直线与抛物线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据- 13 - 特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数f （x）x （1a）x a（a2）xb（a，bR）23（）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b 的值；（）若曲
25、线yf （x）存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围【答案】（I）；（II）.( )f x-3的图象过原点可求得 ，由在原点处的切线斜率为 可得试题分析：（I）由函数( )y = f xy存在两条垂直于 轴的切线得进而可求得；（II）由曲线有两个不同的根，即 ，可解得a 的取值范围. =试题详细分析： f (x) 3x 2(1 a)x a(a 2) +-+2（）由题意得（）曲线，解得y存在两条垂直于 轴的切线， =关于 的方程 f (x) 3x 2(1 a)x a(a 2) 0 f 有两个不相等的实数根，+-+ =(x)2即a 的取值范围是考点：导数的几何意义. p = 3,Q22.在极
26、坐标系中，已知圆的圆心C 5, ，半径r 4 点在圆C 上运动.（1）求圆C 的极坐标方程；OP : PQ = 2:3（2）若P 点线段 上，且OQ，求动点P 的轨迹方程.- 14 - pprrqrrq=10 cos( - ) -1625 -100 cos( - ) + 64 = 0【答案】（1）；（2）.2244【分析】r q = cosx（1）先根据条件写出圆C 的直角坐标方程，然后利用将直角坐标方程转为极坐r qy = sin标方程；r 、r 、q 、q（2）设出P,Q的极坐标，根据条件得到的关系，将关系代入（1）中的圆PQPQC 的极坐标中，得到 的轨迹方程.P p 5 2 5 2,=
27、 3，【详解】（1）因为圆心C 5,所以C 的直角坐标方程为：(x 的直角坐标为 () ，rC 4 225 225 22-) + (y -2) = 92+ y - 5 2( x + y) +16 = 0即 x2，2prr10 cos(qrrqq=- -故C 的极坐标为：- 5 2 (cos + sin ) +16 = 0，即) 16.224r q 、 r q( , ) Q( , )OP : PQ 2:3=r r: = 2 :5可得（2）设 P，根据，1115r1r=prrq-100 cos( - ) + 64 = 0将 2 代入C 的极坐标方程得：25 2q q.4=1r q = cosxy，
28、x 0)xq(tan =点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：；r q= siny（2）当直接去求解极坐标方程比较复杂的时候，可先得到直角坐标方程，然后利用公式将直角坐标方程化为极坐标方程.- 15 -特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数f （x）x （1a）x a（a2）xb（a，bR）23（）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b 的值；（）若曲线yf （x）存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围【答案】（I）；（II）.( )f x-3的图象过原点可求得 ，由在原点处的
29、切线斜率为 可得试题分析：（I）由函数( )y = f xy存在两条垂直于 轴的切线得进而可求得；（II）由曲线有两个不同的根，即 ，可解得a 的取值范围. =试题详细分析： f (x) 3x 2(1 a)x a(a 2) +-+2（）由题意得（）曲线，解得y存在两条垂直于 轴的切线， =关于 的方程 f (x) 3x 2(1 a)x a(a 2) 0 f 有两个不相等的实数根，+-+ =(x)2即a 的取值范围是考点：导数的几何意义. p = 3,Q22.在极坐标系中，已知圆的圆心C 5, ，半径r 4 点在圆C 上运动.（1）求圆C 的极坐标方程；OP : PQ = 2:3（2）若P 点线
30、段 上，且OQ，求动点P 的轨迹方程.- 14 - pprrqrrq=10 cos( - ) -1625 -100 cos( - ) + 64 = 0【答案】（1）；（2）.2244【分析】r q = cosx（1）先根据条件写出圆C 的直角坐标方程，然后利用将直角坐标方程转为极坐r qy = sin标方程；r 、r 、q 、q（2）设出P,Q的极坐标，根据条件得到的关系，将关系代入（1）中的圆PQPQC 的极坐标中，得到 的轨迹方程.P p 5 2 5 2,= 3，【详解】（1）因为圆心C 5,所以C 的直角坐标方程为：(x 的直角坐标为 () ，rC 4 225 225 22-) + (y
31、 -2) = 92+ y - 5 2( x + y) +16 = 0即 x2，2prr10 cos(qrrqq=- -故C 的极坐标为：- 5 2 (cos + sin ) +16 = 0，即) 16.224r q 、 r q( , ) Q( , )OP : PQ 2:3=r r: = 2 :5可得（2）设 P，根据，1115r1r=prrq-100 cos( - ) + 64 = 0将 2 代入C 的极坐标方程得：25 2q q.4=1r q = cosxy，x 0)xq(tan =点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：；r q= siny（2）当直接去求解极坐标方程比较复杂的时候，可先得到直角坐标方程，然后利用公式将直角坐标方程化为极坐标方程.- 15 -